1、第2课时 二元一次不等式组表示的平面区域 1.1.会画二元一次不等式组所表示的平面区域会画二元一次不等式组所表示的平面区域. . 2.2.从实际问题中抽象出二元一次不等式组从实际问题中抽象出二元一次不等式组. . 1.1.二元一次不等式组二元一次不等式组 关于两个未知数的几个关于两个未知数的几个_组成的不等式组称为组成的不等式组称为 二元一次不等式组二元一次不等式组. . 2.2.二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域是每个二元一次不等式所表二元一次不等式组表示的平面区域是每个二元一次不等式所表 示的平面区域的示的平面区域的_._. 二元一
2、次不等式二元一次不等式 公共部分公共部分 1.1.二元一次不等式组二元一次不等式组 所表示的平面区域的面积所表示的平面区域的面积 是是 . . x0 y0 xy 10 ， ， 【解析解析】二元一次不等式组二元一次不等式组 所表示的平面区域如图所示，由图可知所表示的平面区域如图所示，由图可知 不等式组表示的平面区域的面积不等式组表示的平面区域的面积S= S= 1 11= .1= . 答案：答案： x0 y0 xy 10 ， ， 1 2 1 2 1 2 2.2.二元一次不等式组二元一次不等式组 表示的平面区域的形状是表示的平面区域的形状是 . . 【解析解析】不等式组所表示的平面区域如不等式组所表
3、示的平面区域如 图所示，图所示， 由图可知不等式组表示的平面区域为等由图可知不等式组表示的平面区域为等 腰直角三角形腰直角三角形. . 答案：答案：等腰直角三角形等腰直角三角形 xy0 xy0 x2 ， ， 二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域 根据二元一次不等式组根据二元一次不等式组 探究下列问题：探究下列问题： 探究探究1 1：二元一次不等式组的解与坐标平面内的点有何关系？：二元一次不等式组的解与坐标平面内的点有何关系？ 不等式组的解集在坐标平面内又如何表示？不等式组的解集在坐标平面内又如何表示？ 提示：提示：二元一次不等式组的每一个解都对应坐标平面内的一个二元一次
4、不等式组的每一个解都对应坐标平面内的一个 点，即一一对应关系点，即一一对应关系. .不等式组的解集则对应坐标平面内的某不等式组的解集则对应坐标平面内的某 一区域一区域. . 11 22 A xB yC0 A xB yC0 ， 探究探究2 2：如何根据不等式组内各个不等式表示的平面区域确定：如何根据不等式组内各个不等式表示的平面区域确定 不等式组所表示的平面区域？不等式组所表示的平面区域？ 提示：提示：由于所求平面区域内的点的坐标要同时满足不等式组中由于所求平面区域内的点的坐标要同时满足不等式组中 每个不等式，所以确定二元一次不等式组表示的平面区域就是每个不等式，所以确定二元一次不等式组表示的平
5、面区域就是 确定各个不等式表示的平面区域的公共部分确定各个不等式表示的平面区域的公共部分. . 探究探究3 3：当一个二元一次不等式组的解集为空集时，它还能表：当一个二元一次不等式组的解集为空集时，它还能表 示一个平面区域吗？示一个平面区域吗？ 提示：提示：不能，当不等式组的解集为空集时，二元一次不等式组不能，当不等式组的解集为空集时，二元一次不等式组 不表示任何平面区域不表示任何平面区域. . 【探究总结探究总结】画二元一次不等式组表示的平面区域的三点说明画二元一次不等式组表示的平面区域的三点说明 (1)(1)在作直线的过程中，作图要规范，相对位置要准确在作直线的过程中，作图要规范，相对位置
6、要准确. . (2)(2)用特殊点代入用特殊点代入Ax+By+CAx+By+C定域时定域时. .若若C0C0，则一般选取，则一般选取(0(0，0)0) 代入；当代入；当C=0C=0，则一般选取点，则一般选取点(1(1，0)0)或或(0(0，1)1)代入代入. . (3)(3)不等式组表示的平面区域可能是封闭的，也可能是开放的不等式组表示的平面区域可能是封闭的，也可能是开放的. . 类型一类型一 二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域 1.1.如图所示，阴影部分所表示的区域对应的不等式是如图所示，阴影部分所表示的区域对应的不等式是( ( ) ) A.x0 2.2.画出不等式
7、组画出不等式组 表示的平面区域表示的平面区域. . x3 2yx 3x2y6 3yx9 ， ， ， 【解题指南解题指南】1.1.对对x0分别讨论可得分别讨论可得. . 2.2.分别找出每个不等式所表示的平面区域，最后找出它们的公分别找出每个不等式所表示的平面区域，最后找出它们的公 共部分共部分. . 【自主解答自主解答】1.1.选选C.C.图中阴影部分对应的不等式为：当图中阴影部分对应的不等式为：当x0x0时，时， y y- -2x0；当；当x0，y y- -x0，表示直，表示直 线线x x- -3y+9=03y+9=0的右下方的平面区域的右下方的平面区域. .综上，可知原不等式组表示综上，可
8、知原不等式组表示 的平面区域如图所示的平面区域如图所示( (阴影部分阴影部分).). 【规律总结规律总结】画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤 (1)(1)逐一定域：先根据特殊点确定不等式组中每一个不等式所逐一定域：先根据特殊点确定不等式组中每一个不等式所 表示的平面区域表示的平面区域. . (2)(2)求公共区域：如果平面区域是由不等式组决定的，那么确求公共区域：如果平面区域是由不等式组决定的，那么确 定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分. . 提醒：提醒：在画不等式组表示的平面区域时
9、，注意所画的平面区域在画不等式组表示的平面区域时，注意所画的平面区域 是否包括边界是否包括边界. . 【拓展延伸拓展延伸】含绝对值的不等式表示的平面区域的作法含绝对值的不等式表示的平面区域的作法 (1)(1)去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二 元一次不等式元一次不等式. . (2)(2)一般采用分象限讨论去绝对值符号一般采用分象限讨论去绝对值符号. . (3)(3)利用对称性可避免对绝对值的讨论利用对称性可避免对绝对值的讨论. . (4)(4)在方程在方程f(xf(x，y)=0y)=0或不等式或不等式f(xf(x，y)0y)0中
10、，若将中，若将x x，y y换成换成 - -x x，- -y y，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的 平面区域关于平面区域关于y(x)y(x)轴对称轴对称. . 【变式训练变式训练】在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，满足不等式组中，满足不等式组 的点的点(x(x，y)y)的集合用阴影表示为的集合用阴影表示为( ( ) ) |x| | y| |x| 1 ， 【解析解析】选选C.C.由由|x|y|x|y|，得当，得当x0x0时，时，yxyx或或yyx x； 当当x0x0时，时，yyx x或或yx.yx.故原不等式可化为故原不等式
11、可化为 所以原不等式表示的平面区域为所以原不等式表示的平面区域为C C选项选项. . x0 yx 1x1 ， ， x0x0x0 yxyx yx 1x11x11x1 ， 或 ，或 ， 或， 类型二类型二 二元一次不等式组表示平面区域的面积二元一次不等式组表示平面区域的面积 1.1.不等式组不等式组 表示的平面区域的面积是表示的平面区域的面积是 . . 2.(20142.(2014安徽高考安徽高考) )不等式组不等式组 表示的平面区域的表示的平面区域的 面积为面积为 . . x3 xy0 xy50 ， ， xy20 x2y40 x3y20 ， ， 【解题指南解题指南】1.1.根据不等式组作出平面区
12、域，观察图形的特点，根据不等式组作出平面区域，观察图形的特点， 求其面积求其面积. . 2.2.正确画出平面区域的可行域是一个三角形，再数形结合计算正确画出平面区域的可行域是一个三角形，再数形结合计算 面积面积. . 【自主解答自主解答】1.1.不等式组所表示的平面区域如图所示，不等式组所表示的平面区域如图所示， 由由 得得A A 由由 得得B(3B(3，3).3). 由由 得得C(3C(3，8).8).所以所以BC=8BC=8( (3)=113)=11，过点，过点A A 作作ADBCADBC于于D D，则，则 所以所以S S ABCABC= = 答案：答案： xy0 xy50 ， 5 5 (
13、). 2 2 ， xy0 x3 ， x3 xy50 ， 511 AD3 (). 22 1 BC AD 2 111121 11. 224 121 4 2.2.如图所示，可得点如图所示，可得点A(0A(0，2)2)，B(2B(2，0)0)，C(8C(8，- -2)2)， 根据图象计算可得根据图象计算可得S S ABCABC= = 2 22+ 2+ 2 22=4.2=4. 答案：答案：4 4 1 2 1 2 【延伸探究延伸探究】在题在题1 1不等式组所表示的平面区域中任取一点不等式组所表示的平面区域中任取一点P P， 则点则点P P到原点的距离不超过到原点的距离不超过1 1的概率为的概率为 . .
14、【解析解析】设设“点点P P到原点的距离不超过到原点的距离不超过1 1”为事件为事件M M，则由图可，则由图可 知，事件知，事件M M所表示的区域是以原点为圆心，以所表示的区域是以原点为圆心，以1 1为半径的半圆的为半径的半圆的 内部，其面积内部，其面积S= S= ，所以事件，所以事件M M发生的概率发生的概率P(M)=P(M)= 答案：答案： 2 2 2 . 121 121 4 2 121 【规律总结规律总结】求二元一次不等式组所表示平面区域面积的方法求二元一次不等式组所表示平面区域面积的方法 与注意事项与注意事项 (1)(1)求平面区域面积的方法：求平面区域面积的方法： 由不等式组表示出平
15、面区域由不等式组表示出平面区域. . 若是规则图形，先求出关键点的坐标，再利用公式求出面积若是规则图形，先求出关键点的坐标，再利用公式求出面积. . 若是不规则图形，则将其分成若干个规则图形求解若是不规则图形，则将其分成若干个规则图形求解. . (2)(2)注意事项：注意事项： 求面积时，要注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，求面积时，要注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标， 这样易求出相关的长度这样易求出相关的长度. . 必要时将所求区域分割为几个规则的图形，分别求其面积再必要时将所求区域分割为几个规则的图形，分别求其面积再 相加相加. . 类型三类型三 用二元一次不等式组表示实际问题
16、用二元一次不等式组表示实际问题 1.1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车皮甲种肥料车皮甲种肥料 的主要原料是磷酸盐的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮乙种肥料需要车皮乙种肥料需要 的主要原料是磷酸盐的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t.15t.现库存磷酸盐现库存磷酸盐10t10t、硝酸、硝酸 盐盐66t66t，在此基础上生产这两种混合肥料，设，在此基础上生产这两种混合肥料，设x x，y y分别为计划分别为计划 生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，列出满足生产条件的数学生产甲、乙两种混合肥料的车皮
17、数，列出满足生产条件的数学 关系式关系式 . . 2.2.某厂使用两种零件某厂使用两种零件A A，B B装配两种产品装配两种产品P P，Q Q，该厂的生产能力，该厂的生产能力 是月产是月产P P产品最多有产品最多有25002500件，月产件，月产Q Q产品最多有产品最多有12001200件；而且组件；而且组 装一件装一件P P产品要产品要4 4个零件个零件A A，2 2个零件个零件B B，组装一件，组装一件Q Q产品要产品要6 6个零个零 件件A A，8 8个零件个零件B B，该厂在某个月能用的，该厂在某个月能用的A A零件最多零件最多1400014000个，个，B B零零 件最多件最多120
18、0012000个个. .用数学关系式和图形表示上述要求用数学关系式和图形表示上述要求. . 【解题指南解题指南】1.1.用不等式组表示出各不等关系，得出不等式组用不等式组表示出各不等关系，得出不等式组. . 2.2.设出所生产设出所生产P P，Q Q产品分别为产品分别为x x件，件，y y件，利用不等式表达出题件，利用不等式表达出题 中的各个不等关系，从而得出不等式组中的各个不等关系，从而得出不等式组. .再根据所得到的不等再根据所得到的不等 式组画出其平面区域式组画出其平面区域. . 【自主解答自主解答】1.1.由题意知满足以下条件：由题意知满足以下条件： 答案：答案： 4xy10 18x
19、15y66 x0 y0. ， ， ， 4xy10 18x 15y66 x0 y0 ， ， ， 2.2.设分别生产设分别生产P P，Q Q产品产品x x件，件，y y件，依题意则有件，依题意则有 用图形表示上述限制条件，得其表示的平面区域如图用图形表示上述限制条件，得其表示的平面区域如图( (阴影部阴影部 分整点分整点) )所示所示. . 4x6y14 000 2x8y12 000 0x2 500xN 0y1 200yN. ， ， ， ， 【规律总结规律总结】用平面区域表示实际问题的方法用平面区域表示实际问题的方法 (1)(1)先根据问题的需要选取起关键作用并与其他量关联较多的先根据问题的需要选
20、取起关键作用并与其他量关联较多的 两个量，用字母表示两个量，用字母表示. . (2)(2)把问题中的所有的量都用这两个字母表示出来，再由实际把问题中的所有的量都用这两个字母表示出来，再由实际 问题中的限制条件以及问题中所有量的实际意义写出所有的不问题中的限制条件以及问题中所有量的实际意义写出所有的不 等式等式. . (3)(3)写出由这些不等式组成的不等式组，并用平面区域表示出写出由这些不等式组成的不等式组，并用平面区域表示出 来来. . 【变式训练变式训练】某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品 1kg1kg要用煤要用煤9t9t，电力，电力4kW4k
21、Wh h，劳力，劳力( (按工作日计算按工作日计算)3)3个；制造乙个；制造乙 产品产品1kg1kg要用煤要用煤4t4t，电力，电力5kW5kWh h，劳力，劳力1010个个. .现在此工厂只有煤现在此工厂只有煤 360t360t，电力，电力200kW200kWh h，劳力，劳力300300个，求在此条件下制造甲、乙个，求在此条件下制造甲、乙 两种产品应满足的数学关系式，并画出数学关系式所表示的平两种产品应满足的数学关系式，并画出数学关系式所表示的平 面区域面区域. . 【解析解析】设此工厂分别制造甲、乙两种产品设此工厂分别制造甲、乙两种产品xkgxkg，ykg.ykg. 则依题意知用煤需满足则依题意知用煤需满足9x+4y360.9x+4y360. 用电需满足用电需满足4x+5y2004x+5y200， 用劳力需满足用劳力需满足3x+10y3003x+10y300，且，且x0x0，y0.y0. 故所求数学关系式为故所求数学关系式为 画出此不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示画出此不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示( (包括边界包括边界).). 9x4y360 4x5y200 3x 10y300 x0 y0 ， ， ， ， ，
