1、,三门峡市一高欢迎您！,2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,三门峡市第一高级中学 张伟强,1我们已经学习了哪几种向量运算？,加法,数乘,减法,向量,向量,向量,1,复习回顾,2两个非零向量 ， 的夹角 如何定义？其取值范围是多少？,1,复习回顾,关键：将两个向量平移到同一起点.,规定： 1、 ；,2、 时，两向量同向共线；,3、 时，两向量反向共线；,4、 时，两向量垂直，记 作 .,1,复习回顾,2,探求新知,2,探求新知,思考1大力士拉车，沿着绳子方向上的力为 ，,车的位移为 ，,力和位移的夹角为 ，力所做的 功为多少？,2,探求新知,思考2决定功的大小的量有哪几个？,2,探求新
2、知,2,探求新知,定义 已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做向量 与 的数量积(或内积)，记作 ，即 ， 其中 是 与 的夹角,规定：零向量与任一向量的数量积为0,2,探求新知,思考3决定向量数量积的大小的量有哪几个？,3,探求新知,数量积的正、负、零由谁决定？,3,巩固定义,A,C,B,2已知正三角形ABC的边长为1，求： （1） ; （2） ; （3） .,口答,(1) ；,(2)若 与 同向，则 ； 若 与 反向，则 ； 特别地， ，,3依据数量积定义完成以下问题( 与 是非零向量),(4) .,(3) ；,4,总结性质,平面向量数量积的性质 ( 与 是非零向量),加法,数乘,减法,
3、向量,向量,向量,数量积,数量,2,探求新知,B1,叫做 在 方向上的投影；,叫做 在 方向上的投影；,5,再探定义,B1,B1,为锐角,5,再探定义,为直角,为钝角,B1,平面向量数量积的几何意义,数量积 等于 的长度 与 在 上的投 影 的乘积,5,再探定义,思考4数量积作为一种运算，有怎样的运算律呢？,实数乘法,交换律,结合律,分配律,向量的数量积,运算律,5,再探定义,平面向量数量积的运算律,交换律,结合律,分配律,5,再探定义,O,A,E,F,B,D,C,G,5,再探定义,例1证明（1） ； （2） .,证明:（1）,（2）,6,典例分析,例2已知 ， ， 与 的夹角为 ， 求 .,
4、解：,6,典例分析,例3已知 ， ，且 与 不共线 为何值时，向量 与 互相垂直？,解： 与 互相垂直的条件是,即,因为 ，,所以 ，,解之得：,故，当 时， 与 互相垂直,6,典例分析,1判断下列说法是否正确.,7,巩固练习,(1) ； (2) 若 ，则 ， 至少有一个为零向量； (3) 若 ，则 与 的夹角为锐角； (4) 若 ，则 .,3已知 ， ， 与 的夹角为 ， 求 .,7,巩固练习,2在等腰 中， , ,则 = .,今天你学到了什么,8,概括总结,2平面向量数量积的性质,1平面向量数量积的定义,8,概括总结,（垂直）,（长度）,（夹角）,（ ， ）,3平面向量数量积的几何意义,4
5、平面向量数量积的运算律,数量积 等于 的长度 与 在 上的 投影 的乘积.,8,概括总结,（类比）,P108,习题2.4 A组,第1、3、7题,9,作业布置,课外探究：,通过查阅图书资料或利用网络资源，完成向量的另一 种乘法矢量积（“ ”积）的概念的学习和性质的探 究，并探索出自己的成果形成小论文.,谢谢指导！,本节课为概念初始课，通过创设情景，展示出本节课的物理背景。之后，从学生已有的物理背景功的概念出发，提出数学问题向量数量积的概念。,本节课我从概念的生成、概念的理解、概念的延伸三个方面设计。,一、概念的生成,教学设计说明,二、概念理解,向量数量积的概念是学生新接触的一个概念，与实数乘法既
6、有相似之处，又有很大的区别，学生在理解和掌握方面会有一定的困难。,为了解决这一问题，一方面，引导学生分析夹角对其运算结果的影响，并设计口答练习，通过对具体题目的思考，让学生对数量积的概念从“数”上有一个深入的理解。,教学设计说明,另一方面，从“形”的角度切入，结合三角函数知识，引入投影，进而得到平面向量数量积的几何意义。实现从“形” 的角度诠释这一概念，使学生明白计算数量积既可以从数，也可以从形入手。,二、概念理解,教学设计说明,数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，对于数量积的性质，先创设一定的情景，让学生发现并提炼结论；类比实数乘法运算律，获得数量积运算律，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。,三、概念延伸,以上就是我对本节课教学设计的简单说明。,教学设计说明,
