1、 一、引入：一、引入： 1 1 2 1 4 1 1 ( ) 2 n “一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 一位数学家曾说过：你如果能将一张报纸一位数学家曾说过：你如果能将一张报纸 对折对折38次，我就能顺着它在今晚爬上月球。次，我就能顺着它在今晚爬上月球。 报纸的层数：报纸的层数： 2，4，8，238 234 1.081.081.081.08aaaaa， 2，4，8，238 234 1.081.081.081.08aaaaa， 1 1 2 1 4 ， 1 1 ( ) 2 n ， ， ， ， 我国我国19961996年的国民生产总值为年的国民生产总值为a a亿元，以后每
2、一亿元，以后每一 年都比上一年增长年都比上一年增长8%8%，则从，则从19961996年到年到20002000年的年的 国民生产总值分别为：国民生产总值分别为： 问题：上述三个数列有什么共同的特点？问题：上述三个数列有什么共同的特点？ 从第二项起，每一项与它的前一项地比都有等于同从第二项起，每一项与它的前一项地比都有等于同 一个常数。一个常数。 二、等比数列二、等比数列 1.定义：定义：一般地，如果一个数列从第二项起，一般地，如果一个数列从第二项起， 每一项与它的前面一项的比等于同一个常数，每一项与它的前面一项的比等于同一个常数， 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等这个数列就叫做等比数列，
3、这个常数叫做等 比数列的公比，用字母比数列的公比，用字母q q表示表示 用符号表示为：用符号表示为： ), 0( *1 1 2 3 1 2 Nnqq a a q a a a a a a n n n n 即 概念辨析 指出下面数列哪些是等比数列哪些不是? (口答） 不是 不是 是 是 不一定 1) 2，4，16，64 ， 2) 16，8，4，2，0 ， 3）2, -2, 2, -2 4）1, 1, 1, 1 5) a, a, a, a, 小结：小结： 若一个数列是等比数列，则若一个数列是等比数列，则 1. an0 (即等比数列的每一项都不为即等比数列的每一项都不为0) 2. q0 （公比是非零常
4、数公比是非零常数） 3. q=1时时，等比数列是常数列等比数列是常数列， 是否存在既是等比数列是否存在既是等比数列，又是等差数列的数列又是等差数列的数列? 存在存在，如：如：1，1，1，1， 4. q0时时， 数列各项同号数列各项同号， q0时时， 所有奇数项符号相同所有奇数项符号相同， 所有偶数项符号相同所有偶数项符号相同， 如：，如：，16，32，q=-2 5，满足满足an+1=qan的数列一定是等比数列吗的数列一定是等比数列吗? 不一定，不一定，如：如：2，0，0，0， 但反之成立。但反之成立。 2. 2.等比数列的通项公式：等比数列的通项公式： 123 1 n n aaaaq aqna
5、 已知等比数列 ， ， ， ，公比为 ， 能否用 和 、 来表示 ？ 1 1 21 2 321 3 431 n n nn a q a aa q aa q aa qa q aa qa q 1 1 n n aaq 324 1231 1 324 1231 (1) 11 1 1 n n n n n nq nn n n aaaa qqqq aaaa aaaa q q qqq aaaa a qaa q a 个 证明： 即： 1 1 n n aaq -累乘法累乘法 数数 列列 等等 差差 数数 列列 等等 比比 数数 列列 定定 义义 公差（比）公差（比） 定义变形定义变形 通项公式通项公式 一般形式一般形
6、式 a n+1 -an=d q a a n n 1 d 叫叫公差公差 q叫叫公比公比 a n+1 =an+d a n+1 =an q an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d， an=amqn-m， mn aa d mn m nmn a a q 3.等比与等差数列的对比：等比与等差数列的对比： 练习：下面等比数列的通项公式是什么？练习：下面等比数列的通项公式是什么？ （）（） ， ， ， ， ， （），（）， （ 3 3 ），）， (3) an=4(-2)n-1 (1) an=2n-1 (2) an=5n ,164nNn ,nN ,nN 例例1.培育水稻新品种培
7、育水稻新品种，如果第一代得到如果第一代得到 120粒种子粒种子，并且从第一代起并且从第一代起，由以后由以后 各代的每一粒种子都可以得到下一代的各代的每一粒种子都可以得到下一代的 120粒种子粒种子，到第到第5代大约可以得到这个代大约可以得到这个 新品种的种子多少粒新品种的种子多少粒？ 解：由于每一代的每一粒种子都可得解：由于每一代的每一粒种子都可得120粒种子，粒种子， 所以每代的种子数是它的前一代种子数的所以每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，倍， 逐代的种子数组成等比数列，记为逐代的种子数组成等比数列，记为 其中其中 n a 1015 51 105 . 2120120,120,120
8、 aqa 10 10 答：到第答：到第5代大约可以得到种子代大约可以得到种子2.5 粒粒. 例例2.一个等比数列的第一个等比数列的第3项与第项与第4项分别项分别 是是12与与18，求它的第，求它的第1项与第项与第2项。项。 例例3.求下列各等比数列的通项公式： 3 1 1 1 (2)5213 2 ( 8 3) 1 nn n n n aaa an a a an （1） ，且 ， ，且 a 4、等比中项、等比中项 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使 a、G、b成等比数列，那么成等比数列，那么G叫做叫做 a与与b的等比中项。的等比中项。 abG 2 因此，因此， abG 如果
9、如果G是是a与与b的等比中项，那么的等比中项，那么 G b a G ，即，即 那么那么G是是 的等比中项。的等比中项。 ab ab或或 反过来，如果反过来，如果 同号，同号，G等于等于 ba, ba, 1.同号的两项才有等比中项，且有两个。同号的两项才有等比中项，且有两个。 2. n a 是等比数列是等比数列 )0, 2( 11 2 nnnn anaaa 强调：强调： 5、等比数列的图象：、等比数列的图象： 1 1 2 2 n n x a y 例：在坐标系中，画出通项公式为的数列 的图象和函数的图象，观察图象并总结。 等比数列各项对应的点都在类似指数函数图象上等比数列各项对应的点都在类似指数函
10、数图象上. 结论：结论： 每一项与每一项与 它前一项的它前一项的比比 小结小结 等比数列等比数列 几何意义几何意义 通项通项 公比公比 定义定义 如果一个数列从如果一个数列从第第2项起，项起， 等于等于同一个常数同一个常数. . . . . . . 【说明】数列【说明】数列 an 为等比数列为等比数列 ； 公比是公比是 的常数；的常数； 唯一唯一 等比数列各项对应的点都等比数列各项对应的点都 在类似指数函数图象上在类似指数函数图象上. an= 1 1 n qa q a a n n 1 q a a n n 1 例例 已知：已知：b是是a与与c的等比中项，且的等比中项，且a、b、c同号，同号， 证明：由题设证明：由题设 得：得： 求证：求证： 3 , 3 , 3 abc cabcabcba 也成等比数列。 2 bac 2 2 333 ) 3 ( 333 cabcabbcbab b cba abc cba 3 , 3 , 3 abc cabcabcba 也成等比数列
