1、1.2 充分条件与必要条件 第1课时 充分条件与必要条件,充分条件、必要条件 (1)前提:“若p,则q”形式的命题为_. (2)条件:pq. (3)结论:p是q的_条件,q是p的_条件.,真命题,充分,必要,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.( ) (2)若p是q的充分条件,则p是q的充分条件.( ) (3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( ),【解析】(1)正确.若p是q的必要条件,即pq,所以q是p的充分条件. (2)错误.若p是q的充分条件,即pq,其逆否命题为pq,所以p是q的必要条件. (3)错误.“对顶角相等”的
2、逆否命题为“不相等的两个角不是对顶角”,所以“两角不相等”是“两角不是对顶角”的充分条件. 答案:(1) (2) (3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的 条件. (2)“a0,b0”是“ab0”的 条件. (3)“若p,则q”的逆命题为真,则p是q的 条件.,【解析】(1)由题意知pq,qr,故pr,所以p是r的充分条件. 答案:充分 (2)当a0,b0时,显然ab0成立,故“a0,b0”是“ab0”的充分条件 答案:充分 (3)因为“若p,则q”的逆命题为真,即“若q,则p”为真,所以qp,即p是q的必要条件. 答案:必要,【要
3、点探究】 知识点 充分条件与必要条件 1.对充分条件的理解 充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件 时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就 足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.例如,x=6 x2=36,但是,当x6时,x2=36也可以成立,所以“x=6”是“x2 =36成立”的充分条件.,2.对必要条件的两点说明 (1)必要条件是在充分条件的基础上得出的.真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件. (2)“p是q的必要条件”的理解:推出关系为qp,若有q,则必须
4、有p;而具备了p,则不一定有q.,【微思考】 (1)若p是q的充分条件,p是惟一的吗? 提示:不一定惟一,凡是能使q成立的条件都是它的充分条件,如x3是x0的充分条件,x5,x10等都是x0的充分条件. (2)“若p,则q”为真命题,则p是q的什么条件? 提示:“若p,则q”为真命题,则其逆否命题“若q,则p”也为真命题,即qp,故p是q的必要条件.,【即时练】 1.已知AB,则“xA”是“xB”的 条件,“xB”是“xA”的 条件. 2.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么: (1)s是q的什么条件? (2)p是q的什么条件?,【解析】1.因为AB,由子集的定
5、义知xAxB,故“x A”是“xB”的充分条件;“xB”是“xA”的必要条件. 答案:充分 必要 2.(1)因为qs,srq,所以s是q的充分也是必要条件. (2)因为qsrp,所以p是q的必要条件.,【题型示范】 类型一 充分条件与必要条件的判断 【典例1】 (1)(2014广州高二检测)已知:p:x1;q:x2;则p是q的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.以上答案均不正确,(2)下列各题中,p是q的什么条件? p:= ;q:cos= ;p:(x+1)(x-2)=0;q:x+1=0.,【解题探究】1.题(1)中“若x1,则x2”,此命题正确吗?逆命 题呢? 2
6、.题(2)命题“若= ,则cos= ”是真命题吗?逆命题呢? 若实数x满足方程(x+1)(x-2)=0,是否还一定满足方程x+1=0?,【探究提示】1.命题“若x1,则x2”不正确,如x=1.5满足x1, 但x2不成立;逆命题是正确的. 2.命题“若= ,则cos= ”是真命题,但逆命题为假命 题. 若x满足方程(x+1)(x-2)=0,则x不一定满足方程x+1=0;如x=2 满足方程(x+1)(x-2)=0,但不满足x+1=0.,【自主解答】(1)选B.因为x1 x2,但x2x1, 所以p q,但qp, 所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件. (2)因为= cos= ,但cos= =
7、, 所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件. 因为(x+1)(x-2)=0 x+1=0,但x+1=0(x+1)(x-2)=0,所 以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.,【方法技巧】充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法:确定谁是条件,谁是结论. 尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件. 尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.,(2)命题判断法:如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件. 如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.,
8、【变式训练】已知p:|x|=|y|,q:x=y,则p是q的什么条件? 【解题指南】解答本题的关键是判断命题“若|x|=|y|,则 x=y”及逆命题是否成立,原命题成立p是q的充分条件,逆命题 成立p是q的必要条件. 【解析】由于|x|=|y| x=y,比如x=-1,y=1时,|x|=|y|,但 xy; 但x=y|x|=|y|,故p q,但qp. 所以p是q的必要条件,但不是充分条件.,【补偿训练】“m= ”是直线(m+2)x+3my+1=0与(m-2)x+ (m+2)y-3=0相互垂直的 条件. 【解析】当m= 时显然两直线垂直,而当两直线垂直时需 (m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,即
9、m= 或m=-2, 因此,m= 是两直线垂直的充分条件但不是必要条件. 答案:充分条件但不是必要,类型二 充分条件与必要条件的应用 【典例2】 (1)若“x2+ax+2=0”是“x=1”的必要条件,则a= . (2)是否存在实数p,使“4x+p0”的充分条件?如果存在,求出p的取值范围;若不存在,请说明理由.,【解题探究】1.题(1)中若x2+ax+2=0是x=1的必要条件,那么x=1是x2+ax+2=0的什么条件,x=1是方程x2+ax+2=0的根吗? 2.题(2)中若不等式4x+p0的解集分别为A,B,那么根据条件判断A与B有何关系? 【探究提示】1.x=1是x2+ax+2=0的充分条件,
10、且x=1是方程x2+ax+2=0的根. 2.若4x+p0的充分条件,则AB.,【自主解答】(1)由x2+ax+2=0是x=1的必要条件,知x=1是方程x2+ax+2=0的根,代入解得a=-3. 答案:-3 (2)由x2-x-20x2或x0, 故当p4时,4x+p0的充分条件.,【延伸探究】本例(2)中若换为:是否存在实数p使4x+p0的必要条件?如果存在,求出p的范围,若不存在,请说明理 由. 【解析】由于x2-x-20 4x+p0的必要条件.,【方法技巧】充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤:首先根
11、据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系,然后构建满足条件的不等式(组),再进行求解.,【变式训练】(2014赤峰高二检测)已知“xk”是“ 1”的充分条件,则k的取值范围是_. 【解析】由 1得, 0,即 0，解得x2或 x-1. 又“xk”是“ 1”的充分条件，故k2. 答案：2,+),【补偿训练】已知p:x2+x-6=0和q:mx+1=0,且p是q的必要条件但不是充分条件,求实数m的值. 【解析】p:xx|x2+x-6=0,即p:x2,-3, q:xx|mx+1=0, 因为p是q的必要条件,但不是充分条件, 所以x|mx+1=0 2,-3. 所以当x|mx+1=0=时成立,即m
12、=0;,当x|mx+1=0时，x= 当 时， 当 时, 所以 或 或m=0.,【拓展类型】用集合法判断充分条件与必要条件 【备选例题】(1)p:A=x|x是正方形，q:B=x|x是菱形，则p是q的_条件. (2)下列各题中，p是q的什么条件？ p:A=x|x(x-1)0，q:B=x|0x3. p:A=x|12x2,q:,【解析】(1)因为正方形一定是菱形，菱形不一定是正方形， 所以p是q的充分不必要条件. 答案：充分不必要 (2)由集合A得，0x1，所以A B， 所以p是q的充分不必要条件. 由集合A得，0x1， 由集合B得 所以B A，所以p是q的必要不充分条件.,【方法技巧】从集合的包含关
13、系看充分条件、必要条件 若不等式p,q对应的集合分别为P,Q,利用集合间的包含关系来判断充分条件、必要条件为: 若PQ,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. 若p是q的充分条件,即pq,相当于PQ,即:要使xQ成立,只要xP就足够了有它就行;为使xP成立,必须要使xQ缺它不可.,【易错误区】弄错两个集合间的关系而致误 【典例】(2014成都高二检测)已知P=x|a-4xa+4,Q=x|1 x3,“xP”是“xQ”的必要条件但不是充分条件,则实 数a的取值范围是 .,【解析】因为“xP”是“xQ”的必要条件但不是 充分条件， 所以Q P, 因为a+4-(a-4)=83-1=2. 所以 即 所以
14、-1a5. 答案：-1,5,【常见误区】,【防范措施】 1.集合关系中等号的处理 在已知两集合间的关系求参数的值或范围时,等号问题常有以下两种处理方法:一是借助数轴分析法,二是假设等号成立求出字母的值,再验证其是否符合题意.如本例中a-41,a+43都能够取到等号. 2.转化思想的应用 在由充分和必要条件转化为集合间的关系时,要分清是包含关系还是真包含关系,如本例应是Q P.,【类题试解】已知p:-2x10,q:x2-2x+1-m20(m0),若q是p的充分条件但不是必要条件,则实数m的取值范围为_.,【解析】p:-2x10. 由q:x2-2x+1-m20得x-(1-m)x-(1+m)0(m0),即1-m x1+m(m0). 因为q是p的充分条件但不是必要条件, 即x|1-mx1+m x|-2x10, 故有 解得m3. 又m0,所以实数m的取值范围为0m3. 答案:0m3,
