1、2.2 等差数列 第1课时 等差数列 姚明刚进姚明刚进NBANBA一周训练罚球的个数：一周训练罚球的个数： 第一天：第一天：6 0006 000， 第二天：第二天：6 5006 500， 第三天：第三天：7 0007 000， 第四天：第四天：7 5007 500， 第五天：第五天：8 0008 000， 第六天：第六天：8 5008 500， 第七天：第七天：9 000.9 000. 得到数列：得到数列： 6 0006 000，6 5006 500，7 0007 000，7 5007 500， 8 0008 000，8 5008 500，9 000.9 000. 情境情境1 1： 情境情境2
2、 2： 某名牌运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是某名牌运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cmcm） 得到数列：得到数列： 11 22,23,23,24, 22 11 24,25,25,26. 22 6 000，6 500，7 000，7 500， 8 000，8 500，9 000. 数列数列1 1 1111 22,23,23,24,24,25,25,26. 2222 数列数列2 2 问题问题1 1：请你说出这两个数列的请你说出这两个数列的 后面一项是多少？你的依据是后面一项是多少？你的依据是 什么？什么？ 问题问题2 2：这两个数列的共同特这两个数列的共同特 征是什么？征是什么？ 观察，分析
3、，观察，分析， 交流，讨论交流，讨论 学生活动：学生活动： 提示：提示：95009500， 等差。等差。 提示：都是等差数列。提示：都是等差数列。 1 26; 2 1.1.理解等差数列的概念理解等差数列的概念. .( (重点）重点） 2.2.掌握等差数列的通项公式掌握等差数列的通项公式. .（重点）（重点） 3.3.了解等差数列的通项公式的推导过程及思想方法了解等差数列的通项公式的推导过程及思想方法. . （难点）（难点） 学生活动学生活动1 1 等差数列的定义等差数列的定义 【课堂探究课堂探究1 1】 探究性问题探究性问题1 1： 以上数列是否是等差数列？以上数列是否是等差数列？ 若是，公差
4、是多少？若是，公差是多少？ 问题问题1 1 6 6，4 4，2 2，0 0， - -2 2，- -4 4， 问题问题2 2 4 4，7 7，1010， 1313，1616， 19,19, 问题问题3 3 0 0，1 1，0 0，1 1， 0 0，1 1, , 问题问题4 4 常数列常数列 , , , , ,a a a a a 公差可以是正数公差可以是正数, ,负数，负数， 也可以是也可以是0. 0. 每一项与它的前每一项与它的前 一项的差必须是一项的差必须是 同一个常数同一个常数( (因因 为同一个常数体为同一个常数体 现了等差数列的现了等差数列的 基本特征）基本特征）. . 公差公差d d是
5、每一项是每一项 （从第（从第2 2项起）项起） 与它的前一项的与它的前一项的 差，不要把被减差，不要把被减 数与减数弄颠倒数与减数弄颠倒. . “从第从第2 2项起”项起” 探究性问题探究性问题1 1 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2 2项起，每一项项起，每一项 与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数 列就叫做列就叫做等差数列等差数列，这个常数叫做等差数列的，这个常数叫做等差数列的公公 差差，公差通常用字母，公差通常用字母d d表示表示. . 等等 差差 数数 列列 的的 公公 差差 d 1.1.数学表达式数学表达式:a:an n
6、- -a an n- -1 1=d (n2).=d (n2). 3 3. . 取 值取 值 范 围 ：范 围 ： dRR. . 2. 2. d为同一个为同一个常数，如常数，如2 2，3 3，5 5，9 9，1111就就 不是等差数列不是等差数列. . 下列数列是不是等差数列？如果是，求出公差下列数列是不是等差数列？如果是，求出公差d d。 （1 1）1 1，4 4，7,107,10； （2 2）1,1.5,2,2.5,3,3.51,1.5,2,2.5,3,3.5； 解析解析：（：（1 1）是等差数列，公差）是等差数列，公差d=3d=3； （2 2）是等差数列，公差）是等差数列，公差d=0.5.
7、d=0.5. 【即时练习即时练习】 探究性问题探究性问题2 2： 在如下的两个数之间，在如下的两个数之间， 插入一个什么数后这三个数插入一个什么数后这三个数 就会成为一个等差数列：就会成为一个等差数列： （1 1）2 2， ，4 4； （2 2）- -8 8， ，0 0； （3 3）a a， ，b b 等差中项的等差中项的 相关知识相关知识 3 3 - -4 4 ？ 【课堂探究课堂探究2 2】 由三个数由三个数a a，A A，b b组成的等差数列可以看成组成的等差数列可以看成 最简单的等差数列最简单的等差数列. .这时，这时，A A叫做叫做a a与与b b的的等差中项等差中项. . 2 ab
8、A 分组讨论学习，分组讨论学习， 探究等差数列的探究等差数列的 通项公式通项公式 猜想：猜想： （1 1）等差数列）等差数列8 8，5 5，2,2,的第的第1010项，第项，第3030项，第项，第4040 项？项？ （2 2）已知等差数列的首项为）已知等差数列的首项为 ，公差为，公差为 ，请根据，请根据 等差数列的特点，猜想等差数列的特点，猜想 ？ ？ 1 a d 40 a n a 学生活动学生活动2 2 等差数列的通项公式：等差数列的通项公式： 迭加法迭加法 观察，发现观察，发现 上上面面各各式式两两边边分分别别相相加加得得： 2 1 1 1 32 43 1 , (1) , , . , 1
9、. () , nn n n aa aan d aad aad aa aand d d 求等差数列求等差数列3 3，7 7，1111，的第的第4 4项与第项与第1010项项. . 解：解：a a1 1=3,d=4. a=3,d=4. an n=3+4(n=3+4(n- -1)=4n1)=4n- -1 1， 所以所以a a4 4=15=15，a a10 10=39. =39. 【即时练习即时练习】 例例1 1 （1 1）求等差数列）求等差数列8 8，5 5，2,2,的第的第2 20 0项项. . （2 2）- -401401是不是等差数列是不是等差数列- -5 5，- -9 9，- -1313，的
10、的 项？如果是，是第几项？项？如果是，是第几项？ 1 1 2020 (1)由(1)由a =8,d =5-8= -3,n =20,得a =8,d =5-8= -3,n =20,得 a=8+(20-1) a=8+(20-1) (-3(-3 解解： )= -49.)= -49. 1 1 n n (2)由(2)由a = -5,d = -9- -5 = -4,得a = -5,d = -9- -5 = -4,得列列的的通通公公式式 a = -5-4 n-1 = -4n-1.由a = -5-4 n-1 = -4n-1.由意意知知，本本是是要要回回答答是是否否 存存在在正正整整n，n，使使得得-401= -4
11、n-1成-401= -4n-1成立立.解.解于于n的n的方方 程程，得得n =100，n =100，即即-401是-401是列列的的第第100.100. 这这个个数数项项为为 题题题题 数数这这个个关关 这这个个数数项项 100100是不是等差数列是不是等差数列2 2，9 9，1616，的项的项？如果是如果是， 是第几项是第几项？如果不是如果不是，说明理由说明理由. . 答案：答案：是，是， 第第1515项项. . 【变式练习变式练习】 解：解：由题意，由题意， 解之得解之得a a1 1= =- -2,d=3.2,d=3. 即即 51 121 aa4d aa11d ， 得 ， 1 1 10a4
12、d 31a11d ， ， 代入公式代入公式 例例2 2 在等差数列在等差数列a an n 中，已知中，已知a a5 5=10,a=10,a12 12=31, =31,求首项求首项a a1 1与与 公差公差d.d. （20142014重庆重庆高考高考）在等差数列在等差数列 a an n 中，中，a a1 12 2， a a3 3a a5 51010，则，则a a7 7( ( ) ) A A5 B5 B8 C8 C10 D10 D1414 【解析】【解析】选选 B.B.设公差为设公差为 d d, ,因为因为a a1 12 2, ,所以所以 a a3 3+a+a5 5= = 2+2d+2+4d=4+
13、6d=102+2d+2+4d=4+6d=10， 解得解得 d=1,d=1, 所以所以 a a7 7=a=a1 1+6d=8+6d=8. . 【变式练习变式练习】 1.1.（20152015重庆高考重庆高考）在等差数列在等差数列 n a 中，若中，若2 a =4=4， 4 a =2=2，则，则6 a = =（ ） A A. .- -1 1 B B. .0 0 C C. .1 1 D D. .6 6 【解析】由等差数列的性质得【解析】由等差数列的性质得 642 22 240,aaa 选选 B B. . 2.(20152.(2015北京高考北京高考改编改编) )已知等差数列已知等差数列aan n 满
14、足满足 a a1 1+a+a2 2=10,a=10,a4 4- -a a3 3=2.=2. 求求aan n 的通项公式的通项公式. . 【提示提示】利用等差数列的基本量计算利用等差数列的基本量计算. . 【解析】【解析】设等差数列公差为设等差数列公差为d,d,则则d=ad=a4 4- -a a3 3=2,a=2,a1 1+a+a2 2=2a=2a1 1+2 +2 =10,=10,所以所以a a1 1=4.=4. 因此因此,a,an n=4+(n=4+(n- -1)1)2=2(n+1).2=2(n+1). 3 3. .在等差数列在等差数列a an n中中， ( (1 1) ) 已知已知a a1
15、1= =2 2,d=,d=3 3, ,求求a a10 10. . 解：解：a a10 10=a =a1 1+(10+(10- -1)d=2+91)d=2+93=29.3=29. ( (2 2) ) 已知已知a a1 1= =3 3,a,an n= =2121,d=,d=2 2, ,求求n n. . 解：解：21=3+(n21=3+(n- -1)1)2, 2, 所以所以n=10.n=10. ( (3 3) ) 已知已知a a1 1= =1212,a,a6 6= =2727, ,求求d d. . 解：解：a a6 6=a=a1 1+5d,+5d,即即27=12+5d, 27=12+5d, 所以所以
16、d=3.d=3. ( (4 4) ) 已知已知d=d= a a7 7= =8 8, ,求求a a1 1. . 解：解：a a7 7=a=a1 1+6d, 8=a+6d, 8=a1 1+6+6( ), ( ), 所以所以a a1 1=10.=10. 1 , 3 1 3 4 4. .- -2020是不是等差数列是不是等差数列0 0, ,- -3 3. .5 5, ,- -7 7，的项的项？如果如果 是是，是第几项是第几项？如果不是如果不是，说明理由说明理由. . 解：解：不是，理由如下：不是，理由如下： a a1 1=0,d=0,d=- -3.5.3.5. 所以所以- -2020不是这个数列中的项
17、不是这个数列中的项. . ，因为，因为nNnN* *， - -20=0+(n20=0+(n- -1)1)( (- -3.5)3.5)， 47 n 7 1.1.等差数列的定义等差数列的定义 2.2.通项公式及其应用通项公式及其应用 你都掌握你都掌握 了吗？了吗？ 等差数列等差数列 一个数列从第一个数列从第2 2项起，项起，每一项与它前每一项与它前 一项的差等于同一个常数一项的差等于同一个常数. . d=ad=a n n+1 +1- -a an n. . a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d.1)d. 等差数列各项对应的点都在同等差数列各项对应的点都在同 一条直线上一条直线上. . 3.3.等差数列等差数列 几何意义几何意义 通项通项 公差公差 定义定义 今天所做之事，勿候明天；自己所做之事， 勿候他人。要做一番伟大的事业，总得在青年 时代开始。 歌德
