1、坐标系 第一讲第一讲 1.4 柱坐标系与球坐标系简介 2.1 曲线的参数方程 2.1.1 参数方程的概念与圆的参数 方程 栏目导 航 课前教材预案课前教材预案 课堂深度拓展课堂深度拓展 课后限时作业课后限时作业 课末随堂演练课末随堂演练 建立空间直角坐标系Oxyz，设P(x，y，z)是空 间任意一点，在Oxy平面的射影为Q，用(， )(0,02)表示点Q在平面Oxy上的极坐 标，点P的位置可用有序数组(，z)表 示把建立上述对应关系的坐标系叫做 _有序数组(，z)叫点P的 _，其中0, 02， zR. 课前教材预案课前教材预案 要点一 柱坐标系 柱坐标系 柱坐标 建立空间直角坐标系Oxyz，设
2、P是空间任意 一点，连接OP，记| OP |r，OP与Oz轴正向 所夹的角为，P在Oxy平面的射影为Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正 角为，点P的位置可以用有序数组(r，) 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫 球坐标系(或空间极坐标系)有序数组(r， )叫做点P的球坐标，其中r0，0， 02. 要点二 球坐标系 要点三 空间直角坐标系与柱坐标系的 转化 空间点 P 的直角坐标(x， y， z)与柱坐标(， ， z)之间的变换公式为 xcos ， ysin ， zz. 要点四 空间直角坐标系与球坐标系的 转化 空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换公
3、式为 x2y2z2r2， x_， y_， z_. rsin cos rsin sin rcos 课堂深度拓展课堂深度拓展 考点一 点的柱坐标与直角坐标的互化 运用公式 xcos ysin zz 与 x2y2 tan y xx0 zz ，可实现点的柱坐标与点的直角坐 标之间的互化 在使用 tan y x(x0)时， 的值由直角坐标系中的 x， y 的符号来确定 【例题1】 设点M的直角坐标为(2,2,2)，求它 在柱坐标系中的坐标 思维导引：已知直角坐标系中点M的直角坐 标，联想空间直角坐标系与柱坐标系的转化 公式，代入求解 解析：设点 M 的柱坐标为(，z)，则有 2cos ， 2sin ，
4、2z， 解得 2 2， 4，z2. 因此，点 M 的柱坐标为 2 2， 4，2 . 【变式 1】 已知点 P 的柱坐标为 8， 6，4 ，求它的直角坐标 解析：P 点的柱坐标为 8， 6，4 ，8， 6. 由公式 xcos ysin zz ，得 x8cos 6 y8sin 6 z4 ，即 x4 3， y4， z4. P 点的直角坐标为(4 3，4,4) 考点二 点的球坐标与直角坐标的互化 运用公式 x2y2z2r2 xrsin cos yrsin sin zrcos 与 r2x2y2z2 tan y xx0 cos z r ，可实现点的球坐标与点的 直角坐标的互化特别注意在由直角坐标求球坐标的
5、时候， 应根据点所在的象限 准确取值，才能无误 【例题 2】 已知点 M 的球坐标为 2，3 4， 3 4 ，求它的直角坐标 思维导引：已知点 M 的球坐标，求它的直角坐标联想到公式 x2y2z2r2， xrsin cos ， yrsin sin ， zrcos ， 代入求解 解析：设点 M 的直角坐标为(x，y，z)，将点 M 的球坐标为 2，3 4， 3 4 代入公式 x2y2z2r2， xrsin cos ， yrsin sin ， zrcos ， 得到 x2sin 3 4cos 3 41，y2sin 3 4sin 3 41，z2cos 3 4 2. 因此点 M 的直角坐标为(1,1，
6、2) 【变式 2】 设点 M 的直角坐标为 2 4 ， 6 4 ， 2 2 ，求它的球坐标 解析：由变换公式得 r x2y2z2 2 16 6 16 2 41， 由 rcos z 2 2 得 cos 2 2 ，3 4. 又 tan y x 3(x0，y0)，得 3. 则 M 的球坐标为 1，3 4 ， 3 . 考点三 空间坐标系中两点间的距离 空间坐标系中两点间距离的解法 在球坐标系与柱坐标系中没有研究两点间的距离，应先把它们化成直角坐标，再 运用空间两点间的距离公式 d x2x12y2y12z1z22求解 思维导引：把柱坐标与球坐标都化为直角坐 标，利用空间两点间的距离公式来解决 【例题 3
7、】 已知点 M 的柱坐标为 2， 4，3 ，点 N 的球坐标为 2， 4， 2 ，求线 段 MN 的长度 解 析 ： 设 点 M 的 直 角 坐 标 为 (x ， y ， z) ， 则 由 xcos ， ysin ， zz， 得 x 2cos 41， y 2sin 41， z3， 则 M(1,1,3) 设点 N 的直角坐标为(x，y，z)，则由 x2y2z2r2， xrsin cos ， yrsin sin ， zrcos ， 得 x 2sin 4cos 20，y 2sin 4sin 21， z 2cos 41，则 N(0,1,1) 故 MN 102112312 5. 【变式 3】 在球坐标系
8、中，A 2， 4， 4 和 B 2，3 4 ，3 4 的距离为_. 解析：A，B 两点化为直角坐标分别为：A(1,1， 2)，B(1,1， 2) 故|AB| 112112 2 222 3. 2 3 考点四 空间坐标系的综合应用 (1)柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐 标系中的一部分建立起来的 (2)解决空间坐标系中的问题的关键是找出这 些点所具有的共性和变化的特征 【例题4】 给定一个底面半径为2，高为2的 圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆 柱侧面以及底面上点的坐标 思维导引：建立恰当的柱坐标系，然后根据 柱坐标的定义解决相关问题 解析：以圆柱底面圆的圆心为原点，取两条 互相垂直的直
9、线为x轴y轴，以向上的中轴线 为z轴正方向建立柱坐标系 下底面上的点的柱坐标满足(1，1,0)其中 012，012. 上底面上的点的柱坐标满足(2，2,2)其中 022，022. 侧面上的点的柱坐标满足(2，3，z)其中 032，0z2. 【变式 4】 在赤道平面上，我们选取地球球心 O 为极点，以 O 为端点且与零子 午线相交的射线 Ox 为极轴，建立坐标系有 A，B 两个城市，它们的球坐标分别为 A R， 4， 6 ，B R， 4， 2 3 ，飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程 解析：如图所示，因为 A R， 4， 6 ，B R， 4， 2 3 ， 可知AOO1O1OB 4， 则O1AOO1BO 4. 又EOC 6，EOD 2 3 ， COD2 3 6 2.AO1BCOD 2. RtOO1B 中，O1BO 4，OBR，O1BO1A 2 2 R. AO1B 2，ABR. 在AOB 中，ABOBOAR，AOB 3. 故飞机经过 A，B 两地的大圆，航线最短，其路程为 3R. 课末随堂演练课末随堂演练 课后限时作业课后限时作业 制作者：状元桥 适用对象：高二学生 制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上 操作系统
