1、第2课时 等比数列习题课 等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式 11 1 (1) ,1 11 ,1 n n n n aa qaq Sq qq Snaq - =? - = 上节课我们学习了等比数列的前上节课我们学习了等比数列的前n n项和，这节项和，这节 课我们继续学习等比数列前课我们继续学习等比数列前n n项和公式的应用！项和公式的应用！ 1.1.综合运用等比数列的定义、通项公式、性质及综合运用等比数列的定义、通项公式、性质及 前前n n项和公式解决相关问题项和公式解决相关问题. .( (重点、难点）重点、难点） 2.2.通过规范的解题步骤，培养学生一丝不苟的严通过规范的解题步骤，培
2、养学生一丝不苟的严 谨态度，通过由浅入深的练习，培养学生积极参谨态度，通过由浅入深的练习，培养学生积极参 与的主动精神与的主动精神. . 探究点探究点1 1：等比数列前等比数列前n n项和的性质项和的性质 若数列若数列 an n 是公比为是公比为q q的等比数列，则的等比数列，则 (1)(1) S Sn n, S, S2n 2n- -S Sn n, S , S3n 3n- -S S2n2n成等比数列； 成等比数列； 偶偶* * 奇奇 S S 2 2 若若项项数数为为2n n2n nN,N,则则= q;= q; S S nnnn 3 3 数数列列 a +ba +b中中一一个个等等差差数数列列，一
3、一个个等等比比数数列列， 则则分分别别求求和和; ; nnnn (4)(4)数数列列 abab中中一一个个等等差差数数列列, ,一一个个等等比比数数列列， 则则错错位位相相减减. . 知和求项知和求项: : 2, 14 1, 6 nn n a n 设设数数列列的的前前 项项的的和和 求求的的通通项项公公式式 2 231, . nn n anSnn a 1 123 1 1 2 设设是是数数列列的的前前 项项和和，即即 则则 nn n n n n n Sn a SS San n Saaaa 1.1.定义：定义： =q=q（q q为不为零的常数）为不为零的常数） 3.3.等比数列的通项变形公式：等比
4、数列的通项变形公式： a an n=a=am mq qn n- -m m（a am m0,q0,q0 0） 2.2.等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：a an n=a=a1 1q qn n- -1 1（q q0 0） 【复习要点复习要点】 4.4.如如果果在在两两个个数数a a与与b b中中间间插插入入一一个个数数A A，使使得得 a,A,ba,A,b构构成成等等比比数数列列，那那么么A A叫叫做做a a与与b b的的 等等比比中中项项. . n 1 n a a . .如如果果 , , , 成成等等比比数数列列，那那么么, , 5 . a A b Aab N . .性性质质 在在等等比比
5、数数列列中中， 为为公公比比， 若若 那那么么： * 6: , , , . n mnpq aq m n p qmnpq aaaa 8.8.性质性质: : 在等比数列在等比数列a an n中中,S,Sn n是它的前是它的前n n项和项和, , 那么有那么有:S:Sm m, S, S2m 2m- -S Sm m, S , S3m 3m- -S S2m2m, , 也成等比数列也成等比数列. . 等等比比数数列列的的前前 项项和和公公式式 ， ， ， 或或 ， ， 1 1 11 .: (1) 1 1 1 1 11 n n nn n aa q aq q q q SSq naqnaq a1, q, n,
6、an, Sn中中 知三求二知三求二 两两个个等等比比数数列列与与的的积积、商商、倒倒数数的的 数数列列、仍仍为为等等比比数数列列. . nn n nn nnn (1) 11 ab a ab bab 为为等等差差数数列列，则则是是等等比比数数列列. . n 2 (c0) n a ac （）是是等等比比数数列列，则则 且且 是是等等差差数数列列. . nncn 3 0log (c0c1) bbb 【重要结论重要结论】 已知等比数列已知等比数列aan n 中，前中，前n n项和项和S Sn n=54, S=54, S2n 2n=60, =60, 则则S S3n 3n等于 等于( )( ) 2222
7、A. 64 B. 66 C. 60 A. 64 B. 66 C. 60 D. 66D. 66 3333 C C 【即时练习即时练习】 （ ）定定义义法法：常常数数 1 1 n n a a （ ）递递推推公公式式法法： 2 11 2 nnn aaa （ ）看看通通项项法法：3 n n akq 探究点探究点2：等比数列判定方法等比数列判定方法 一般数列求和法一般数列求和法 倒序相加法求和，如倒序相加法求和，如a an n=3n+1=3n+1 错项相减法求和，如错项相减法求和，如a an n=(2n=(2n- -1)21)2n n 拆项法求和，拆项法求和， 如如a an n=2n+3=2n+3n n
8、 裂项法求和，裂项法求和， 如如a an n= = 公式法求和，公式法求和， 如如a an n=2n=2n2 2- -5n5n 1 n(n1) 已知数列递推公式求通项公式已知数列递推公式求通项公式 累加法：如累加法：如 累乘法：如累乘法：如 构造新数列：如构造新数列：如 分解因式：如分解因式：如 取倒数：如取倒数：如 n 1 2 1n 2 nn 1n a1,a0,(n1)a naaa0,n * N )2( 3 3 , 3 1 1 1 n a a aa n n n )( 1 nfaa nn )( 1 nf a a n n bkaa nn 1 11 () nnnn aak aa 已知等比数列的前已
9、知等比数列的前n n项和项和S Sn n=3=3n n+b+b，则，则b b的值为的值为 ( )( ) A.1 B.A.1 B.1 C.0 D.1 C.0 D.任意实数任意实数 B B 【即时练习即时练习】 例例1 1 某商场今年销售计算机某商场今年销售计算机5 5 000000台，如果平均台，如果平均 每年的销售量比上一年的销售量增加每年的销售量比上一年的销售量增加10%10%，那么从，那么从 今年起，大约几年可使总销售量达到今年起，大约几年可使总销售量达到3030 000000台台 （结果保留到个位）？（结果保留到个位）？ 解：解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率根据题意，每年销售
10、量比上一年增加的百分率 相同，所以，从今年起，每年的销售量组成一个等相同，所以，从今年起，每年的销售量组成一个等 比数列比数列 ，其中，其中 n a q qa S n n 1 )1 ( 1 于是得到于是得到 答：答：大约大约5 5年可以使总销售量达到年可以使总销售量达到3030 000000台台. . 整理，得整理，得 6 .11 .1 n 5 0414.0 2041.0 1.1lg 6.1lg n （年）（年）. 0.204 1 5 0.041 4 n n 因因为为lg1.1 = lg1.6lg1.1 = lg1.6 所所以以nlg1.1 = lg1.6nlg1.1 = lg1.6 注：数学
11、应用问题的解答步骤：注：数学应用问题的解答步骤： 一、通过阅读，理解题意，建立数学模型；一、通过阅读，理解题意，建立数学模型； 二、通过解决数学问题来解决实际问题；二、通过解决数学问题来解决实际问题； 三、回答实际问题三、回答实际问题 已知等差数列已知等差数列aan n 的公差的公差d=1,d=1,前前n n项和为项和为S Sn n. . (1)(1)若若1,a1,a1 1,a,a3 3成等比数列成等比数列, ,求求a a1 1. . (2)(2)若若S S5 5aa1 1a a9 9, ,求求a a1 1的取值范围的取值范围. . 【解题指南解题指南】按等比中项列式按等比中项列式,a,a3
12、3用通项表示用通项表示, ,求求 出首项出首项, ,第第(2)(2)问问, ,直接按基本量列式求解直接按基本量列式求解. . 【变式练习变式练习】 解解: :(1)(1)因为数列因为数列aan n 的公差的公差d=1,d=1,且且1,a1,a1 1,a,a3 3成等比数成等比数 列列, ,所以所以a a1 12 2=1=1(a(a1 1+2),+2),即即a a1 12 2- -a a1 1- -2=0,2=0,解得解得a a1 1= =- -1 1或或 a a1 1=2.=2. (2)(2)因为数列因为数列aan n 的公差的公差d=1,d=1,且且S S5 5aa1 1a a9 9, ,
13、所以所以5a5a1 1+10a+10a1 12 2+8a+8a1 1, , 即即a a1 12 2+3a+3a1 1- -100,100,解得解得- -5a5a1 12. 2. 例例 如如图图, ,为为了了估估计计函函数数在在第第一一象象限限的的图图 象象与与 轴轴、 轴轴围围成成的的区区域域的的面面积积X X，把把 轴轴上上的的区区间间 分分成成 等等份份，从从各各分分点点作作 轴轴的的平平行行线线与与函函数数 图图象象相相交交，再再从从各各交交点点向向左左作作 轴轴的的平平行行线线，构构 成成个个矩矩形形. .下下面面的的程程序序用用来来计计算算这这 个个矩矩形形的的面面积积的的和和S.S
14、. 2 29 0,3 11 yx xyx ny x nn y=9y=9- -x x2 2 x x y y 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 o o SUM=0 k=1 INPUT N WHILE k=N-1 AN=(9-(k*3/N)2)*3/N SUM=SUM+AN PRINT k,AN,SUM k=k+1 WEND END 阅阅读读程程序序，回回答答下下列列问问题题： 1 1 程程序序中中的的ANAN、SUMSUM分分别别表表示示什什么么，为为什什么么？ 2 2 请请根根据据程程序序分分别别计计算算当当n = 6, 11, 16
15、n = 6, 11, 16时时，各各个个矩矩 形形的的面面积积的的和和 不不必必在在计计算算机机上上运运行行程程序序 . . 当当轴轴区区间间时时 长长显显点点横横标标 别别从从点点轴轴 线线图图点点纵纵标标别别 们们别别 应应 2 2 2222 2 2 1把1把x上x上的的0, 3 分0, 3 分成成n等n等份份，各各等等份份 3333 的的都都是是, 即, 即各各矩矩形形的的底底都都是是. 然. 然分分的的坐坐 nnnn 33 n-1n-13 33 32 2 分分是是， ，,各,各分分作作y的y的 解解 平平行行 nnnnnn 与与y = 9-x 的y = 9-x 的象象相相交交，交交的的
16、坐坐分分是是 33 n-1n-133332 2 9-，9-，9-，9-， ，9-，9-，它它分分 nnnnnn 是是相相矩矩. . ： 形形的的高高 这这样样个个积积别别 个个积积 个个积积 2 2 2 2 2 2 3333 ，各各矩矩形形的的面面分分是是 9-,9-, nnnn 33 n-1n-133233233 9-, , 9-.所9-, , 9-.所以以， nnnnnnnn 程程序序中中的的AN表AN表示示第第k矩k矩形形的的面面，SUM表SUM表示示 前前k矩k矩形形面面的的和和. . 当当时时个个积积 输输时时个个输输 这这数数点点 2 根2 根据据程程序序，n =6，n =6，5矩
17、5矩形形的的面面的的和和就就是是 入入N =6，N =6，SUM的SUM的最最后后一一出出值值，即即SUM =SUM = 15.625里15.625里精精确确到到小小后后3位3位 . . 当当时时个个积积输输 时时个个输输 当当时时们们个个积积 同同理理，n =11，n =11，10矩10矩形形的的面面的的和和就就是是入入 N =11，N =11，SUM的SUM的最最后后一一出出值值，即即SUM =SUM = 16.736；16.736；n =16，n =16，我我得得到到15矩15矩形形的的面面的的 和和SUM =17.139.SUM =17.139. 分分的的矩矩形形越越多多，矩矩形形面面
18、积积之之和和越越接接近近曲曲线线与与坐坐标标 轴轴围围成成的的图图象象的的面面积积. . 公比为公比为2 2的等比数列的等比数列aan n 的各项都是正数，且的各项都是正数，且 ， 则则loglog2 2a a1010= =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7A.4 B.5 C.6 D.7 B B 311 16a a 【变式练习变式练习】 2 2.21 n nnn nnnn anSb babnT 若等比数列的前 项和，数列满足： ，则的前那 项和。 1 (41) 3 n 1 ,() nnn anSS.若等比数列的前 项和为则数列中 A.A.任意一项都不为任意一项都不为0 0 D.D.可以有无
19、数项为可以有无数项为0 0 C.C.至多有有限项为至多有有限项为0 0 B.B.必有一项为必有一项为0 0 D 3.3.等比数列等比数列aan n 共共2n2n项，其和为项，其和为- -240240，且奇数项的和，且奇数项的和 比偶数项的和大比偶数项的和大8080，则公比，则公比q=_.q=_. 2 2 4.(2015安徽安徽高考高考)已知数列已知数列 n a 是递增的等比数列，是递增的等比数列， 1423 9,8aaa a ，则数列，则数列 n a 的前的前 n 项和等项和等 于于 . 【解析】由题意，【解析】由题意， 14 2314 9 8 aa aaa a ， 解得解得14 1,8aa
20、或者或者14 8,1aa ， 而数列， 而数列 n a 是递增是递增 的等比数列，所以的等比数列，所以14 1,8aa ，即，即 3 4 1 8 a q a ， 所以所以 q=2，因而数列，因而数列 n a 的前的前 n 项和项和 1(1 )1 2 21 11 2 nn n n aq S q . 1.1.等比数列的前等比数列的前n n项和公式；项和公式； 2.2.等比数列前等比数列前n n项和的性质；项和的性质； 3.3.知和求项；知和求项； 4.4.等比数列的判定方法；等比数列的判定方法； 5.5.一般数列求和法；一般数列求和法； 6.6.已知数列递推公式求通项公式已知数列递推公式求通项公式
21、. . 等差数列等差数列aan n 等比数列等比数列aan n 定义定义 通项公式通项公式 推导方法推导方法 性质性质 前前n n项和项和S Sn n 公式公式 推导方法推导方法 a an+1 n+1- -a an n=d( =d(常数常数) ) ( (不为零的常数不为零的常数) ) a an n=a=a1 1+(n+(n1)d1)d a an n- -a am m=(n=(nm)dm)d 归纳猜想验证法归纳猜想验证法 首尾相咬累加法首尾相咬累加法 归纳猜想验证法归纳猜想验证法 首尾相咬累乘法首尾相咬累乘法 若若m+n=r+s,mm+n=r+s,m，n n，r r， sNsN* * 则则a a
22、m m+a+an n=a=ar r+a+as s 若若m+n=r+s,mm+n=r+s,m，n n，r r，sNsN* * 则则a am maan n=a=ar raas s 1n n 1 (aa )n S 2 n(n1) nad 2 当当q q1 1时，时， S Sn n=na=na1 1 当当q1q1时，时， n 11n n a (1q )aa q S 1q1q 化零为整法化零为整法 归纳猜想验证法归纳猜想验证法;错项相减法错项相减法 7.7.等差数列与等比数列的比较等差数列与等比数列的比较 n 1 n a q a a an n=a=a1 1 q qn n- -1 1 =q=qn n- -m m n m a a 8.8.数列综合应用题的解题步骤：数列综合应用题的解题步骤： 实际应用题实际应用题 构建数列模型构建数列模型 与数列有关的与数列有关的 数学问题数学问题 数学问题的解数学问题的解 审题，找出题意审题，找出题意 中的数学关系中的数学关系 分析分析 转化转化 运用数列知识求解运用数列知识求解 翻译翻译 作答作答 让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和 计划吧！
