1、模块备考方略 栏目导 航 模块知识结构模块知识结构 模块核心素养模块核心素养 模块题型总结模块题型总结 模块知识结构模块知识结构 模块题型总结模块题型总结 题型一 直角坐标与极坐标的互化 直角坐标与极坐标用互化公式： xcos ， ysin ， 2x2y2， tan y xx0 互相转换，把极坐 标化为直角坐标后，问题就转化为我们熟悉的平面直角坐标系中的问题 高考对本知识点的考查多以选择题、填空题的形式进行，有时也以解答题的形式 出现，是高考重点考查内容之一，难度不大 【考题 1】 在极坐标系中，直线 cos 3sin 10 与圆 2cos 交于 A， B 两点，则|AB|_. 解析：直线的直
2、角坐标方程为 x 3y10， 即 y 3 3 (x1)， 圆的直角坐标方程为 x2y22x， 即(x1)2y21，圆心(1,0)在直线上， AB 为直径，又 r1，|AB|2. 2 【考题2】 在直角坐标系xOy中，圆C的方程 为(x6)2y225，以坐标原点为极点，x轴 正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐 标方程为_. 解析：将 xcos ， ysin 代入(x6)2y225， 得(cos 6)22sin225， 即 212cos 110. 212 cos 110 在极坐标系中，曲线上点的坐标(，)满足 方程f(，)0，这就是曲线的极坐标方 程与平面直角坐标系中通过建立曲线的方 程，然后
3、利用方程研究曲线的性质思想方法 一样高考中对曲线的极会标方程的考查， 主要集中在直线的极坐标方程、圆的极坐标 方程的求解方面 题型二 求曲线的极坐标方程 【考题 3】 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 则线段 y1x(0x1)的极坐标方程为( ) A 1 cos sin ，0 2 B 1 cos sin ，0 4 Ccos sin ，0 2 Dcos sin ，0 4 解析： xcos ， ysin ， y1x 化为极坐标方程为 cos sin 1，即 1 cos sin .0x1，0y1，线段在第一象限内(含端点)，0 2.故选 A A 用参数法求动点的轨迹方
4、程，或利用已选定 的参数建立曲线的参数方程是高考重点考查 的内容之一高考对求曲线的参数方程要求 不高，一般放在解答题中的第一问出现，难 度不大在解题时要明确曲线参数方程的特 点，根据题意选择适当的参数，利用已知条 件求得参数方程 题型三 求曲线的参数方程 【考题 4】 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 2cos ， 0， 2 . (1)求 C 的参数方程； (2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y 3x2 垂直，根据(1)中你得到 的参数方程，确定 D 的坐标 解析：(1)C 的普通方程为(x1)2y2
5、1(0y1) 可得 C 的参数方程为 x1cos t， ysin t (t 为参数，0t) (2)设 D(1cos t，sin t)(0t)由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心，1 为半径的上半 圆 因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直，所以直线 GD 与 l 的斜率相同，即 tan t 3， 故 t 3. 所以 D 的直角坐标为 1cos 3，sin 3 ，即 3 2， 3 2 . 【考题 5】 (2016 河南郑州高三质检)平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C：(x1)2 y21.直线 l 经过点 P(m,0)，且倾斜角为 6，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极 坐标系，写
6、出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程； 解析：曲线 C 的直角坐标方程为(x1)2y21， 即 x2y22x，即 22cos ， 所以曲线 C 的极坐标方程为 2cos ， 直线 l 的参数方程为 xm 3 2 t， y1 2t (t 为参数) 题型四 参数方程及其应用 参数方程及其应用是高考考查的重点内容， 主要考查参数方程与普通方程互化的方法与 技巧，利用参数方程求解有关最值和范围等， 选择题、填空题和解答题的形式都可能出现， 选择题和填空题主要考查基本公式，由参数 方程化普通方程，参数的几何意义等，难度 较小，解答题着重考查知识的应用能力，具 有较强的综合性 【考题 6】 (2
7、016 河北唐山高三统考)已知直线 l 的参数方程为 x1tcos ， y1tsin (t 为参数)，曲线 C1的参数方程为 x22cos ， y42sin ( 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线 C2的极坐标方程为 4cos . (1)若直线 l 的斜率为 2，判断直线 l 与曲线 C1的位置关系； (2)求 C1与 C2交点的极坐标(0,00，所以 l 与 C1相交 (2)C2： x2y24x0， 由 C1与 C2联立可得 x2y24x8y160， x2y24x0 x2， y2， C1与 C2交点的极坐标为 2 2， 4 . 【考题 7】 (2015 湖北
8、卷)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系已知直线 l 的极坐标方程为 (sin 3cos )0，曲线 C 的参数方程 为 xt1 t ， yt1 t (t 为参数)，l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB|2 5. 解析：直线 l 的直角坐标方程为 y3x0， 曲线 C 的普通方程为 y2x24. 由 y3x0， y2x24 得 x21 2，即 x 2 2 ， 则|AB| 1k2 AB|xAxB| 132 22 5. 模块核心素养模块核心素养 素养一 设点的坐标参数化思想 对于有关圆锥曲线最值问题，可设曲线上的 点的参数形式，从而将最值问题转化为三角
9、 数的值域或最值问题，并要注意参数本身的 取值范围 【典例 1】 (2016 陕西西安高三质检)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程 为 x 3cos ， ysin ， 以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin 4 4 2. (1)求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程 (2)设 P 为曲线 C1上的动点，求点 P 到 C2上点的距离的最小值，并求此时点 P 的 坐标 解析：对于曲线 C1有 x 3cos ysin ，则 x 3 2y2cos2 sin 2 1，即 C 1的普 通方程为x 2 3 y21. 对于曲线 C2有
10、 sin 4 2 2 (cos sin )4 2cos sin 8xy8 0，所以 C2的直角坐标方程为 xy80. (2)显然椭圆 C1与直线 C2无公共点，椭圆上点 P( 3cos ，sin )到直线 xy8 0 的距离为 d| 3cos sin 8| 2 2sin 3 8 2 ， 当 sin 3 1，即 6时，d 取最小值为 3 2，此时点 P 的坐标为 3 2， 1 2 . 【典例 2】 (2016 湖南东部六校联考)已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos .以极 点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的 参数方程是： xm 2 2 t y 2
11、 2 t (t 是参数) (1)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|AB| 14，试求实数 m 的值； (2)设 M(x，y)为曲线 C 上任意一点，求 x2y 的取值范围 解析：(1)曲线 C 的极坐标方程是 4cos ，化为直角坐标方程为 x2y24x0， 由直线 l 的参数方程可得其普通方程为：yxm， 圆心到直线 l 的距离(弦心距)d22 14 2 2 2 2 ， 圆心(2,0)到直线 yxm 的距离|20m| 2 2 2 ，即|m2|1，m1 或 m3. (2)曲线 C 的方程可化为(x2)2y24，其参数方程为 x22cos ， y2sin ( 为参 数)， M(x
12、，y)为曲线 C 上任意一点，x2y22 5sin ()(其中 tan 1 2)， x2y 的取值范围是22 5，22 5 素养二 建系解析法思想 几何问题可通过建立坐标系，从而将几何问 题代数化，用解析法解决几何问题 【典例3】 求证：ABC的三条高AD，BE， CF相交于一点 证明： 以 AB 所在直线为 x 轴， 以 AB 边上的高所在直线为 y 轴， 建立直角坐标系， 如图所示 设 A(a,0)，B(b,0)，C(0，c)， kACc a，kBC c b. ADBC，BEAC， kADb c，kBE a c. 直线 BE 的方程为 ya c(xb) ， 直线 AD 的方程为 yb c(
13、xa) ， 联立得 ya cxb， yb cxa， 解得 x0， yab c ， 同理，联立 CF，AD 的方程也解得 x0， yab c . 故三条高交于一点 素养三 模型再现的素养 建立数学模型，研究实际问题，再现模型时 利用相关模型知识建模解决相应问题，例如 直线参数方程中t的意义这一模型 【典例 4】 (2016 河南郑州模拟)平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C：(x1)2y2 1.直线 l 经过点 P(m,0)，且倾斜角为 6，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标 系 (1)写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B
14、两点，且|PA| |PB|1，求实数 m 的值 解析：(1)曲线 C 的直角坐标方程：(x1)2y21， 即 x2y22x，即 22cos ， 所以曲线 C 的极坐标方程为 2cos ， 直线 l 的参数方程为 xm 3 2 t， y1 2t (t 为参数) (2)设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，将直线 l 的参数方程代入 x2y22x 中， 得 t2( 3m 3)tm22m0，所以 t1t2m22m， 由题意得|m22m|1，解得 m1 或 m1 2或 m1 2. 【典例 5】 (2016 海南海口高三质检)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方 程为 x3 2 2
15、t， y 5 2 2 t (t 为参数) 在以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 圆 C 的方程为 2 5sin . (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； (2)若点 P 坐标为(3， 5)，圆 C 与直线 l 交于 A，B 两点，求|PA|PB|的值 解析：(1)由 x3 2 2 t， y 5 2 2 t 得直线 l 的普通方程为 xy3 50.又由 2 5 sin 得圆 C 的直角坐标方程为 x2y22 5y0，即 x2(y 5)25. (2)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 3 2 2 t 2 2 2 t 25，即 t2 3 2t40. 由于 (3 2)24420，故可设 t1，t2是上述方程的两实数根，所以 t1t2 3 2，t1 t24. 又直线 l 过点 P(3， 5)，A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 所以|PA|PB|t1|t2|t1t23 2. 制作者：状元桥 适用对象：高二学生 制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上 操作系统
