1、坐标系 第一讲第一讲 教材单元导学教材单元导学 知识结构 图解 分类考试 要求 考点及能力要求 高考 1.平面直角坐标系的建立 即坐标法 d 2.伸缩变换 b 3.极坐标与直角坐标互化 d 4.简单曲线的极坐标方程 d 5.柱坐标系与球坐标系简 介 a 1.1 平面直角坐标系 栏目导 航 课前教材预案课前教材预案 课堂深度拓展课堂深度拓展 课后限时作业课后限时作业 课末随堂演练课末随堂演练 1平面直角坐标系的作用：通过建立直角坐 标系，平面上的点与坐标(有序数对)、曲线 与方程建立了联系，从而实现了数与形的结 合 2坐标法：根据_对象的特征，选择 适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研 究它的
2、性质及与其他几何图形的关系，这就 是研究几何问题的坐标法 课前教材预案课前教材预案 要点一 平面直角坐标系 几何 3坐标法解决几何问题的“三部曲”： 第一步：建立适当的_， 用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素， 将几何问题转化成代数问题； 第二步：通过_运算，解决_问 题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成_ 结论 平面直角坐标系 代数 几何 几何 的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，就 称为平面直角坐标系中的_， 简称_ 要点二 平面直角坐标系中的伸缩变换 定义：设 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 ： xx，0， yy，0 坐标伸缩变换 伸缩变换 课堂深度拓展课堂
3、深度拓展 考点一 求轨迹方程 求轨迹方程的步骤 求轨迹方程需要结合几何图形的结构特点， 先建立适当的平面直角坐标系，然后设出所 求动点的坐标，寻找满足几何关系的等式， 化简后即可得到所求的轨迹方程 【例题1】 已知RtABC，|AB|2a(a0)， 求直角顶点C的轨迹方程 思维导引：建立适当的直角坐标系，写出A， B两点的坐标，设出点C的坐标，代入直角三 角形满足的条件中化简即得，注意A，B，C 三点不共线 解析：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐 标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有 A(a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y) 方法一 由ABC是直角三 角形可知|AB|2|AC|2|
4、BC|2， 即(2a)2(xa)2y2(x a)2y2，化简得x2y2a2. 依题意可知，xa. 故所求直角顶点C的轨迹方 程为x2y2a2(xa) 方法二 由ABC 是直角三角形可知 ACBC，所以 kAC kBC1，则 y xa y xa 1(xa)，化简得直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y2a2(xa) 方法三 由ABC是直角三角形可知|OC|OB|， 且点C与点B不重合， 所以 x2y2 a2(xa)，化简得直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y2a2(xa) 【变式1】 已知线段AB与CD互相垂直平分于 点O，|AB|8，|CD|4，动点M满足 |MA|MB|MC|MD|，求动点M的轨迹
5、方 程 解析： 以 O 为原点， 分别以直线 AB， CD 为 x 轴， y 轴建立直角坐标系， 则 A(4,0)， B(4,0)，C(0,2)，D(0，2)设 M(x，y)为轨迹上任一点， 则|MA| x42y2，|MB| x42y2， |MC| x2y22，|MD| x2y22， 由|MA| |MB|MC| |MD|，可得 x42y2x42y2 x2y22x2y22.化简得 y2x260.则点 M 的轨迹方程为 x2y26. 考点二 用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题的技巧 (1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题 转化为解析几何问题，即化形为数，再回到 形中 (2)建立坐标系时
6、，要充分利用图形的几何特 征 【例题2】 有一大型商品，A，B两地都有出 售，且价格相同，某地居民从两地之一购得 商品后回运的运费是：每单位距离A地的运 费是B地运费的3倍，已知A，B两地相距10 km，居民选择A地或B地购买这种商品的标准 是包括运费和价格的总费用较低求A，B两 地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出 曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择 购货地点 思维导引：本题涉及两点间的距离及曲线， 故要想到坐标法解决问题 解析：以 A，B 所在直线为 x 轴，A，B 中点 O 为坐标原点，建立如图的直角坐标 系 |AB|10，点 A(5,0)，B(5,0)设某地 P 的坐标为(x，y
7、)，并设 A 地运费为 3a 元/公里，则 B 地运费为 a元/公里，设 P 地居民购货总费用满足条件(P 地居民选择 A 地 购货)：价格A 地运费价格B 地运费， 即 3a x52y2a x52y2， a0，3 x52y2 x52y2， 两边平方得 9(x5)29y2(x5)2y2， 即 x25 4 2y2 15 4 2. 故以点 C 25 4 ，0 为圆心，以15 4 为半径的圆是这两地购货的分界线圆 C 内的居民 从 A 地购货便宜；圆 C 外的居民从 B 地购货便宜；圆 C 上的居民从 A，B 两地购货的 总费用相等，可随意从 A，B 两地之一购货 【变式2】 已知ABC中，ABAC
8、，BD， CE分别为两腰上的高求证：BDCE. 解析：如图，以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标 系 设 B(a,0)，C(a,0)，A(0，h)则直线 AC 的方程为 yh axh， 即 hxayah0. 直线 AB 的方程为 yh axh， 即 hxayah0.由点到直线的距离公式得 |BD| |2ah| a2h2，|CE| |2ah| a2h2， 则|BD|CE|，即 BDCE. 考点三 平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)利用伸缩变换求解析式，其主旨是相关点 法求解析式，用未知点的坐标表示已知点的 坐标，代入已知轨迹的解析式中 (2)求满足变换图象的
9、伸缩变换，实际上就是 求其变换公式，将新旧坐标分别代入对应的 曲线方程，然后比较系数即可 思维导引：利用伸缩变换公式求解 【例题 3】 (2016 黄冈高三模拟组合)在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图 形经过伸缩变换 x1 2x， y1 3y 后的图形 (1)2x3y40；(2)x2y21； (3)x 2 4 y 2 9 1；(4)y24x. 解析：将 x1 2x， y1 3y 变形为 x2x， y3y， (1)2x3y40 可变换为 4x9y40，即将直线 2x3y40 变换为直线 4x9y40. (2)x2y21 可变换为 4x29y21，即x 2 1 4 y 2 1 9 1， 即
10、将圆 x2y21 变换为椭圆x 2 1 4 y 2 1 9 1. (3)x 2 4 y 2 9 1 可变换为 x2y21. (4)y24x 可变换为 9y28x，即 y28 9x. 即将抛物线 y24x 变换为抛物线 y28 9x. 【变式 3】 在同一平面直角坐标中，已知伸缩变换公式 ： x3x， 2yy， 求双曲线 C：x2y 2 4 1 经过 变换后所得曲线 C的焦点坐标 解析：由伸缩变换公式 ： x3x， 2yy， 得 x1 3x， y2y， 代入 x2y 2 4 1 得到变换后 C的方程为x 2 9 y 2 1 1. 则 a29，b21，由 c2a2b2得 c 10. 故曲线 C两焦点为 F1( 10，0)，F2( 10，0) 课末随堂演练课末随堂演练 课后限时作业课后限时作业 制作者：状元桥 适用对象：高二学生 制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上 操作系统
