1、第2课时 数列的通项公式与递推公式 按照一定顺序排列的一列数称为按照一定顺序排列的一列数称为数列数列. . ( (数列具有数列具有有序性、可重复性、确定性有序性、可重复性、确定性) ) 1.1.数列的定义：数列的定义： 2.2.数列与函数的关系数列与函数的关系: : 数列可以看成以正整数集数列可以看成以正整数集 （或它的有限子集（或它的有限子集 1,21,2，nn）为定义域的函数）为定义域的函数 当自当自 变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一 列函数值列函数值. . 反过来，对于函数反过来，对于函数y=fy=f（x x）, ,如果如果f f（i
2、i） （i=1,2,3i=1,2,3，）有意义，那么我们可以得到一个）有意义，那么我们可以得到一个 数列数列f f（1 1），），f f（2 2），），f f（3 3），），f f（n n），）， * * N N n n a =fa =f（n n） 1.1.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数 列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其 前几项的特征写出它的一个通项公式前几项的特征写出它的一个通项公式. .( (重点）重点） 2.2.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公了解数列的递推公式，明确递推公式与通
3、项公 式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前 几项几项. .（难点）（难点） 我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项. . 探究点探究点1 1 数列的通项公式数列的通项公式 注：数列与函数的关系注：数列与函数的关系 y=fy=f（x x） a an n n n （正整数集（正整数集NN或它的有或它的有 限子集限子集1,2,3, ,n)1,2,3, ,n) 项项 通项公式通项公式 函数值函数值 自变量自变量 如果数列如果数列 的第的第n n项与序号项与序号n n之间的关系可以用一个之间的关系可以用一个 式子来
4、表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. . n n a a 3 n an 1 2n n a 【即时练习即时练习】 写出下面数列的一个通项公式写出下面数列的一个通项公式: : 例例1 1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 4 项分别是下列各数：项分别是下列各数： 解解：（1 1）这个数列的前）这个数列的前4 4项的绝对值都是序号项的绝对值都是序号 的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以， 它的一个通项公式为它的一个通项公式为 通项公式不通项公式不 唯一唯一 11
5、1111 （1 1） 1 1，- -， ， -. -. 234234 （2 2） 2 2， 0 0， 2 2， 0. 0. n+1n+1 n n （-1-1） a =a = n n （2 2）这个数列的前）这个数列的前4 4项构成一个摆动数列，奇项构成一个摆动数列，奇 数项是数项是2 2，偶数项是，偶数项是0 0，所以，它的一个通项公，所以，它的一个通项公 式为式为 思考：思考：1.1.根据数列的前若干项写出的通项公式根据数列的前若干项写出的通项公式 的形式唯一吗？请举例说明的形式唯一吗？请举例说明. . 提示：不一定唯一提示：不一定唯一. . . . n+1n+1 n n a =a =（-1
6、-1）1 2 0 2 1 2sin1cos. 2 ，n n为为奇奇数数 n n，n n为为偶偶数数 nnnn 如如：例例（2 2）中中通通项项公公式式还还可可以以写写成成a =a =， n n 或或a =a =或或a =na =n 2.2.根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗？根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗？ 请举例说明请举例说明. . 提示：不一定能写出提示：不一定能写出. . 如如：2 2精精确确到到1,0.1,0.01,0.0011,0.1,0.01,0.001， 的的不不足足近近似似值值 构构成成的的数数列列1, 1.4, 1.41, 1.4141, 1.4, 1.41, 1
7、.414， 就就无无法法写写出出通通项项 公公式式. . n n 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 a an n =2n =2n- -1 1 1 3 5 7 9 解：解：列表列表: : 已知数列已知数列 的通项公式为的通项公式为 ，用列表，用列表 写出这个数列写出这个数列 的前的前5 5项，并作出图象项，并作出图象. . n n a a n n a = 2n-1a = 2n-1 n n a a 【变式练习变式练习】 O 1 2 3 4 5 6 7 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 an=2n-1 n n 图象如下：图象如下： 图象是一群图象是一群 孤立的点孤立的点 例例2 2 图
8、中的三角形图案称为谢宾斯基图中的三角形图案称为谢宾斯基 (Sierpinski)(Sierpinski)三角形三角形. .在下图四个三角形图案中，在下图四个三角形图案中， 着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4 4 项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角 坐标系中画出它的图象坐标系中画出它的图象. . 解：解：如图，这四个三角形图案中着色的小三角形如图，这四个三角形图案中着色的小三角形 的个数依次为的个数依次为1,3,9,27.1,3,9,27.则所求数列的前则所求数列的前4 4项都是项都是 3 3的指数
9、幂，指数为序号减的指数幂，指数为序号减1.1.所以所以, ,这个数列的一这个数列的一 个通项公式是个通项公式是 在直角坐标系中的图象如图所示在直角坐标系中的图象如图所示. . . . n-1n-1 n n a =3a =3 O 3 3 6 6 9 9 12 15 18 21 24 27 30 1 1 2 2 3 3 4 4 n-1n-1 n n a =3a =3 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通 项公式：项公式： （1 1）3,5,7,9,113,5,7,9,11，. （3 3）0,1,0,1,0,10,1,0,1,0,1，. （5 5）7,
10、77,777,77777,77,777,7777，. 246810246810 （2 2） ， ， ， ， ， . . 3 15 35 63 993 15 35 63 99 1111111111 （4 4） - -， - -， - -， . . 2 1 2 22 3 242 52 1 2 22 3 242 5 【变式练习变式练习】 n n （1）1）a =a =解解：2n+1.2n+1. n n2 2 2n2n （2）2）a =.a =. （2n）2n）-1-1 n n n n 1+ （1+ （-1）-1） （3）3）a =.a =. 2 2 n n n n 1 1 （4）4）a = （a =
11、 （-1）-1）. . 2n2n n n n n 7 7 （5）5）a = （a = （10 -1）10 -1）. . 9 9 探究点探究点2 2 数列的递推公式数列的递推公式 1.1.观察以下数列，并写出其通项公式：观察以下数列，并写出其通项公式： 思考：思考：除用通项公式外，还有什么办法可以确除用通项公式外，还有什么办法可以确 定这些数列的每一项？定这些数列的每一项？ （1 1）1,3,5,7,9,111,3,5,7,9,11， （2 2）0 0，- -2 2，- -4 4，- -6 6，- -8 8， （3 3）3,9,27,813,9,27,81， n n n n a =3a =3 n
12、 n a = 2n-1a = 2n-1 n n a = -a = -（2 n-12 n-1） 121121 32nn-132nn-1 （1）1）a =1，a =1，a =3=1+2= a +2，a =3=1+2= a +2， a =5= a +2， a =5= a +2， 解解 ，a = aa = a ： +2.+2. 1nn-11nn-1 （ （2）2）a =0，a =0，.，.，a = a-2.a = a-2. 1nn-11nn-1 （3）3）a =3，a =3，.，.，a =3aa =3a 2.2.观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型. .
13、 模型一：模型一：自上而下自上而下 1 14=1+34=1+3，第第1 1层钢管数为层钢管数为4 4，即，即 第第2 2层钢管数为层钢管数为5 5，即，即 第第3 3层钢管数为层钢管数为6 6，即，即 第第4 4层钢管数为层钢管数为7 7，即，即 第第5 5层钢管数为层钢管数为8 8，即，即 2 25=2+35=2+3， 3 36=3+36=3+3， 4 47=4+37=4+3， 5 58=5+38=5+3， n n n n 若若用用a a 表表示示钢钢管管数数，n n表表示示层层数数，则则可可得得出出每每一一层层 的的钢钢管管数数为为一一数数列列，且且a = n+3.a = n+3. 模型二
14、：模型二：上下层之间的关系上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1 1， 对于上述所求关系，若知其第对于上述所求关系，若知其第n n- -1 1项，即可项，即可 求出其他项，看来，这一关系也较为重要求出其他项，看来，这一关系也较为重要. . 121121 3232 nn-1nn-1 即即a = 4a = 4，a =5 = 4+1= a +1a =5 = 4+1= a +1， a = 6 =5+1= a +1 a = 6 =5+1= a +1， 以以此此类类推推：a = a+1a = a+1（2 2n n7 7） n1n1 nn-1nn
15、-1 2121 3232 3.3.如如果果一一个个数数列列 a a 的的首首项项a =1a =1，从从第第2 2项项起起每每一一项项等等于于 它它的的前前一一项项的的2 2倍倍再再加加上上1 1，即即a = 2a+a = 2a+（1 n11 n1）， 那那么么a =2a +1=3a =2a +1=3， .a =2a +1=7,.a =2a +1=7, nn-1nn-1 像像这这样样给给出出数数列列的的方方法法叫叫做做，其其中中 a = 2a+a = 2a+（1 n11 n1）称称为为. . 递递推推公公式式也也是是数数列列的的一一 递递推推法法 递递推推公公式式 种种表表示示方方法法. (20
16、14 (2014 新课标全国卷 新课标全国卷) )数列数列aan n 满足满足 a an+1 n+1= = n 1 1a ,a,a8 8=2,=2, 则则 a a1 1= = . . 【解析】【解析】由由 a an+1 n+1= = n 1 1a , ,可得可得 a an n=1=1- - n+1 1 a , ,又又 a a8 8=2,=2,故故 a a7 7= = 1 2 , ,依次下去得依次下去得 a a1 1= = 1 2 . . 答案答案: : 1 2 【即时练习即时练习】 例例3 3 设数列设数列aan n 满足满足 写出这个数列的前写出这个数列的前5 5项项. . 解：解：由题意可
17、知由题意可知 1414 3 3 2525 1414 3 3 2 2 125125 a =1，a =1， a =1+=1+=， a =1+=1+=， a33a33 1113811138 a =1+=1+=2，a =1+=1+=2， a =1+=1+=， a =1+=1+=， a1a55a1a55 113113 a =1+=1+=，a =1+=1+=， a22a22 . 1n+1nn1n+1nn 已已知知a = 2a = 2，a= 2aa= 2a ，写写出出前前5 5项项，并并猜猜想想a a 观观 223223 123123 34453445 4545 n n n n 方方法法一一：a =2，a
18、=2，a =2a =22=2 =4，2=2 =4，a =2a =22 =2 =8，2 =2 =8， a =2 a =22 =2 =16，2 =2 =16，a =2a =22 =2 =322 =2 =32 解解 ， 察 察猜猜想想a =2a =2 ： . . 【变式练习变式练习】 观观 45 123123 n n n n n+1nnn-1nn+1nnn-1n n-1n-1 n-1n-1 nn-1n-22nn-1n-22 n-1n-2n-31n-1n-2n-31 n-1nn-1n n1n1 n n 1n1n 方 方法法二二：a = 2，a = 2，a = 2a = 22= 4，2= 4，a = 2
19、a = 24= 8，4= 8， a = 2 a = 28=16，8=16，a = 2a = 216=32，16=32， a a a= 2a ， a= 2a ，a = 2a，a = 2a，即即= 2，= 2，察察猜猜想想a = 2 .a = 2 . a a aaaaaaaa 所 所以以. . = 2 （= 2 （n2）n2）， aaaaaaaa 所 所以以a = aa = a2= 2（2= 2（n2）n2）， 又 又a = 2也a = 2也符符合合上上式式，所所以以a = 2 .a = 2 . 1.1.写出数列的一个通项公式，使它的前写出数列的一个通项公式，使它的前4 4项项 分别是下列各数：分
20、别是下列各数： （1 1）1 1，3 3，5 5，7.7. 21 n an （2 2） 1111 ,. 1 22 33 44 5 1 1 n n a n n 2.2.运用递推公式确定一个数列的通项：运用递推公式确定一个数列的通项： （1 1）2,5,8,112,5,8,11 （2 2）1,1,2,3,5,8,13,21,341,1,2,3,5,8,13,21,34 3.3.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前 五项，并归纳出通项公式五项，并归纳出通项公式. . * * 1n+1n1n+1n * * n n 1n+11n+1 n n * * 1n+1n
21、1n+1n （1 1）a = 0a = 0，a= a +a= a + （2n-12n-1）（n nN N ）. . 2a2a （2 2）a =1a =1，a=a=（ n nN N ）. . a +2a +2 （3 3）a = 3a = 3，a= 3a -2a= 3a -2（n nN N ）. . . 1234512345 2 2 n n （1）1）a =0，a =0，a =1，a =1，a = 4，a = 4，a = 9，a = 9，a =16，a =16， 所所以以a = （a = （n-1）n-1） 解解： . 1234512345 n n 212212212212 （2）2）a =1，a
22、 =1，a =，a =，a =，a =，a =，a =，a =，a =， 324536324536 2 2 所所以以a =a = n+1n+1 012012 123123 3434 4545 n-1n-1 n n （3）3）a =3 =1+2a =3 =1+23 ，3 ，a =7=1+2a =7=1+23 ，3 ，a =19=1+2a =19=1+23 ，3 ， a =55=1+2a =55=1+23 ，3 ，a =163 =1+2a =163 =1+23 ，3 ， 所所以以a =1+2a =1+23.3. 2. 2. 递推公式与数列的通项公式的区别是：递推公式与数列的通项公式的区别是： 1.
23、 1. 通项公式、递推公式的概念；通项公式、递推公式的概念； (1)(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，通项公式反映的是项与项数之间的关系， 而递推公式反映的是相邻两项而递推公式反映的是相邻两项( (或几项或几项) )之间的之间的 关系关系. . (2)(2)对于通项公式，只要将公式中的对于通项公式，只要将公式中的n n依次取依次取1, 1, 2, 3, 4,2, 3, 4,即可得到相应的项，而递推公式则即可得到相应的项，而递推公式则 要已知首项要已知首项( (或前几项或前几项) )，才可依次求出其他项，才可依次求出其他项. . 3 3. .数列通项公式与递推公式的区别与联系数列通项公式与递推公式的区别与联系 区别区别 联系联系 项项an及相邻项间的关系式及相邻项间的关系式 都是数列的一种表都是数列的一种表 示方法，可求出数示方法，可求出数 列中任意一项列中任意一项 通项通项 公式公式 递推递推 公式公式 区别区别 项项an是序号是序号n的函数式的函数式an=f(=f(n) ) 一句经典的读书名言，往往会让人眼睛为 之一亮；一句经典的读书名言，往往会给人以 启迪和教育；一句经典的读书名言，往往会影 响人的一生。
