1、第三章 不 等 式 3.1 不等关系与不等式 第1课时 不等关系与比较大小 【知识提炼知识提炼】 1.1.不等式的定义所含的两个要点不等式的定义所含的两个要点 (1)(1)不等符号不等符号_或或_._. (2)(2)所表示的关系是所表示的关系是_._. ， 不等关系不等关系 2.2.比较两实数比较两实数a a，b b大小的依据大小的依据 a ab b a ab b a=ba=b 它们的差它们的差a a- -b b与与0 0 【即时小测即时小测】 1.1.思考下列问题思考下列问题 (1)(1)不等关系与不等式有什么区别？不等关系与不等式有什么区别？ 提示：提示：不等关系是量与量之间的关系，而不等
2、式是表不等关系是量与量之间的关系，而不等式是表 示不等关系的式子示不等关系的式子. . (2)(2)当当x=3x=3时，时，x3x3成立吗？成立吗？ 提示：提示：当当x=3x=3时，时，x x3 3成立成立. .实际上，实际上，x x3 3的含义是的含义是x3x3 或或x=3.x=3.当当x3x3和和x=3x=3中有一个成立时，中有一个成立时，x x3 3成立成立. . 2.2.下列式子中不等式的个数为下列式子中不等式的个数为( ( ) ) (1)32.(2)a(1)32.(2)a2 2+10 B.bB.b是不大于是不大于0 0的数，则的数，则b- -1 1 D.a+bD.a+b是负数，则是负
3、数，则a+bm- -5 5 5 5- -m3m3- -m m 5m3m5m3m 5+m55+m5- -m m 【解析解析】m m- -3 3- -m+5=20m+5=20，故恒成立；，故恒成立； 5 5- -m m- -3+m=203+m=20，故恒成立；，故恒成立； 5m5m- -3m=2m3m=2m，无法判断其符号，故不恒成立；，无法判断其符号，故不恒成立； 5+m5+m- -5+m=2m5+m=2m，无法判断其符号，故不恒成立，无法判断其符号，故不恒成立. . 答案：答案： 5.5.雷电的温度大约是雷电的温度大约是28 00028 000，比太阳表面温度的，比太阳表面温度的4.54.5
4、倍还要高倍还要高. .设太阳表面温度为设太阳表面温度为tt，那么应满足的关系，那么应满足的关系 式为式为_._. 【解析解析】由题意得由题意得4.5t、 a时，销售收时，销售收 入入f(x)f(x)大于销售成本大于销售成本g(x).g(x). (4)(4)一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用35x35x 与购置椅子的费用与购置椅子的费用25y25y的和不超过的和不超过3 2003 200元元. . 知识点知识点2 2 两数两数( (式式) )比较大小比较大小 观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题： 问题问题1 1：“：“”和“”和“”的含义
5、分别是什么？”的含义分别是什么？ 问题问题2 2：比较两个实数大小的基本原理是什么？：比较两个实数大小的基本原理是什么？ 【总结提升总结提升】 1.1.关于关于abab和和abab的含义的含义 (1)(1)不等式不等式abab应读作：“应读作：“a a大于或等于大于或等于b”b”，其含义是，其含义是 abab或或a=ba=b，等价于“，等价于“a a不小于不小于b”b”，即若，即若abab或或a=ba=b中有中有 一个正确，则一个正确，则abab正确正确. . (2)(2)不等式不等式abab应读作：“应读作：“a a小于或等于小于或等于b”b”，其含义是，其含义是 ab，如图，如图1.1.
6、(2)(2)如果如果a a- -b b等于零，那么等于零，那么a=ba=b，如图，如图2.2. (3)(3)如果如果a a- -b b是负数，那么是负数，那么a0abab；a a- -b=0b=0a=ba=b；a a- -bab. 答案：答案： abab 22 1 (ab ) 2 22 1 (ab ) 2 1 2 2.2.若提价后商品的售价为若提价后商品的售价为x x元，则销售量减少元，则销售量减少 1010件，因此，每天的利润为件，因此，每天的利润为(x(x- -8)1008)100- -10(x10(x- -10)10)元，元， 则则“每天的利润不低于每天的利润不低于300300元元”可以
7、表示为不等式可以表示为不等式(x(x- - 8)1008)100- -10(x10(x- -10)300.10)300. x 10 1 【方法技巧方法技巧】 1.1.将不等关系表示成不等式将不等关系表示成不等式( (组组) )的思路的思路 (1)(1)读懂题意，找准不等式所联系的量读懂题意，找准不等式所联系的量. . (2)(2)用适当的不等号连接用适当的不等号连接. . (3)(3)多个不等关系用不等式组表示多个不等关系用不等式组表示. . 2.2.常见的文字语言与符号语言之间的转换常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字文字 语言语言 大于，高于，大于，高于， 超过超过 小于，低于，小于，
8、低于， 少于少于 大于等于，大于等于， 至少，不低于至少，不低于 小于等于，小于等于， 至多，不超过至多，不超过 符号符号 语言语言 a. 2 2 bc5a8a 11 b ca6a9 ， ， 2 414 3(a)0 33 ， 由由- -得得c=2ac=2a2 2- -a+1a+1， 所以所以c c- -a=2aa=2a2 2- -2a+1= 2a+1= 所以所以ca.ca.综上：综上：bca.bca. 2 11 2(a)0 22 ， 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )本例条件中的“本例条件中的“5a5a2 2- -8a+11”8a+11”改为“改为“6 6- - 4a+3
9、a4a+3a2 2”，“，“a a2 2- -6a+9”6a+9”改为“改为“- -4+4a4+4a- -a a2 2”，其他条件，其他条件 不变，结果如何？不变，结果如何？ 【解析解析】因为因为c c- -b =b =- -(b(b- -c)c) =4=4- -4a+a4a+a2 2=(2=(2- -a)a)2 200， 所以所以cb.cb. 因为因为2b=(b+c)+(b2b=(b+c)+(b- -c)=2ac)=2a2 2+2+2， 所以所以b=ab=a2 2+1+1，所以，所以b b- -a=aa=a2 2- -a+1= a+1= 所以所以baba，所以，所以cba.cba. 2 13
10、 (a)0 24 ， 2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) )本例条件中的“本例条件中的“5a5a2 2- -8a+11”8a+11” 改为“改为“x x3 3”，“，“a a2 2- -6a+9”6a+9”改为“改为“x x2 2- -x+1”x+1”，其他条件，其他条件 不变，试讨论不变，试讨论c c的符号的符号. . 【解析解析】2c=(b+c)2c=(b+c)- -(b(b- -c)c) =x=x3 3- -(x(x2 2- -x+1)=xx+1)=x3 3- -x x2 2+x+x- -1 1 =x=x2 2(x(x- -1)+(x1)+(x- -1)=(x1)=(x-
11、 -1)(x1)(x2 2+1).+1). 因为因为x x2 2+10+10， 所以当所以当x1x1时，时，(x(x- -1)(x1)(x2 2+1)0+1)0，即，即c0c0； 当当x=1x=1时，时，(x(x- -1)(x1)(x2 2+1)=0+1)=0，即，即c=0c=0； 当当x1ab1，f(x)= f(x)= ，试比较，试比较 f(a)f(a)与与f(b)f(b)的大小关系的大小关系. . 【解析解析】因为因为 所以所以 2 m x x 1 22 m am b f af b a 1b 1 ， 22 2 m am bab f af bm () a 1b 1a 1b 1 2 2 a b
12、 1b a 1 m a 1 b 1 b a m a 1 b 1 ， 当当m=0m=0时，时，f(a)=f(b)f(a)=f(b)； 当当m0m0时，时，m m2 200，又因为，又因为ab1ab1，所以，所以a a- -1010，b b- -1010， b b- -a0，a0，ag(m)，那么关系式，那么关系式ag(m)， 所以所以f(m)f(m)- -g(m)0g(m)0， 所以所以a a2 2(m(m- -b)+ mb)+ m2 2b b- -b b2 2(m(m- -a)a)- -m m2 2a0a0， (b(b- -a)ma)m2 2+(a+(a2 2- -b b2 2)m+ab(b)
13、m+ab(b- -a)0.a)0. 所以所以(b(b- -a)(ma)(m- -a)(ma)(m- -b)0.(*)b)0.(*) 若若a0，m m- -a0a0， m m- -b0b0，于是，于是(b(b- -a)(ma)(m- -a)(ma)(m- -b)0.b)0. 这与不等式这与不等式(*)(*)矛盾矛盾. . 故故ambamb不可能成立不可能成立. . 易错案例易错案例 作差法比较大小作差法比较大小 【典例典例】甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程 步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑 步
14、，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( ( ) ) A.A.甲先到教室甲先到教室 B.B.乙先到教室乙先到教室 C.C.两人同时到教室两人同时到教室 D.D.谁先到教室不确定谁先到教室不确定 【失误案例失误案例】 【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：提示：错误的根本原因是作差后变形不恰当导致无法错误的根本原因是作差后变形不恰当导致无法 判断差的符号判断差的符号. .实际上实际上s(vs(v1 1+v+v2 2) )2 2- -4sv4sv1 1v v2 2=s(v=s(v1 12 2+2v+2v1
15、 1v v2 2+ + v v2 22 2- -4v4v1 1v v2 2)=s(v)=s(v1 1- -v v2 2) )2 2. . 【自我矫正自我矫正】选选B.B.设步行速度与跑步速度分别为设步行速度与跑步速度分别为v v1 1和和 v v2 2，显然，显然0v0v1 1vv2 2，总路程为，总路程为2s2s， 则甲用时间为则甲用时间为 设乙用时间为设乙用时间为t t，则，则v v1 1 +v+v2 2 =2s=2s， 12 ss vv ， t 2 t 2 所以乙用时间为所以乙用时间为 故故 故乙先到教室故乙先到教室. . 12 4s vv ， 1212 2 1212 1212 2 12
16、 1212 ss4s vvvv s vv4sv v v vvv s vv 0 v vvv 而 ， 1212 ss4s vvvv ， 【防范措施防范措施】 1.1.注意作差后的合理变形注意作差后的合理变形 利用“作差法”比较两数利用“作差法”比较两数( (式式) )的大小，关键是“变形”的大小，关键是“变形” 这一环节这一环节. .通常是利用通分、配方、分解因式等手段将通常是利用通分、配方、分解因式等手段将 差式化为若干个数差式化为若干个数( (式式) )平方和的形式，或若干个因式平方和的形式，或若干个因式 积积( (或商或商) )的形式，以有利于差式符号的判断的形式，以有利于差式符号的判断. . 2.2.符号的判断符号的判断 在判断差的符号时，一定要明确有关数在判断差的符号时，一定要明确有关数( (或式或式) )的符号的符号 是正数、负数，还是非正数、非负数，要力求精确是正数、负数，还是非正数、非负数，要力求精确. .
