1、以数助形巧拼正方形 授课教师：广东省珠海市斗门区实验中学 梁洪源 一、教学内容分析：一、教学内容分析： 1、设计起源：设计起源： 数形结合的思想，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问 题代数化数学家华罗庚说过： “数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万 事休”事休” 人教版教材在这一方面有充分的体现九年级上册第二十三章旋转中应用计算机中的画图 软件探索“旋转的性质”就是很好的数学实验材料象这样借助计算机来辅助学习的内容还很多， 如：勾股定理、平方差公式、完全平方公式等的学习都是借助“以形
2、助数”的思维方法来帮助学习 的，但在“以数助形”的思维方法来辅助学习的材料相对较少于是就设计了以数助形巧拼正方 形这一节课，通过本节课的学习，学生通过亲身的实验操作以及借助计算机图形的演示辅助理解， 在解决相关剪拼问题中体会“以数助形”的思维方法，让学生在体验“做数学”中去实现数学的“再 创造” ，并从中感受数学的神奇力量 2、关于数学实验教学的思考：、关于数学实验教学的思考： 数学操作实验的目的是提高学生学习数学的积极性，提高学生对数学的应用意识并培养学生用 所学的数学知识去认识问题和解决实际问题的能力它不同于传统的数学学习方法，是强调以学生 动手为主的数学学习方式 数学课程标准（2011
3、年版） 中明确指出：动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学 的重要方式但在现在的课堂教学中也出现了不少的“新现象” ，而这些现象的背后，却反映出教师 没有及时引导学生对问题及其现象的本质加以思考，未能将“经验数学”上升到“推理数学” ，数学 课有“手工课”的味，而少了“数学味” 本教学设计中所采用的“剪拼”操作实验的价值不仅仅在剪拼结果的获得，更重要的是在拼的 过程中借助数式的恒等变换来探索图形的全等变换的过程，从而找到图形变换的方法，并着重引导 学生去了解、体验“拼的过程” ，引导学生去理解在“剪拼”过程中运用了平移、旋转、对称等几何 变换，让学生在先“思”后“做”的过程中，深刻的掌握几
4、何变换 3、学习对象分析：、学习对象分析： 本设计内容的学习对象应是学习平移、旋转、算术平方根、勾股定理、四边形等知识后学生以 选择九年级的学生作为学习对象较为合适。 二、教学目标：二、教学目标： 1知识知识技能技能目标目标： 灵活掌握割补法的基本性质：面积不变性；学会如何运用以数助形，确定图形变换后的数量特 征，从数量角度确定图形基本性质，从而确定图形剪拼方法 2数学思考与数学经验数学思考与数学经验目标目标： 1）培养学生实验、观察、比较、分析、归纳的数学思维能力；进一步培养学生逻辑思维能力和 逻辑推理能力 2）进一步理解数形结合思想，提高学生运用数形结合思想方法解决问题能力 3情感情感态度
5、态度目标目标： 通过学生实验操作、观察、尝试、猜想、论证、归纳总结等自主探索与合作交流的过程，激发 学生的学习兴趣，让学生真正体验知识的发生和发展过程，培养学生的创新意识 三、教学重点：三、教学重点： 让学生通过动手实践、自主探索与合作交流的学习过程，学会获取、归纳知识的能力 四、教学难点：四、教学难点： 让学生抓住面积不变，根据面积公式的恒等变换，从边长的变化中寻找图形变化的依据，再根 据“以数助形”思想确定剪的痕迹 五、教学准备：五、教学准备： 几何图形纸片、剪刀、测量工具、计算机演示课件等 教学流程框图：教学流程框图： 活动二活动二： 情景变式， 初感方法情景变式， 初感方法（15 分钟
6、） 活动三活动三： 问题深化， 掌握方法问题深化， 掌握方法（10 分钟） 活动四：解决问题，形成报告活动四：解决问题，形成报告（15 分钟） 活动一：源于课本、引出课题活动一：源于课本、引出课题（5 分钟） 教学过程：教学过程： 教学 环节 教学内容 教师活动 学生活动 教学 评价 活活 动动 一一 ： 源源 于于 课课 本本 、 引引 出出 课课 题题 5 分 钟 1、板书： 回顾：初一时，2 是怎样产生的？ （活动一） 2、课件展示的剪拼过程 3、回顾2的产生过程 师：师：同学们，这是？ 师：师：你知道2是怎样来的吗？ 师：师：这是初一课本内容，它是把两个小正方形拼 成一个大正方形来研究
7、的(师解说) 师：师： （课件展示剪拼过程） 师：师：为什么剪拼成大正方形就可以得到2？ 师：师： （初一时）没有这个图，你还能发现2吗？ 师：师：这就是“数缺形时少直观” （板书诗句 1） 师：师： （小结）所以，这个图（41 页探究图）在发 现2这个事件上是一个重要的图，这种方法也 是非常重要的方法，这就是数形结合里的“以形 助数” ， 师：师：既然形可以帮助数的理解，反之，数又能否 帮助形的学习呢？ 师：师：这就是本节课探究的课题“以数助形巧拼正 方形” （板书课题） 生生 1： 生：生：(回答/不回答) 生：生： （知识回顾） 生：生： 大正方形的面积为 2， 那边长就为2 生：生：不
8、能（或很难） 通过 知 识 的 回 顾，体会以 形 助 数 的 作用 教学 环节 教学内容 教师活动 学生活动 教学 评价 活活 动动 二二 ： 情情 景景 变变 式式 ， 初初 感感 方方 法法 15 分 钟 1、回顾：初二时，根据勾股定理产生2 2、探索任意两个边长相等的小正方形都可以拼成一 个大正方形 3、 （活动二）（活动二）如图，你可以将边长为 a 和 b 的两个 小正方形纸板剪拼成一个大正方形吗？拼的过程 中，你运用了哪些图形变换？ 师生共同总结解题步骤： 1、求大正方形面积 2、求大正方形边长 3、以大正方形边长为斜边构造直角三角形 通过探索 1、2 引出活动二： 为了分散难度，
9、教师引导学生解决以下几大问 题： 师师 1：大正方形的边长是多少？ 师师 2：如何找出 22 ab这条边? 师师 3：如何确定第二条边？ 师师 4：运用哪种变换进行拼叠？ 小结：小结：解决这个图形问题，不通过对数据的分析 是难以解决的，所以说“形少数时难入微” （板书诗句 2） 师师 5：如何论证这个四边形一定是正方形？ 生生 1：大正方形的面积与 原来两个正方形的面积 和相等， 都是 22 ab， 所 以 大 正 方 形 的 边 长 为 22 ab 生生 2：要找 22 ab，按 照刚才的学习 （ 22 aa） ，借助直角 三角形，图中已经有直角 和一条直角边 a，再找直 角边 b 生生 3
10、：同理（略） 生生 4：平移（旋转） 生生 5：找直角（说理） 小结：小结：解题步骤 1、 22 Sab=+ 2、边长= 22 ab+ 3、构造 Rt 通过情景 变式，培养 学生建模 思想，初 感方法的 产生，体会 以数助形 的思想和 方法 教学 环节 教学内容 教师活动 学生活动 教学 评价 活活 动动 三三 ： 问问 题题 深深 化化 ， 掌掌 握握 方方 法法 10 分 钟 1、活动三：、活动三： （情景变式）如图，正方形 ABCD 和一个等腰直角 ADF，正方形的边长为 a问能否将此图剪拼成一 个新正方形？拼的过程中，你运用了哪些图形变 换？ 要求： 1、独立探索解题思路； 2、与同桌
11、交流解题思路； 3、同位合作完成剪拼 （课堂巡视，了解情况） 2、让学生初感化归思想，体会数学之美 师：师：现在我又把上面的小正方形变为等腰直角三 角形，又怎么拼呢？（课件出示题目） 师：师： （课堂巡视，了解情况） 根据学生完成情况，课堂中适当从以下三大 步骤提示点拨： 1、求大正方形面积 2、求大正方形边长 3、以大正方形边长为斜边构造直角三角形 师：师：我们能否把活动三的图形转化为活动二的图 形来解决呢？ （让学生初感化归思想，体会数学之美 ） 生：生： （通过对数据的分析， 以数助形独立完成分析 思路，同位完成剪拼过 程，约 8 分钟） 生：生： （学生完成后，让部 分学生分享解题思路
12、与 拼接方法） 检 验 学 生 能 否 运 用 刚 总 结 的 三个步骤， 1、 22 Sab=+ 2、边长 = 22 ab+ 3、 构造 Rt 以 数 助 形 完成剪拼 同 时 检 验 学 生 的 合 作精神 教学 环节 教学内容 教师活动 学生活动 教学 评价 活活 动动 四四 ： 开开 拓拓 思思 维维 ， 自自 主主 探探 究究 15 分 钟 1、用 5 个同样大小的正方形能组成很多漂亮组合图 形.例如： 2、这些图形都能剪拼成正方形吗？ 师：师：由 5 个小正方形能组成哪些漂亮图形呢？ 师：师：这些漂亮的图形都能剪拼成大正方形吗？ 师：师：小组合作，选取喜欢的一个小组合作完成 师：师
13、： （课堂巡视，了解情况） 师生共同总结：虽然剪的方法很多，拼方法有也 有很多，但是我们抓住大正方形的面积都是 5， 借助边长为5来构造直角三角形来解决 师：师：这节课，我们通过以数助形巧拼正方形的学 习，体会数与形微妙而又紧密的关系 师：师：所以说： “数形结合百般好，隔裂分家万事 休 ” （板书诗句 3、4） （之前两句： 数缺形时少直观， 形少数时难入微） 师：师：大家知道这四句话是谁说的吗？ 师：师：是我国伟大数学家华罗庚说的 （课件展示） 生：生：学生逐一回答 生：生：能 生：生：并派代表展示成果 （选取图形不重复） 生： 通 过 小 组 合 作 完 成 剪拼，检验 学 生 能 否
14、把 知 识 成 报告，培养 学 生 归 纳 总 结 的 能 力 华罗庚华罗庚 （19101985） ， 著名数学家 以数助形巧拼正方形 （板书流程设计） 形 数 2 1、 22 Sab=+ 2、边长= 22 ab+ 3、构造 Rt 2、边长= 5 2 a 3、构造 Rt 形少数时形少数时难入微难入微 数缺形时少直观数缺形时少直观 1、 2 5 4 Sa= 数形结合百般好数形结合百般好 隔裂分家万事休隔裂分家万事休 1、S=5 2、边长=5 3、构造 Rt 学生展示区学生展示区 数学实验报告 第 小组 成员名单： 时间：2015 年 月 日 一、名称：正方形的剪拼 二、目的：完成剪拼完成大正方形
15、，体会“以数助形”的数学思想 三、内容：由 11 的小正方形组成的网格中，剪出由 5 个小正方形任意组合图 形（小正方形边重合）剪拼成一个大正方形 四、用具：正方形方格纸片、剪刀 五、过程： 1图形选择： 在图 1 网格纸上画出任意的 5 个 小正方形组合的图形 2剪拼后大正方形的面积和边长分别为： 、 3在图 2 网格纸上绘制出剪拼后的图形 4派同学到黑板上展示成果 5图形论证（证明过程） 图 1 图 2 六、老师评价： 作业设计，继续探究作业设计，继续探究 1如图，纸上有 10 个边长为 1 的小正方形组成的图形纸，可以把它剪开拼成一个正方形纸片吗？ 2如图，正方形 ABCD 的边长为 a，等腰直角三角形 FAE 的斜边 AE=2b，且边 AD、AE 在同一直线上此 图能否经过适当分割后重新拼成一个正方形？拼的过程中，你运用了哪些图形变换？ 3举一反三： 请将（如图）矩形剪拼成正方形.
