1、第 8 讲 位值原理【知识点精讲】位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示 2 个一，写在百位上，就表示 2 个百， 这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理.表达形式：以六位数为例： abcdef = a100000+b10000+c1000+d100+e10+f.【例题精解】例题 1、 ab 与ba 的差被 9 除，商等于 与 的差； 【解析】( ab - ba ）9=(10a+b)-(10b+a)9=(9a-9b)9=a-b；例题 2、把一个两位
2、数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是 45，试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】设原来的两位数为 ab ，交换后的新的两位数为ba ，根据题意， ab - ba = (10a + b) - (10b - a) = 9(a - b) = 45 ， a - b = 5 ，原两位数最大时， 十位数字至多为 9，即a = 9 ， b = 4 ，原来的两位数中最大的是 94例题3、将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802求原来的四位数【解析】设原数为abcd ，则新数为 dcba ，dc
3、ba - abcd = (1000d +100c +10b + a) - (1000a +100b +10c + d ) = 999(d - a) + 90(c - b)根据题意，有9 9 9d( - a )+9 0c(- b=)8 ，111 (d - a) +10 (c - b) = 978 = 888 + 90 推知d - a = 8 ， c - b = 9 ，得到d = 9 ， a = 1， c = 9 ， b = 0 ，原数为 1099例题 4、M 表示一个两位数，N 表示一个三位数，如果把 M 放在 N 的左边，组成一个五位数，那么这个五位数是（）。 A，M+NB，MNC，10000
4、M+ND，1000M+N【解析】D例题 5、一个两位数，它是本身数字和的 k 倍，将个位数字与十位数字交换位置后，组成一个新数，则新数为其数字和的（）。A，（k1）倍B，（11k）倍C，（10k）倍D，（9k）倍【解析】Bab = k(a + b) 10a + b = k(a + b) ba = 10b + a = 11(b + a) - (10a + b) = (11- k)(a + b)例题 7、如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”. 例如，99 就是一个巧数，因为 99(99)99.可以证明，所有的巧数都是两位数.请你写出所有的巧
5、数.【解析】设这个巧数为ab ，则有 ab+a+b=10a+b，a(b+1)=10a，所以 b+1=10，b=9. 满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99.例题 8、已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于 2008，则所有这样的四位数之和为多少【解析】设这样的四位数为 abcd ，则abcd + a + b + c + d = 2008 ， 即1001a +101b +11c + 2d = 2008 ，则a = 1或 2若a = 2 ，则101b +11c + 2d = 6 ，得b = c = 0 ， d = 3 ， abcd = 2003 ；若a = 1，则
6、101b +11c + 2d =1007 ，由于11c + 2d 11 9 + 2 9 =117 ，所以101b 1007 -117 = 890 ，所以b 8 ，故b 为 9，11c + 2d =1007 - 909 = 98 ， 则 c 为偶数，且11c 98 - 2 9 = 80 ，故c 7 ，由 c 为偶数知c = 8 ， d = 5 ， abcd = 1985 ；所以，这样的四位数有 2003 和 1985 两个，其和为： 2003 +1985 = 3988 例题 9、有 3 个不同的数字，用它们组成 6 个不同的三位数，如果这 6 个三位数的和是 1554，那么这 3 个数字分别是多
7、少？【解析】设这六个不同的三位数为abc, acb,bac,bca,cab,cba ， 因为abc = 100a +10b + c ， acb = 100a +10c + b ，它们的和是： 222 (a + b + c) = 1554 ，所以a + b + c =1554 222 = 7 ，由于这三个数字互不相同且均不为 0，所以这三个数中较小的两个数至少为 1，2，而7 - (1 + 2) = 4 ，所以最大的数最大为 4；又1+ 2 + 3 = 6 222 10 ，所以a + b + c 10 若 a + b + c = 11，则所求数为22211- 2234 = 208 ，但2 + 0
8、 + 8 =10 11，不合题意若 a + b + c =12 ，则所求数为22212 - 2234 = 430 ，但4 + 3 + 0 = 7 12 ，不合题意 若 a + b + c =13 ，则所求数为22213 - 2234 = 652 ， 6 + 5 + 2 =13 ，符合题意若 a + b + c =14 ，则所求数为22214 - 2234 = 874 ，但8 + 7 + 4 =19 14 ，不合题意 若 a + b + c 15 ，则所求数 22215 - 2234 =1096 ，但所求数为三位数，不合题意 所以，只有a + b + c =13 时符合题意，所求的三位数为 65
9、2例题 12、一个三位数 xyz （其中 x，y，z 互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数。若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数。例题 13、一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数.又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个 0 的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数.【解析】设第一个 2 位数为 10a+b；第二个为 10b+a ；第三个为 100a+b ； 由题意：(100a+b)-（
10、10b+a）=( 10b+a)-（10a+b) ；化简可以推得 b=6a，0a,b9，得 a=1，b=6；即每小时走 61-16=45 ；（601-106)45=11；再行 11 小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数.例题 14、设 AXXX 、 XXXB 为两个四位数，其中 A 、 B 、 X 为互不相同的数字 . 若求 A 、 B 、 X 的值 .AXXX XXXB= 2 ，试 5【解析】由条件得， 5(1 0 0 A0 +1 1X1) =( 2 1 1X1+0 B)，即 5 0 0 0A =1 6 6X5+B；则 X 是偶数，且 B = 5 ； 进 一 步
11、 解 得 ， X = 6 、 A = 2 .【习题精练】1、 ab 与ba 的和被 11 除，商等于 与 的和；某三位数abc 和它的反序数cba 的差被 99 除(abc)，商等于 与 的差.【解析】( ab + ba ）11=(10a+b)+(10b+a)11=(11a+11b)11=a+b；( abc - cba ）99=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)99=(99a-99c)99=a-c.2、已知abcd + abc + ab + a = 1370, 求abcd .【解析】原式：1111a111b11cd1370，所以 a1， 则 111b11cd1370111125
12、9，推知 b2； 进而推知 c3，d=4 所以abcd =1234.3、有一个两位数，如果把数码 3 加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码 3 加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码 3，则可得到一个四位数将这两个三位数和一个四位数相加等于3600 求原来的两位数【解析】设原来的两位数是 ab ，则得到的两个三位数分别为ab3 和3ab ，四位数为3ab3 ， 由题知 ab3 + 3ab + 3ab3 = 3600 ，即10 ab + 3 + 300 + ab + 3003+ 10 ab = 3600， 21 ab = 294 ，故 ab = 14 4、如果把
13、数码 5 加写在某自然数的右端，则该数增加 A1111，这里 A 表示一个看不清的数码，求这个数和 A.【解析】设这个数为 x，则 10x+5-x= A1111，化简得 9x= A1106 ，等号右边是 9 的倍数， 试验可得 A=1，x=1234.5、从 19 九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是 3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？【解析】设这三个数字分别为 a、b、c。由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三位数之和为 222（abc）3330，推知 abc15.所以，当 a、b、c 取 1、5、9 时，它们
14、组成的三位数最小为 159，最大为 951.6、用 1，9，7 三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？【解析】卡片“9”倒过来看是“6”.作为卡片“9”，由第 3 题的结果可知，1，9，7 可组成的六个不同的三位数之和是（197）222；同理，作为卡片“6”，1，6，7 可组成的六个数之和是（167）222.这 12 个数的平均值是：（197）（167）22212573.5.7、在两位自然数的十位与个位中间插入 09 中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的 9 倍.求出所有这样的三位数.【解析】因为原
15、两位数与得到的三位数之和是原两位数的 10 倍，所以原两位数的个位数只能是 0 或 5.如果个位数是 0，那么无论插入什么数， 得到的三位数至少是原两位数的 10 倍，所以个位数是 5.设原两位数是ab ，则 b=5，变成的三位数为 ab5，由题意有 100a10b5（10a5）9，化简得 ab4. 变成的三位数只能是 405，315，225，135.8、将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数现有一个四位数码互不相同，且没有 0 的四位数 M ， 它比新数中最大的小 3834，比新数中最小的大 4338求这个四位数【解析】设组成这个四位数的四个数码为 a ， b ， c ， d ( 9 a b c d 1 )， 则有abcd - dcba = 3834 + 4338 = 8172 ，可得999(a - d) + 90 (b - c) = 8172 = 7992 +180 ，则 a - d = 8 ， b - c = 2 ， a = 9 ， d = 1， M = 1cb9 + 4338 ，且 M 的四位数字分别为 1、 c 、b 、9，由于8 + 9 = 17 的个位数字为 7， 所以b ， c 中有一个为 7，但b - c = 2 ，所以c 不能为 7，故b = 7 ， c = 5 ， M =1579 + 4338 = 5917
