1、参数方程 第二讲第二讲 2.1 曲线的参数方程 2.1.2 参数方程的概念与圆的参数方程 栏目导 航 课前教材预案课前教材预案 课堂深度拓展课堂深度拓展 课后限时作业课后限时作业 课末随堂演练课末随堂演练 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不 同形式一般地，可以通过_而从 参数方程得到普通方程 课前教材预案课前教材预案 要点一 参数方程转化为普通方程 消去参数 要点二 普通方程转化为参数方程 如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如_，把它代入普通方 程， 求出另一个变数与参数的关系_， 那么 xft， ygt 就是曲线的参数方程 在 参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y
2、 的_保持一致 xf(t) yg(t) 取值范围 课堂深度拓展课堂深度拓展 考点一 参数方程化为普通方程 参数方程化为普通方程的技巧 将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，常用的消元法有代入消元法、加减 消元法 如果参数方程是分式方程， 在运用代入消元或加减消元之前做必要的变形 另 外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如 sin2 cos21，(exe x)2(exex)24， 1k2 1k2 2 2k 1k2 21 等 【例题 1】 (2016 华师一附中高三五月质检)将下列参数方程化为普通方程，并说 明方程表示的曲线 (1) x13t， y4t (t 为参数)； (2) x14cos t，
3、 y24sin t (t 为参数，0t)； (3) x2sin2 ， y1cos 2 ( 为参数)； (4) xsin cos ， ysin 2 ( 为参数) 思维导引：把普通方程化成参数方程后，很 容易改变变量的取值范围，从而使得两种方 程所表示的曲线不一致，因此我们在解题时 一定要验证普通方程与参数方程的等价性 解析：(1)由已知 t1x 3 ，代入 y4t 中， 得 4x3y40， 它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线 (2)0t，1cos t1,0sin t1. 3x5，2y2， (x1)2(y2)216cos2 t16sin2 t16. (x1)2(y2)216(3x5，2y2)
4、， 它表示的曲线是以(1，2)为圆心，半径为4 的上半圆 (3)由y1cos 2可得y2sin2 ，把sin2 x2代入y2sin2 可得y2(x2)， 即2xy40， 又22sin2 3，即2x3， 所求的方程是2xy40(2x3)，它表 示的是一条线段 (4)由 xsin cos 平方得 x212sin cos 1sin 2， 又 ysin 2 代入上式得，x21y， 又 xsin cos 2sin 4 2， 2， 所求的普通方程为 yx21( 2x 2) 【变式 1】 分别在下列两种情况下，把参数方程 x1 2e tetcos ， y1 2e tetsin 化为普通方程： (1) 为参数
5、，t 为常数； (2)t 为参数， 为常数 解析：(1)当 t0 时，y0，xcos ，即|x|1，且 y0； 当 t0 时，cos x 1 2e tet，sin y 1 2e tet 而 sin2cos21， 即 x2 1 4e tet2 y2 1 4e tet21. (2)当 k，kZ 时，y0，x 1 2(e tet)，即|x|1，且 y0； 当 k 2，kZ 时，x0，y 1 2(e tet)，即 x0； 当 k 2 ，kZ 时，得 ete t 2x cos ete t 2y sin ，即 2et 2x cos 2y sin ， 2e t 2x cos 2y sin . 得 2et 2
6、e t 2x cos 2y sin 2x cos 2y sin ， 即 x2 cos2 y2 sin2 1. 考点二 普通方程化为参数方程 普通方程化为参数方程的注意点 (1)求曲线的参数方程，要注意参数的选取， 曲线的参数很关键，既要保证曲线上每一点 都能由参数某一值唯一确定，又要保证参数 与x，y的关系比较明显 (2)选取参数后要特别注意参数的取值范围， 保证参数方程与普通方程的等价性 【例题2】 求方程4x2y216的参数方程： (1)设y4sin ，为参数； (2)若令yt(t为参数)，如何求曲线的参数方 程？若令x2t(t为参数)，如何求曲线的参数 方程？ 思维导引：(1)将普通方程
7、化为参数方程的一般方法： 已知 xft， Fx，y0 把xft 代入Fx，y0y(t) xft， yt. (2)将曲线的普通方程化为参数方程时，选取的参数不同，一条曲线的参数方程会 有不同的形式 解析：(1)把 y4sin 代入方程， 得到 4x216sin2 16，于是 4x21616sin2 16cos2 ，x 2cos .由于参 数 的任意性，可取 x2cos ， 因此 4x2y216 的参数方程是 x2cos ， y4sin ( 为参数) (2)将 yt 代入椭圆方程 4x2y216，得 4x2t216， 则 x216t 2 4 ，x 16t2 2 . 因此，椭圆 4x2y216 的参
8、数方程是 x 16t2 2 ， yt 和 x 16t2 2 ， yt (t 为参数) 同理将 x2t 代入椭圆方程 4x2y216， 得椭圆的参数方程为 x2t， y4 1t2 和 x2t， y4 1t2 (t 为参数) 【变式 2】 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程 (1)x1 2 3 y2 2 5 1，x 3cos 1.( 为参数) (2)x2yx10，xt1.(t 为参数) 解析：(1)将 x 3cos 1 代入x1 2 3 y2 2 5 1 得：y2 5sin . x 3cos 1， y 5sin 2 ( 为参数)， 这就是所求的参数方程 (2)将 xt1 代入 x2yx10
9、 得： yx2x1(t1)2t11t23t1. xt1 yt23t1 (t 为参数)，这就是所求的参数方程 考点三 两种方程间的互化及其应用 【例题 3】 已知直线 C1： x1tcos ， ytsin (t 为参数)，C2： xcos ， ysin ( 为参 数) (1)当 3时，求 C1 与 C2的交点坐标； (2)过坐标原点 O 作 C1的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点当 变化时，求 P 点 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线 思维导引：(1)将参数方程化为普通方程，解 方程组求交点 (2)由C1的普通方程求出点A的坐标，利用中 点坐标公式求出P的坐标可得参数方程，再 化为普通方
10、程可知曲线类型 解析：(1)当 3时，C1 的普通方程为 y 3(x1)， C2的普通方程为 x2y21. 联立方程组 y 3x1， x2y21， 解得 C1与 C2的交点为(1,0)， 1 2， 3 2 . (2)C1的普通方程为 xsin ycos sin 0. A 点坐标为(sin2 ，cos sin )， 故当 变化时，P 点轨迹的参数方程为 x1 2sin 2 ， y1 2sin cos ( 为参数) P 点轨迹的普通方程为 x1 4 2y2 1 16. 故 P 点轨迹是圆心为 1 4，0 ，半径为 1 4的圆 【变式 3】 已知直线 l 的参数方程为 xa2t， y4t (t 为参
11、数)，圆 C 的参数方程为 x4cos ， y4sin ( 为参数) (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程； (2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围 解析：(1)直线 l 的普通方程为 2xy2a0， 圆 C 的普通方程为 x2y216. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点， 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d|2a| 5 4， 解得2 5a2 5. 故 a 的取值范围是2 5，2 5 考点四 参数方程的综合应用 【例题 4】 已知曲线 C1： x4cos t， y3sin t (t 为参数)，C2： x8cos ， y3sin ( 为 参数) (1)化 C1，
12、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 C1上的点 P 对应的参数为 t 2，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 x 2y70 距离的最小值 思维导引：先把题目条件中的参数方程转化为普通方程，然后根据普通方程解决 问题 解析：(1)C1：(x4)2(y3)21，C2： x2 64 y2 9 1. C1为圆心是(4,3)，半径是 1 的圆 C2为中心是坐标原点，焦点在 x 轴，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆 (2)当 t 2时，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )，故 M 24cos ，23 2sin . M 到直线的距离 d 5 5 |4co
13、s 3sin 13| 5 5 |5sin()13| 为锐角且tan4 3 . 从而当 sin()1 时，d 取得最小值8 5 5 . 【变式 4】 (2016 重庆高二调研)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程 为 x 2sin 4 ， ysin 21 ( 为参数)，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 24sin 3. (1)求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程； (2)求曲线 C1上的点与曲线 C2上的点的距离的最小值 解析： (1)x2 2sin 4 2(sin cos )2sin 21y， 所以 C 1的普通方程为 y
14、x2. 将 2x2y2，sin y 代入 C2的方程得 x2y24y3， 所以 C2的直角坐标方程为 x2y24y30. (2)C2：x2(y2)21，它的圆心为 C(0,2)，半径为 1. 设 P(x0，y0)为 C1上任意一点，则 y0x2 0，从而|PC| 2(x 00) 2(y 02) 2x2 0(x 2 0 2)2x4 03x 2 04 x2 0 3 2 27 4，所以当 x 2 0 3 2时，|PC|min 7 2 ， 故曲线 C1上的点与曲线 C2上的点的距离的最小值为 7 2 1. 课末随堂演练课末随堂演练 课后限时作业课后限时作业 制作者：状元桥 适用对象：高二学生 制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上 操作系统
