1、22.222.2 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 武汉市第一初级中学武汉市第一初级中学 何何 颖颖 一、内容和内容解析一、内容和内容解析 1内容 二次函数与一元二次方程的联系 2内容解析 模型思想、几何直观都是课程标准 2011 年版提出的 10 个核心概念之一二次函数 和一元二次方程都是重要的数学模型， 也是进一步学习其它函数的基础 利用函数图象研究 方程的根，是培养学生几何直观的重要途径 二次函数和一元二次方程之间的内在联系十分突出一元二次方程的一般形式为 ax2 bxc0，而 ax2bxc 是二次函数的一般表达式一元二次方程 ax2bxc0 的解是二 次函数 yax2bxc
2、 的零点，其几何意义是二次函数的图象与 x 轴的公共点的横坐标 一元二次方程 ax2bxc0 的根的分布与抛物线 yax2bxc 与 x 轴的位置关系相 关联更一般的看，可以把解一元二次方程 ax2bxch，理解为已知二次函数 yax2 bxc 的函数值为 h 时，求对应的自变量的值研究函数和方程的联系可以深化相关知识的 理解，建立二次函数与一元二次方程的联系是对知识结构进一步的优化 综上所述，本节课的教学重点是：了解一元二次方程根的几何意义；理解抛物线与 x 轴的位置关系与一元二次方程根的情况之间的对应关系 二、目标和目标解析二、目标和目标解析 1目标 （1）了解一元二次方程的根的几何意义（
3、抛物线与 x 轴的公共点的横坐标），知道抛 物线与 x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况， 会利用二次函数的图象求 一元二次方程的近似解 （2）经历用方程解决函数问题及用函数图象求解一元二次方程解的过程，进一步体会 “以形表数，以数释形”的数形结合思想，培养学生的几何直观 2目标解析 目标（1）要求能用函数的观点看一元二次方程，知道解一元二次方程就是已知二次函 数的值求自变量的值； 知道函数反映的是变量之间对应关系的整体， 方程则反映了变量的具 体取值之间的对应关系 目标（2）要求学生通过以函数图象为中介，用函数的观点看方程，进一步体会用图象 可以直观地描述函数与方程之间的联系
4、 三、教学问题诊断分析三、教学问题诊断分析 在八年级下册， 学生通过一次函数与方程、 不等式的学习已经初步建立方程模型与函数 模型的联系在九年级上册，学生已经分别学习二次函数、一元二次方程，知道它们都是刻 画现实问题中数量关系的重要模型， 但没有建立这些知识之间的有效联系 学生可以通过类 比的方法初步得到二次函数与一元二次方程的联系并进行运用 其中从函数图象的角度看一 元二次方程， 实际上是已知二次函数图象求图象与横轴交点的横坐标 由于作图或观察可能 存在误差，由图象求得的根，一般是近似的，可以进一步通过不断缩小根所在的范围估计一 元二次方程的根这样计算并结合函数图象确定根所在范围的方法是学生
5、首次接触的方法 基于以上分析， 利用二次函数的图象求相应一元二次方程实数根的近似值， 这是学习的 难点 四、教学支持条件分析四、教学支持条件分析 在估计一元二次方程的近似根的过程中， 需要计算并比较几个自变量对应的函数值的符 号，此时计算量比较大且数值的显示不够直观故采取用几何画板显示函数图象，标识相应 点的坐标，便于学生理解 五、教学过程五、教学过程 1.1.复习引入复习引入 问题问题 1 1 观察下列四个图象，结合图象说明点A(B)的含义 图 1 图 2 图 3 图 4 【师生行为】【师生行为】学生根据图象结合自己的理解说明点A(B)的含义，教师根据学生的回答 进行归纳 【设计意图】【设计
6、意图】帮助学生回顾已建立的函数与方程之间的联系，并让学生利用已有知识， 通过类比的方法，初步得到二次函数与一元二次方程的联系，体验数形结合的数学思想 2.2.新课讲授新课讲授 问题问题 2 2 如图， 以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时， 球的飞行路线 将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位： s）之间具有函数关系：h20t5t 2 考虑以下问题，并结合图象解释你的结论： （1）小球的飞行高度能否达到 15m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到 20m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到
7、 20.5m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ o t h 【师生行为】【师生行为】解题前，师生共同分析，寻找解题方法；学生在独立思考的基础上，经过 计算给出答案，采取小组交流讨论、代表发言的方式，分别从数与形的角度分析问题 【设计意图】【设计意图】二次函数与实际问题相结合，从数的角度，将二次函数问题转化为一元二 次方程问题，利用方程知识解决问题；从形的角度来解释问题解决的过程 问题问题 3 3 填写下表填写下表 二次函数 yax2bxc 2 2yxx 2 69yxx 2 1yxx b24ac 的值 求解一元二次方程 ax2bxc0 二次函数 yax2bxc 的图象 二次函数 y
8、ax2bxc 的图象与 x 轴公共点个数 二次函数 yax2bxc的图象与x 轴公共点的横坐标 【师生行为】【师生行为】学生独立思考完成表格，教师巡视及时纠偏，学生展示结果并归纳 【设计意图】【设计意图】内化二次函数与一元二次方程之间的联系 3.3.学以致用学以致用 问题问题 4 4 （1）抛物线yx 26x1 与 x轴的公共点有 个，y2x 23x4 与 x 轴的公共点有 个，yx 22x1 与 x轴的公共点有 个 （2）一元二次方程 3x 2x100 的两个根为2，5 3 ，那么抛物线 y3x 2x10 与 x轴的交点坐标是 （3）抛物线yx 25x6 与 x轴交点坐标为（2，0），（3，
9、0），那么方程x 25x 60 的根为 问题问题 5 5 利用函数图象求方程x 22x20 的实数根（结果保留小数点后一位）. 【师生行为】【师生行为】例 1 由学生口答，例 2 先画图并估计方程的实数根，进而为了提高函数图 象的准确性，用几何画板教学软件画图，学生观察图象得出结论再利用几何画板的计算与 绘图功能，通过不断缩小根所在的范围去估计方程的根的近似值 【设计意图】【设计意图】利用二次函数的图象研究一元二次方程根的问题，要选择二次函数和相应 的直线，会看图象，会根据图象确定根的近似值，探寻减小根的近似值误差的方法 x y yx22x2 -3 2 1 -1 -2 321-1 O 4.课堂
10、小结课堂小结 教师与与学生共同小结本节课主要内容并请学生阅读课本中归纳的相关内容 一般地，从二次函数yax 2bxc 的图象可得如下结论. （1）如果抛物线yax 2bxc 与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当xx0 时，函数的值是 0，因此xx0是方程ax 2bxc0 的一个根. （2）二次函数yax 2bxc 的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个 公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax 2bxc0 根的三种情况：没有实数根， 有两个相等的实数根，有两个不等的实数根. 5.5.课后作业课后作业 教科书习题 22.2 第 1、3、4 题 （选做）已知抛物线yx 2x
11、2m(m 为常数）. （1）m为何值时，抛物线与x轴有唯一公共点？ （2）m为何值时，抛物线与x轴没有公共点？ （3）m为何值时，抛物线与x轴有公共点？ 六、目标检测设计六、目标检测设计 1. 如图， 从地面竖立向上抛出一个小球， 小球的高度 h(单位： m)与小球运动时间 t （单 位：s）之间的关系式为 2 530tth ,那么小球从抛出至回落地面所需要的时间是： A.6s B.4s C.3s D.2s 设计意图：设计意图：考察学生对利用一元二次方程求解函数问题的掌握情况 2.用函数的图象求解方程 032 2 xx . 设计意图：设计意图：考察学生对一元二次方程的图象解法的掌握情况 根据下
12、列表格的对应值，判断方程 0 2 cbxax （a0,a、b、c 为常数）一个 解的范围是( ) x 3.23 3.24 3.25 3.26 cbxax 2 -0.06 -0.02 0.03 0.09 23. 33 x B. 24. 323. 3 x C. 25. 324. 3 x D. 26. 325. 3 x 设计意图：设计意图：考察学生对利用二次函数图象确定根所在的范围的掌握情况 课题：二次函数与一元二次方程（学案）课题：二次函数与一元二次方程（学案） 武汉市第一初级中学武汉市第一初级中学 何何 颖颖 一、一、 看图说话看图说话 观察以下四个图象，结合图象说明点 A(B)的含义 图 1
13、图 2 图 3 图 4 二、尝试解决二、尝试解决 问题：如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30 角的方向击出时，小球的飞行路线将是 一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s） 之间具有函数关系 h20t5t2 考虑以下问题，并结合图象解释你的结论： （1）小球的飞行高度能否达到 15m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到 20m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ o t h 三、归纳提升三、归纳提升 请填写下表： 二次函数 yax2b
14、xc 2 2yxx 2 69yxx 2 1yxx b24ac 的值 求解一元二次方程 ax2bxc0 二次函数 yax2bxc 的图象 二次函数 yax2bxc 的图象与 x 轴公共点个数 二次函数 yax2bxc的图象与x 轴公共点的横坐标 四、解决问题四、解决问题 例例 1 1 （1）抛物线 yx26x1 与 x 轴的公共点有个，y2x23x4 与 x 轴的公共点有 个，yx22x1 与 x 轴的公共点有个 （2）一元二次方程 3x2x100 的两个根为2，5 3 ，那么抛物线 y3x 2x10 与 x 轴的交点坐标是 （3）抛物线 yx25x6 与 x 轴交点坐标为（2，0），（3，0），那么方程 x25x 60 的根为 例例 2 2 利用函数图象求方程 x22x20 的实数根（结果保留小数点后一位）. 五、课后作业五、课后作业 作业：课本 47 页 1、3、4 （选做）已知抛物线 yx2x2m(m 为常数）. (1)m 为何值时，抛物线与 x 轴有唯一公共点？ (2)m 为何值时，抛物线与 x 轴没有公共点？ (3)m 为何值时，抛物线与 x 轴有公共点？ x y yx22x2 -3 2 1 -1 -2 321-1 O
