1、2.5 等比数列的前等比数列的前n项和项和 第第1课时课时 等比数列的前等比数列的前n项和项和 1记住等比数列的前记住等比数列的前n项和公式，能够利用公项和公式，能够利用公 式求等比数列的前式求等比数列的前n项和项和 2掌握前掌握前n项和公式的推导方法项和公式的推导方法 1在等比数列在等比数列an中，若公比中，若公比q1，则其前，则其前n 项和项和Sn_. 答案答案：na1 2在等比数列在等比数列an中，若公比中，若公比q1，则其前，则其前n项项 和和Sn_. 自学导引自学导引 答案：答案：a1 1 qn 1q a1anq 1q 1等比数列的前等比数列的前n项和公式与函数有哪些关系？项和公式与
2、函数有哪些关系？ 自主探究自主探究 答案：答案：(1)当公比当公比 q1 时，等比数列的前时，等比数列的前 n 项和公项和公 式是式是Sna1 1 qn 1q ， 它可以变形为， 它可以变形为Sn a1 1q q n a1 1q， ， 设设 A a1 1q， 上式可写成 ， 上式可写成 SnAqnA.由此可见， 非常由此可见， 非常 数列的等比数列的前数列的等比数列的前 n项和项和Sn是由关于是由关于n的一个指数式的一个指数式 与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为 相反数相反数 当公比当公比q1时，因为时，因为a10，所以，所以Snn
3、a1，是，是n 的正比例函数的正比例函数(常数项为常数项为0的一次函数的一次函数) (2)当当q1时，数列时，数列S1，S2，S3，Sn，的图的图 象是函数象是函数yAqxA图象上的一群孤立的点当图象上的一群孤立的点当q 1时，数列时，数列S1，S2，S3，Sn，的图象是正比的图象是正比 例函数例函数ya1x图象上的一群孤立的点图象上的一群孤立的点 2数列数列a，a2，a3，an，一定是等比数列一定是等比数列 吗？吗？ 答案答案：不一定，例如当：不一定，例如当a0时，数列就不是等时，数列就不是等 比数列比数列 1等比数列等比数列1，a，a2，a3，的前的前n项和为项和为( ) 预习测评预习测评
4、 A1a 1 an 1 1a B.1 an 1a C.a n1 1 a1 D以上皆错以上皆错 【解析解析】要考虑到公比为要考虑到公比为1的情况，此时的情况，此时Snn. 答案答案：D 2数列数列2n 1的前 的前99项和为项和为 ( ) A21001 B12100 C2991 D1299 【解析解析】a11，q2， S991 1299 12 2991. 答案答案：C 3若等比数列若等比数列an的前的前3项的和为项的和为13，首项为，首项为1， 则其公比为则其公比为_ 【解析解析】由题知由题知1 q3 1q 13,1qq213，q2q 120，所以，所以 q3 或或 q4. 答案答案：3或或4
5、【解析解析】由题知由题知 a1 1 1 2 4 11 2 15 8 .所以所以 a11. 答案答案：1 4若一个等比数列的前若一个等比数列的前 4 项的和为项的和为15 8 ，公比为，公比为1 2， ， 则其首项为则其首项为_ 1等比数列前等比数列前n项和公式的推导项和公式的推导 设等比数列设等比数列a1，a2，a3，an，它的前它的前n项和项和 是是Sna1a2an. 由等比数列的通项公式可将由等比数列的通项公式可将Sn写成写成 Sna1a1qa1q2a1qn 1. 式两边同乘以式两边同乘以q得，得， qSna1qa1q2a1q3a1qn. ，得，得(1q)Sna1a1qn，由此得，由此得q
6、1时，时， 要点阐释要点阐释 当当q1时，时，Snna1. 以上的推导方法叫做“错位相减法”这是中以上的推导方法叫做“错位相减法”这是中 学数学里比较重要的一种求和方法，要多用心体学数学里比较重要的一种求和方法，要多用心体 会会 Sna 1 1 qn 1q . ana1qn 1，所以上式可化为 ，所以上式可化为 Sna 1 anq 1q . 特别提示特别提示：(1)等比数列的前等比数列的前n项和的公式及通项和的公式及通 项公式涉及五个量：项公式涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，只要知道其，只要知道其 中任意三个量，都可以通过建立方程中任意三个量，都可以通过建立方程(组组)等手段求出等手段求
7、出 其余两个量，俗称其余两个量，俗称“知三求二”“知三求二” (2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条在应用公式求和时，应注意到公式的使用条 件为件为q1，当，当q1时应按常数列求和，即时应按常数列求和，即Snna1.在在 解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论 q1与与q1两种情况两种情况 (3)等比数列前等比数列前 n 项和公式的另一种形式是：项和公式的另一种形式是： Sn na1 q1 ， a1anq 1q q1 . 2等比数列的判定方法等比数列的判定方法 (1)an 1 anq(an0，q是不为是不为0的常数，的常数， nN*)an
8、为等比数列为等比数列 (2)ancqn(c，q均是不为均是不为0的常数，的常数，nN*)an 是等比数列是等比数列 (3) an an 2(an an1 an20， ， nN*)an是等比数列是等比数列 2 n 1 a + 题型一题型一 等比数列前等比数列前n n项和公式的基本运算项和公式的基本运算 典例剖析典例剖析 【例例1】 在等比数列在等比数列an中，中， (1)S230，S3155，求，求Sn； (3)a1an66，a2an 1 128，Sn126，求，求q. (2)a1a310，a4a65 4，求 ，求 S5； 解：解：(1)由题意知由题意知 a1 1q 30， a1 1qq2 15
9、5， 解得解得 a15， q5 或或 a1180， q5 6 从而从而 Sn1 4 5n 1 5 4或 或 Sn 1 080 1 5 6 n 11 . (2)解法一：解法一：由题意知由题意知 a1a1q210， a1q3a1q55 4， ， 解得解得 a18， q1 2， ， 从而从而 S5a 1 1 q5 1q 31 2 . 解法二：解法二：由由(a1a3)q3a4a6， 得得 q31 8，从而 ，从而 q1 2. 又又 a1a3a1(1q2)10， 所以所以 a18， 从而从而 S5a 1 1 q5 1q 31 2 . (3)因为因为 a2an 1a1an128， 所以，所以，a1，an是
10、方程是方程 x266x1280 的两根的两根 从而从而 a12， an64 或或 an2， a164. 又又 Sna 1 anq 1q 126， 所以所以 q2， n6 或或 q1 2， ， n6， 所以所以 q 为为 2 或或1 2. 方法点评方法点评：(1)这是一类基础题，要熟练应用等这是一类基础题，要熟练应用等 比数列的通项公式及前比数列的通项公式及前n项和公式，运用方程的思想，项和公式，运用方程的思想， 解决两个最基本的量：首项解决两个最基本的量：首项a1和公比和公比q.在等比数列的在等比数列的 求和问题中，经常使用整体代换的思想求和问题中，经常使用整体代换的思想 (2)在使用等比数列
11、的前在使用等比数列的前n项和公式时，要注意项和公式时，要注意 讨论公比讨论公比q1和和q1两种情况两种情况 若本例若本例(1)中的条件不变，如何求中的条件不变，如何求an的通项公式？的通项公式？ 解：解：S230，S3155，a3S3S2125， 即即 a1 q2125.a1125 q2 . 又又a1a1q30， 125 q2 125 q 30，即，即 6q225q250. 解得：解得： a15， q5 或或 a1180， q5 6. an5n或或 an180 5 6 n1. 题型二题型二 错位相减法求和错位相减法求和 【例【例 2】 求求1 2 2 4 3 8 n 2n的和 的和 解：解：设
12、设 Sn1 2 2 4 3 8 n 2n， ， 则则1 2Sn 1 4 2 8 3 16 n 2n 1， ， 两式相减得：两式相减得： 1 2Sn 1 2 1 4 1 8 1 2n n 2n 1 1 2 1 1 2n 11 2 n 2n 1 1 1 2n n 2n 1， ， Sn1 1 2n n 2n 1. 2求和：求和：Snx2x23x3nxn(x0) 解：解：(1)当当 x1 时，时，Sn123nn n 1 2 . (2)当当x1时，时，Snx2x23x3nxn， xSnx22x33x4(n1)xnnxn 1， ， (1x)Snxx2x3xnnxn 1 x 1 xn 1x nxn 1. S
13、nx 1 xn 1x 2 nx n1 1x . 综合所述，综合所述， Sn n n1 2 x1 ， x 1xn 1x 2 nx n1 1x x1且且x0 . 题型三题型三 判断等比数列判断等比数列 【例例3】 已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sna2n1(a0，1； nN*)，试判断，试判断an是否为等比数列，为什么？是否为等比数列，为什么？ 解解：an是等比数列，理由如下：是等比数列，理由如下： a1S1a21，当，当n2时，时， anSnSn 1 (a2n1)(a2n 2 1) (a21)a2n 2， ， 此时，此时，n1时，时，a1a21. 数列数列an的通项公式为的通项公式为an
14、(a21)a2n 2(n N*) 即数列即数列an是首项为是首项为a21，公比为，公比为a2的等比数列的等比数列 方法点评方法点评：将已知条件：将已知条件Sna2n1与与anSnSn 1 结合起来结合起来 ，得到，得到n2时的通项公式时的通项公式an(a21)a2n 2， ， 特别注意的是，特别注意的是，n1时即时即a1a21能否统一到能否统一到an(a2 1) a2n 2中去，如果能统一起来，则数列 中去，如果能统一起来，则数列an为等比数列，为等比数列， 否则数列否则数列an不是等比数列不是等比数列 3已知数列已知数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，Sn1 3(an 1)(nN*)
15、(1)求求a1，a2； (2)求证：数列求证：数列an是等比数列是等比数列 解：解：(1)由由 S11 3(a1 1)，得，得 a11 3(a1 1)， a11 2.又 又 S21 3(a2 1)即即 a1a21 3(a2 1)，得，得 a21 4. (2)证明：证明：当当 n2 时，时， anSnSn 11 3(an 1)1 3(an 11)， 得得 an an 1 1 2，所以 ，所以an是首项为是首项为1 2，公比为 ，公比为1 2 的等比数列的等比数列 误区解密误区解密 漏掉漏掉q1而导致错误而导致错误 【例例4】 在数列在数列an中，中，ana2nan(a0)求求an 的前的前n项和
16、项和Sn. 错解： 错解：Sna1a2an (a2a4a2n)(aa2an) a 2 1 a2n 1a2 a 1 an 1a . 错因分析错因分析：等比数列求和，一定要注意公比是：等比数列求和，一定要注意公比是 否等于否等于1，否则将导致错误，否则将导致错误 正解：正解：当当 a1 时，时，an0， Sn0 当当 a1 时，时，a21，Snna 1 an 1a n1 1 n 2 . 当当 a 1 时，时，Sna 2 1 a2n 1a2 a 1 an 1a 综上综上 Sn 0 a1 n1 1 n 2 a1 a2 1a2n 1a2 a 1 an 1a a 1 课堂总结课堂总结 1等比数列的前等比数
17、列的前 n 项和公式分两类，一类是当项和公式分两类，一类是当 公比公比 q1 时，其公式为时，其公式为 Snna1；另一类是当；另一类是当 q1 时，时，Sna 1 1 qn 1q a 1 anq 1q 2在等比数列中的五个量在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，中， 由前由前n项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其 余的两个量，同时还可以利用前余的两个量，同时还可以利用前n项和公式解与之有项和公式解与之有 关的实际问题关的实际问题 3错位相减法是数列求和的重要方法，必须理错位相减法是数列求和的重要方法，必须理 解数列特征及掌握求和方法解数列特征及掌握求和方法
