1、第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与简单表示法 1. “1. “一尺之棰一尺之棰, ,日取其半日取其半, ,万世不竭万世不竭.”.”的含义是什么？的含义是什么？ 1111 如如果果将将初初始始量量看看成成1 1，取取其其一一半半剩剩 ，再再取取一一半半还还剩剩 ， 2424 1 1 11 1 1 ，如如此此下下去去，即即得得到到1 1， 2 4 82 4 8 2. 2. 三角形数三角形数 1 1 3 3 6 6 1010 3. 3. 正方形数正方形数 1 1 4 4 9 9 1616 1.1.通过实例，了解数列的概念和简单表示法通过实例，了解数列的概念和简单表示
2、法. . （重点）（重点） 2.2.了解数列是一种特殊的函数，体会数列是反了解数列是一种特殊的函数，体会数列是反 映自然规律的数学模型映自然规律的数学模型. . （2 2）三角形数：）三角形数：1 1，3 3，6 6，1010， 探究点探究点1 1 数列的概念数列的概念 这些数有什么共同特点？这些数有什么共同特点？ （5 5）无穷多个）无穷多个1 1排列成的一列数：排列成的一列数：1 1，1 1，1 1， 1 1， （3 3）正方形数：）正方形数：1 1，4 4，9 9，1616， （4 4）1 1，2 2，3 3，4 4，的倒数排列成的一列数的倒数排列成的一列数 提示：提示：1. 1. 都是
3、一列数；都是一列数；2. 2. 都有一定的顺序都有一定的顺序 111111 （1 1）1 1， ， 思思考考 ， ， . . 248248 ： 按照一定顺序排列的一列数称为按照一定顺序排列的一列数称为数列数列. . 1. 1. 数列的概念数列的概念: : 思考：思考： (1) “1, 2, 3, 4, 5”(1) “1, 2, 3, 4, 5”与“与“5, 4, 3, 2, 1”5, 4, 3, 2, 1”是同一是同一 个数列吗？与“个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”1, 3, 2, 4, 5”呢？呢？ 没有按照一定的顺序排列，不符合没有按照一定的顺序排列，不符合数列的有序性数列的有序
4、性 不是同一个数列不是同一个数列 提示提示: (2)(2)数列中的数可以重复吗？数列中的数可以重复吗？ (3)(3)数列与集合有什么区别？数列与集合有什么区别？ 可以可以 数列讲究：有序性、可重复性、确定性数列讲究：有序性、可重复性、确定性. . 集合讲究：无序性、互异性、确定性；集合讲究：无序性、互异性、确定性； 提示提示: 数列中的每一个数叫做这个数列的数列中的每一个数叫做这个数列的项项. . 2. 2. 数列的项数列的项: : 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一 位的数称为这个数列的第位的数称为这个数列的第1 1项项( (通常也叫做通常也叫做
5、首项首项) )， 排在第二位的数称为这个数列的第排在第二位的数称为这个数列的第2 2项项排在第排在第 n n位的数称为这个数列的第位的数称为这个数列的第n n项项. . 3. 3. 数列的一般记法数列的一般记法: : 数列数列a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4,a,an n, 可简记为 可简记为aan n. 思考：思考：数列数列 a an n 是集合吗？是集合吗？ a an n 与与a an n有何区别？有何区别？ 集合中的元素具有无序性集合中的元素具有无序性 、互异性，而数列、互异性，而数列 不具备这些特征，数列不具备这些特征，数列 a an n 不是集合不是集合, ,它
6、是数列它是数列 的一个整体符号的一个整体符号.a an n 表示数列表示数列a a1 1, , a a2 2, a , a3 3, , a a4 4, , , a an n, ,，而而a an n表示数列的第表示数列的第n n项项. . 提示提示: 4. 4. 数列的分类数列的分类: : (1)(1)按项数分：有穷数列与无穷数列；按项数分：有穷数列与无穷数列； (2)(2)按项之间的大小关系分：递增数列、递减数按项之间的大小关系分：递增数列、递减数 列、常数列与摆动数列列、常数列与摆动数列. . 有穷数列有穷数列 递增数列递增数列 无穷数列无穷数列 递减数列递减数列 有穷数列有穷数列 递增数列
7、递增数列 无穷数列无穷数列 无穷数列无穷数列 摆动数列摆动数列 常数列常数列 如如：1 1， 2 2， 2 2 ， ， ， 111111 1 1， ， ， ， . . 234234 1 1， 2 2， 3 3， 4 4， . . ， 62. 62. 1 1， 1 1， 1 1， 1 1， . . -1 -1， 1 1， -1 -1， 1 1， . . 2363 2.2 . 例例 观察下面的数列，哪些是递增数列、递减观察下面的数列，哪些是递增数列、递减 数列、常数列、摆动数列？数列、常数列、摆动数列？ （1 1）全体自然数构成的数列）全体自然数构成的数列 0,1,2,3, .0,1,2,3, .
8、 （2 2）2008200820142014年某市普通高中生人数（单位：年某市普通高中生人数（单位： 万人）构成的数列万人）构成的数列 82,93,105,119,129,130,132.82,93,105,119,129,130,132. （3 3）无穷多个）无穷多个3 3构成的数列构成的数列 3,3,3,3, .3,3,3,3, . （4 4）目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成）目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成 的数列（单位：元）的数列（单位：元） 100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01.100,50,20,10,5,2,1
9、,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01. （5 5）- -1 1的的1 1次幂，次幂，2 2次幂，次幂，3 3次幂，次幂，4 4次幂次幂构构 成的数列成的数列 - -1 1，1 1，- -1 1，1 1，. （6 6）2 2的的精精确确到到1 1，0.1,0.01,0.0010.1,0.01,0.001，的的不不足足 近近似似值值与与过过剩剩近近似似值值分分别别构构成成的的数数列列 1 1，1.4, 1.41, 1.4141.4, 1.41, 1.414，.;.; 2 2，1.5, 1.42, 1.4151.5, 1.42, 1.415， 解：解：递增数列有：（递增数列有：（1
10、 1）、（）、（2 2）、（）、（6)6)中的不中的不 足近似值构成的数列足近似值构成的数列; ; 递减数列有：（递减数列有：（4 4）、（）、（6)6)中的过剩近似值构成的中的过剩近似值构成的 数列数列; ; 常数列有：（常数列有：（3 3）; ; 摆动数列有：（摆动数列有：（5 5）. . 思考思考: :上面数列中哪些是无穷数列上面数列中哪些是无穷数列, ,哪些是有穷数列哪些是有穷数列? ? 有穷数列有：（有穷数列有：（2 2）、）、 （4 4）；）； 无穷数列有：（无穷数列有：（1 1）、）、 （3 3）、）、 （5 5） 、 （6 6）. . 提示提示: （1 1）2 2，4 4， ，
11、16,3216,32， ，128128 （2 2） ，4,9,16,254,9,16,25， ，4949 观察下面数列的特点，用适当的数填空：观察下面数列的特点，用适当的数填空： 8 8 6464 1 1 3636 【即时练习即时练习】 （1 1）你能说出）你能说出256256是否是下面数列中的项吗？是的是否是下面数列中的项吗？是的 话话, ,是这个数列的第几项是这个数列的第几项? ? （2 2）同学们观察数列中的项与序号之间的关系）同学们观察数列中的项与序号之间的关系, ,你你 能从中得到什么启示能从中得到什么启示? ?你能否写出它的第你能否写出它的第n n项项? ? 项项: 序号序号: 探
12、究点探究点2 2 数列中的项与序号之间的关系数列中的项与序号之间的关系 是第是第9 9项项 256256是数列中的一项，是数列中的一项， 1 2 3 4 1 2 3 4 ， 9 9 1 1， 2 2， 2 2 ， ， ， 238 2.2 8 8 256=2256=2 n-n- n n a =2a =2 1 （3) 3) 你能把上述数列按照（你能把上述数列按照（n, an, an n) )的形式画在下面的坐的形式画在下面的坐 标系中吗标系中吗? ? O 1 2 3 4 5 6 7 2 2 4 4 8 8 1616 3232 6464 n n a an n 图象是一些图象是一些 离散的点离散的点
13、5.5.数列的实质数列的实质: : 从函数的观点看，数列的项从函数的观点看，数列的项 是序号是序号n n的函数的函数. . 即数列可以看成以正整数集即数列可以看成以正整数集 （或它的有限子集（或它的有限子集 1,21,2，nn）为定义域的函数）为定义域的函数 当自当自 变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一 列函数值列函数值. . 反过来，对于函数反过来，对于函数y=fy=f（x x）, ,如果如果f f（i i） （i=1,2,3i=1,2,3，）有意义，那么我们可以得到一个）有意义，那么我们可以得到一个 数列数列f f（1 1），），f f（2
14、 2），），f f（3 3），），f f（n n），）， n n a a * * N N n n a =fa =f（n n） R R或或R R的子集的子集 N N* *或它的有限子集或它的有限子集1,2,31,2,3，nn a an nf(n)f(n) y yf(x)f(x) 点的集合点的集合 一些离散的点的集合一些离散的点的集合 数列与函数对比表数列与函数对比表 【总结提升总结提升】 以下四个数中是数列以下四个数中是数列nn（n+1n+1） 中的一项的是（中的一项的是（ ） A. 380 B.39 C.32 D. 23A. 380 B.39 C.32 D. 23 A A 【即时练习即时练习】
15、 1.1.观察下面数列的特点，用适当的数填空：观察下面数列的特点，用适当的数填空： 111 1111 1 （1 1） -1-1，_， - -，_ 245 6245 6 （2 2）1 1，2 2，_，2 2，5 5，_，7 7 1 1 3 1 1 7 3 6 2.2.下面数列是有穷数列的是（下面数列是有穷数列的是（ ） A.1,0,1,0A.1,0,1,0， B.1 B.1，1 1，1 1，1 1，1 1 C.2,22,222C.2,22,222， D.0,0,0,0 D.0,0,0,0， B B A. A. 第第9 9项项 B. B. 第第1010项项 C. C. 第第1111项项 D. D.
16、 第第1212项项 3.2, 5,2 2, 11, 4 2() 设数列为，则 是该数列的 C C 4.4.下列说法正确的是下列说法正确的是( )( ) A.A.数列数列1,3,5,71,3,5,7可表示为可表示为1,3,5,71,3,5,7 B.B.数列数列1,0,1,0,- -1,1,- -2 2与数列与数列- -2,2,- -1,0,11,0,1是相同的数列是相同的数列 C.C.数列数列 的第的第k k项为项为 D.D.数列数列0,2,4,6,0,2,4,6,可记为可记为2n2n 1n n 1 1 k C C 【解析解析】根据数列的定义与集合定义的不同可知根据数列的定义与集合定义的不同可知
17、A,BA,B 不正确不正确;D;D项项2n2n中的中的nNnN* *, ,故不正确故不正确;C;C中中a an n= = aak k= = 1 , n n 1 1. k 本节课学习的主要内容有：本节课学习的主要内容有： 1.1.数列的有关概念；数列的有关概念； 2.2.数列的通项公式；数列的通项公式； 3.3.数列的实质；数列的实质； 4.4.本节课的能力要求是：本节课的能力要求是： (1) (1) 会由通项公式求数列的任一项；会由通项公式求数列的任一项； (2)(2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式. . 5 5. .数列的分类数列的分类 数数 列列 的的 分分 类类 从单调性从单调性 的角度的角度 从项数从项数 的角度的角度 递增数列递增数列 递减数列递减数列 常数列常数列 摆动数列摆动数列 有穷数列有穷数列 无穷数列无穷数列 n+1n aa n+1n aa n+1n aa 从第从第2 2项起项与项的大小关系不确定项起项与项的大小关系不确定 项数有限项数有限 项数无限项数无限 追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时 间的人，生活就会冷落他。
