1、第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 1.1.了解正弦定理的推导过程了解正弦定理的推导过程. . 2.2.理解并掌握正弦定理，能运用正弦定理解决两类解三角形的理解并掌握正弦定理，能运用正弦定理解决两类解三角形的 问题问题. . 3.3.通过正弦定理的学习，体会通过正弦定理的学习，体会“数形结合数形结合”和和“转化与化归转化与化归” 的数学思想的数学思想. . 1.1.正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的在一个三角形中，各边和它所对角的_的比相等，即的比相等，即 _._. 2.2.解三角形解三角形 (1)(1)三角形的元素：三角形的三个内角三角形的元素
2、：三角形的三个内角A A，B B，C C和它们的对边和它们的对边 _._. (2)(2)解三角形：已知三角形的某些元素求解三角形：已知三角形的某些元素求_的过程的过程. . abc sin Asin Bsin C 正弦正弦 a a，b b，c c 其他元素其他元素 1.1.在在ABCABC中，中，a=10a=10，A=120A=120，b= b= ，则，则B=(B=( ) ) A.30A.30 B.60B.60 C.150C.150 D.90D.90 【解析解析】选选A.A.由正弦定理由正弦定理 得得sinB=sinB= 又又0 0b abab 一解一解 【探究总结探究总结】正弦定理的三个应用
3、技巧正弦定理的三个应用技巧 (1)(1)求边：求边： 类似地，还可以类似地，还可以 写出求写出求a a，b b，c c的其他几个公式的其他几个公式. . (2)(2)求角：先求出正弦值，再求角，即求角：先求出正弦值，再求角，即 等类似的公式等类似的公式. . (3)(3)相同的元素归到等号的一边：相同的元素归到等号的一边： bsin Aasin Basin C abc sin Bsin Asin A ， asin B sin A b ， bsin Acsin A sin Bsin C aa ， asin A bsin B csin C . bsin B csin C asin A ， 类型一类
4、型一 已知两角和一边解三角形已知两角和一边解三角形 1.1.在在ABCABC中，中，A=120A=120，B=30B=30，a=8a=8，则，则c=c= . . 2.2.已知在已知在ABCABC中，中，c=10c=10，A=45A=45，C=30C=30，求，求a a，b b和和B.B. 【解题指南解题指南】1.1.先由三角形内角和定理求出角先由三角形内角和定理求出角C C，再根据正弦，再根据正弦 定理求定理求c.c. 2.2.先根据三角形的内角和定理求得角先根据三角形的内角和定理求得角B B，由正弦定理求得，由正弦定理求得a a，b.b. 【自主解答自主解答】1.1.因为因为A+B+C=18
5、0A+B+C=180，所以，所以C=30C=30. . 又由正弦定理又由正弦定理 得得c= c= 答案：答案： 2.2.因为因为c=10c=10，A=45A=45，C=30C=30. . 所以所以B=180B=180- -(A+C)=105(A+C)=105， 由由 得得 由由 得得 =20sin75=20sin75= = ca sin Csin A 8 3 . 3 8 3 3 ac . sin Asin C csin A10 sin 45 a10 2. sin Csin 30 bc sin Bsin C csin B10 sin 105 b sin Csin 30 62 205 65 2.
6、4 【规律总结规律总结】已知两角和一边解三角形的步骤已知两角和一边解三角形的步骤 【变式训练变式训练】 若若ABCABC中，中，a=4a=4，A=45A=45，B=60B=60，则边，则边b b的值为的值为( ( ) ) 【解析解析】选选C.C.由正弦定理得，由正弦定理得， 故故b= b= A. 3 1 B.2 3 1 C.2 6 D.22 3 4b sin 45sin 60 ， 2 6. 类型二类型二 已知两边及其中一边的对角解三角形已知两边及其中一边的对角解三角形 1.(20141.(2014湖北高考湖北高考) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别
7、为 a a，b b，c.c.已知已知A= ,a=1A= ,a=1，b= b= 则则B=B= . . 2.2.在在ABCABC中，中，c= A=45c= A=45，a=2a=2，求，求b b和和B B，C.C. 3， 6， 6 【解题指南解题指南】1.1.根据正弦定理即可求出角根据正弦定理即可求出角B.B. 2.2.根据正弦定理求得根据正弦定理求得sinCsinC，根据大边对大角，比较，根据大边对大角，比较csinAcsinA与与a a， c c的大小关系，确定解的情况的大小关系，确定解的情况. . 【自主解答自主解答】1.1.依题意，由正弦定理知依题意，由正弦定理知 得出得出sinB= .si
8、nB= .由于由于0a，所以，所以BA.BA.所以所以B=60B=60或或120120. . 4 3， ab sin Asin B ， 1 4 3 b sin A3 2 . a42 类型三类型三 判断三角形的形状判断三角形的形状 1.1.已知已知a a，b b，c c分别是分别是ABCABC三个内角三个内角A A，B B，C C的对边，且的对边，且 acosA=bcosBacosA=bcosB，ABCABC一定是一定是( ( ) ) A.A.等腰三角形等腰三角形 B.B.直角三角形直角三角形 C.C.等边三角形等边三角形 D.D.等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形 2.2.在在ABC
9、ABC中，已知中，已知bsinB=csinCbsinB=csinC，且，且sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C C，试判，试判 断三角形的形状断三角形的形状. . 【解题指南解题指南】1.1.先利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，先利用正弦定理将已知条件转化为角的关系， 然后借助三角公式即可判断然后借助三角公式即可判断. . 2.2.将题设中角之间的关系式转化为边之间的关系，进而判断三将题设中角之间的关系式转化为边之间的关系，进而判断三 角形的形状角形的形状. . 【自主解答自主解答】1.1.选选D.D.由正弦定理得由正弦定理得 又因为又因为acosA=b
10、cosBacosA=bcosB，即，即 即即 所以所以sinAcosA=sinBcosBsinAcosA=sinBcosB， 所以所以sin2A=sin2B.sin2A=sin2B. 所以所以2A=2B2A=2B或或2A+2B=2A+2B=， 所以所以A=BA=B或或A+B= .A+B= . 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. . asin A . bsin B acos B bcos A ， sin Acos B sin Bcos A ， 2 2.2.设设 =2R(R0)=2R(R0)， 所以所以 又因为又因为bsinB=csinCbsinB=csin
11、C且且sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C.C. 所以所以 且且 即即b b2 2=c=c2 2且且a a2 2=b=b2 2+c+c2 2. . 所以所以ABCABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形. . abc sin Asin Bsin C abc sin Asin Bsin C. 2R2R2R ， bc bc 2R2R 222 222 abc . 4R4R4R 【规律总结规律总结】判断三角形形状的常用方法判断三角形形状的常用方法 判断三角形形状的常用方法是化边为角或化角为边判断三角形形状的常用方法是化边为角或化角为边. .分以下两分以下两 步：步：
12、第一步，将题目中的条件，利用正弦定理化边为角或化角为边，第一步，将题目中的条件，利用正弦定理化边为角或化角为边， 第二步，根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边第二步，根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边 的关系，进而确定三角形的形状的关系，进而确定三角形的形状. . 【变式训练变式训练】 在在ABCABC中，若中，若 ，则，则ABCABC是是( ( ) ) A.A.直角三角形直角三角形 B.B.等边三角形等边三角形 C.C.钝角三角形钝角三角形 D.D.等腰直角三角形等腰直角三角形 abc cos Acos Bcos C 【解析解析】选选B.B.由由 ，得，得 又又 ，所以，所以 所以所以 ，所以，所以sinAcosB=cosAsinBsinAcosB=cosAsinB， sin(Asin(A- -B)=0B)=0，A=B.A=B.同理同理B=C.B=C. 所以所以ABCABC是等边三角形是等边三角形. .故选故选B.B. ab cos Acos B acos A . bcos B ab sin Asin B asin A . bsin B sin Acos A sin Bcos B
