1、1.2 应用举例 第 1 课时 解三角形的实际应用举例距离 问题 :多应用 实际测量中有许正弦定理和余弦定理在 (1)测量距离. (2)测 量 高 度 . .)3(测量角度 A C B 51o 55m 75o 解三角形公式、定理 正弦定理：正弦定理： 余弦定理：余弦定理： 三角形边与角的关系：三角形边与角的关系： R C c B b A a 2 sinsinsin Abccbacos2 222 Baccabcos2 222 Cabbaccos2 222 1 ABC180. 2.大角对大边，小角对小边大角对大边，小角对小边 。 ， bc acb A 2 cos 222 ， ca bac B 2
2、cos 222 。 ab cba C 2 cos 222 余弦定理的作用余弦定理的作用 （1）已知三边，求三个角；）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他他两角；两角； （3）判断三角形的形状。）判断三角形的形状。 三角形的面积公式三角形的面积公式 111 ABC222 SabsinCbcsinAacsinB 。 斜三角形的解法斜三角形的解法 已知条件已知条件 定理选用定理选用 一般解法一般解法 用正弦定理求出另一对角用正弦定理求出另一对角,再由再由 A+B+C=180，得出第三角，得出第三角,然然 后用正弦定理求出第三边。后用正弦
3、定理求出第三边。 正弦定理正弦定理 余弦定理余弦定理 正弦定理正弦定理 余弦定理余弦定理 由由A+B+C=180,求出另一角，再求出另一角，再 用正弦定理求出两边。用正弦定理求出两边。 用余弦定理求第三边，再用余弦用余弦定理求第三边，再用余弦 定理求出一角，再由定理求出一角，再由 A+B+C=180得出第三角。得出第三角。 用余弦定理求出两角，再由用余弦定理求出两角，再由 A+B+C=180得出第三角。得出第三角。 一边和两角一边和两角 (ASA或或AAS) 两边和夹角两边和夹角 (SAS) 三边三边(SSS) 两边和其中一两边和其中一 边的对角边的对角(SSA) 实际应用问题中有关的名称、术
4、语实际应用问题中有关的名称、术语 1.仰角、俯角、视角。仰角、俯角、视角。 （1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫 仰角。仰角。 （2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫 俯角。俯角。 （3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般 这两条视线过被观察物的两端点）这两条视线过被观察物的两端点） 水平线水平线 视线视线 视线视线 仰角仰角 俯角俯角 2.方向角、方位角。方向角、方位角。 （1）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成）方向角：指北
5、或指南方向线与目标方向线所成 的小于的小于90的水平角叫方向角。的水平角叫方向角。 （2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线 所成的角叫方位角。所成的角叫方位角。 东东 西西 北北 南南 60 30 45 20 A B C D 点点A A在北偏东在北偏东6060, ,方位角方位角6060. . 点点B B在北偏西在北偏西3030, ,方位角方位角330330. . 点点C C在南偏西在南偏西4545, ,方位角方位角225225. . 点点D D在南偏东在南偏东2020, ,方位角方位角160160. . 3.水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距
6、离、垂直距离、坡面距离。 水平距离水平距离 垂 直 距 离 垂 直 距 离 坡面距离坡面距离 坡度（坡度比）坡度（坡度比） i: 垂直距离垂直距离/水平距离水平距离 坡角坡角: tan=垂直距离垂直距离/水平距离水平距离 例例1.设设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出测出AC的距离是的距离是55 m，BAC51， ACB 75 ，求 ，求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）. 分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，
7、可以用正弦定理解三角形 sinsin ABAC CB 解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得 答：答：A,B两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米。 sinsin sin55sin sinsin 55sin7555sin75 65.7( ) sin(1805175 )sin54 ABAC ACBABC ACACBACB AB ABCABC m A B C D .,), (,2 两点间距离的方法设计一种测量达 不可到两点都在河的对岸、如图例 BA BA A B C D a 分析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一的方法，可以计算出河的这一岸的一 点点C到对岸两点的距离，再测出
8、到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，的大小， 借助于余弦定理可以计算出借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。 解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并并 且在且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在ADC和和BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得 计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在ABC中，应用余弦定理计中，应用余弦定理计 算出算出AB两点间的距离两点间的距离 sin()sin() sin()sin 180() sinsin sin()sin 180() aa AC a
9、a BC 22 2cosABACBCACBC 变式训练：若在河岸选取相距变式训练：若在河岸选取相距4040米的米的C C、D D两两 点，测得点，测得 BCA= BCA= ， ACD= ACD= ， CDB= CDB= ， BDA=BDA= 60 30 45 60求求A、B两点间距离两点间距离 . 注：阅读教材注：阅读教材P12P12，了解，了解基线基线的概念的概念 练习练习1.一艘船以一艘船以32.2n mile / h的速度向正北的速度向正北 航行。在航行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的方的方 向，向，30min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔在处看灯塔在
10、船的北偏东船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续艘船可以继续一直一直沿正北方向航行吗？沿正北方向航行吗？ 115 45 sin2016.1sin20 7.787() sin45sin45 , sin657.06() 6.5 ASBSBA S AB SBn mile SABh hSBn mile hn mile 解：在中， ，由正弦定理得 设点 到直线的距离为则 此船可以继续一直沿正北方向航行 答：此船可以继续一直沿正北方向航行 变式练习：两灯塔变式练习：两灯塔A A、B B与海洋观
11、察站与海洋观察站C C的距离都的距离都 等于等于a km,a km,灯塔灯塔A A在观察站在观察站C C的北偏东的北偏东3030o o，灯塔，灯塔B B 在观察站在观察站C C南偏东南偏东6060o o，则，则A A、B B之间的距离为多之间的距离为多 少？少？ 练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B 与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为 62020，AC长为长为1.
12、40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度 最大角度最大角度 最大角度最大角度 最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角 形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？ C A B 最大角度最大角度 最大角度最大角度 最大角度最大角度 最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夹角夹角CAB6620，求求BC 解：由余弦定理解：由余弦定理，得得 答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。 C A B 222 22 2co
13、s 1.951.402 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m) BCABACAB ACA BC 课堂课堂小结小结 解斜三角形应用题的一般步骤：解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：分析：理解题意，分清已知与未知，画出理解题意，分清已知与未知，画出 示意图示意图 （2）建模：建模：根据已知条件与求解目标，把已知根据已知条件与求解目标，把已知 量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立 一个解斜三角形的数学模型一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解利用正弦定理或余弦定理有序地解 出三角形，求得数学模型的解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验：检验上述所求的解是否符合实际意检验上述所求的解是否符合实际意 义，从而得出实际问题的解义，从而得出实际问题的解 总结总结 实际问题实际问题 抽象概括抽象概括 示意图示意图 数学模型数学模型 推 理 推 理 演 算 演 算 数学模型的解数学模型的解 实际问题的解实际问题的解 还原说明还原说明 练习：练习： P P19 19 习题习题1.2 A1.2 A组组 1 1，4 4，5 5 作业：作业： P P19 19习题 习题1.2 A1.2 A组组 2 2，3 3
