1、大衍求一术大衍求一术 什么是大衍求一术？什么是大衍求一术？所谓所谓“大衍求一术大衍求一术”,是一种解一次同余式或联立一次是一种解一次同余式或联立一次同余式组的方法：简单说，就是对同余式组的方法：简单说，就是对 B Bx 1(mod A)1(mod A)求求整数整数x,其中其中 A A、B B是给定的互质自然数是给定的互质自然数,在在数学九章数学九章里里A A称为称为定母定母,B,B称为称为衍数衍数,x称为称为乘率乘率。如果如果 A B,A bab 如果如果ababab b b0 0右列右列 上下两数辗转相除上下两数辗转相除当当 右下右下 右上时，所得商数与左上相乘加右上时，所得商数与左上相乘加
2、 左下，记入左下左下，记入左下当当 右上右上 右下时，所得商数与左下相乘加右下时，所得商数与左下相乘加 左上，记入左上左上，记入左上当当 右上右上1,1,右下右下=1=1时，时，为了为了mod(mod(右上，右下）右上，右下）0 0 取取 商数商数=（右上（右上-1-1）/1/1当当 右上为右上为1 1，计算结束，左上即为所求乘率，计算结束，左上即为所求乘率1 衍数 b (或 奇余 b1)0 定母 a置置奇奇右上，右上，定定居右下，居右下，立天元一于左上立天元一于左上先以右上除右下，所得先以右上除右下，所得商数与左上一相生，入商数与左上一相生，入左下左下然后乃以右行上下，以然后乃以右行上下，以
3、少除多，递互除之，所少除多，递互除之，所得商数随即递互累乘，得商数随即递互累乘，归左行上下归左行上下须使右上末后奇一而止，须使右上末后奇一而止，乃验左上所得，以为乘乃验左上所得，以为乘率率大衍求一术大衍求一术 有什么神奇之处？有什么神奇之处？我们通过一个比较复杂的同余式题略窥一斑我们通过一个比较复杂的同余式题略窥一斑秦九韶秦九韶数学九章数学九章的的“古历会积古历会积”里，涉及计算里，涉及计算9253 9253 x1 1（mod 225600mod 225600）如果不用大衍求一术，怎么求解呢？如果不用大衍求一术，怎么求解呢？首先能想到的是用简单易行的首先能想到的是用简单易行的“笨办法笨办法”-
4、穷举法穷举法在联想在联想 扬天扬天R4900dR4900d台式机上台式机上 主频主频3.3GHz 3.3GHz 内存内存4GB4GB CPU Intel Core i 5-4590CPU Intel Core i 5-4590，Matlab5Matlab5计算过程耗时计算过程耗时976.662976.662秒（超过秒（超过1616分钟）分钟）在同一台式机上在同一台式机上 Matlab5Matlab5按大衍求一术编程计算按大衍求一术编程计算 计算过程耗时计算过程耗时0.0320.032秒秒穷举法计算本题至少约需穷举法计算本题至少约需1212亿次以上，亿次以上，大衍求一术仅需大衍求一术仅需1212
5、次辗转相除和相应计算次辗转相除和相应计算大衍求一术大衍求一术 简化了运算过程，大大提升了求解速度简化了运算过程，大大提升了求解速度这在古代使用筹算的年代尤为重要这在古代使用筹算的年代尤为重要穷举法计算穷举法计算 92539253*x=225600=225600*m+1m+1联想联想 扬天扬天R4900dR4900d台式机台式机 CPU Intel Core i 5-4590CPU Intel Core i 5-4590，Matlab5Matlab5耗时耗时976.662976.662秒秒台式机台式机 大衍求一术计算耗时大衍求一术计算耗时0.0320.032秒，相差秒，相差 3 3万多倍万多倍i
6、Pad2 MathStudio（穷举法未能通过）（穷举法未能通过）按大衍求一术手工计算按大衍求一术手工计算1212次辗转相除运算过程的数据如左图次辗转相除运算过程的数据如左图每次辗转相除所得商数、余数按规定每次辗转相除所得商数、余数按规定的计算规则记入后页框图的计算规则记入后页框图这样的计算这样的计算在没有电脑和计算器的古代在没有电脑和计算器的古代也是很费时费力的也是很费时费力的1 9253 0 2256001 925324 352849 219724 352849 219773 1331122 86673 1331122 866195 465317 401195 465317 401512
7、643389 17512 643389 1710679 1314068 410679 1314068 452883 1172717 1 52883 1以上是运用大衍求一术手工计算以上是运用大衍求一术手工计算 92539253*x=225600=225600*m+1 m+1 全过程的数据框图，与全过程的数据框图，与MathStudioMathStudio的编程计算结果完全符合的编程计算结果完全符合iPad2 iPad2 用大衍求一术编程解：用大衍求一术编程解：92539253*x=225600=225600*m+1m+1答案：答案：x=172717=172717 m m=7084=7084 耗时
8、耗时：2ms 2ms 循环计算次数循环计算次数t t=12 =12 在在iPadiPad上穷举法计算未能通过，可能是内存不堪重负吧上穷举法计算未能通过，可能是内存不堪重负吧大衍求一术算出的乘率究竟是个什么数？大衍求一术算出的乘率究竟是个什么数？s=1 b s=1 b s st t r rt t=1=1 0 a 0 a s st-1 t-1 r rt-1t-1 左图是起始状态左图是起始状态 右图是终止状态右图是终止状态右列上下两数每次辗转相除，得商数右列上下两数每次辗转相除，得商数q,q,余数余数r,r,经经t t次计算后次计算后 以此逆推到起始状态，即得证以此逆推到起始状态，即得证 s st
9、t=q=qt ts st-1t-1+s+st-2t-2 如果得到如果得到 b bs st t 1(mod a)1(mod a)网络上可以查到许多有关用现代通用数学语言符号全面深入探讨大衍求一网络上可以查到许多有关用现代通用数学语言符号全面深入探讨大衍求一术的资料，给出了大衍求一术的证明，例如术的资料，给出了大衍求一术的证明，例如秦九韶大衍术与高斯秦九韶大衍术与高斯 （沈康身）（沈康身）论论 大衍求一术大衍求一术（未知作者）（未知作者）大衍求一术与二元一次不定方程大衍求一术与二元一次不定方程（文耀光）等（文耀光）等有兴趣请查阅，在此不赘述。有兴趣请查阅，在此不赘述。秦九韶（秦九韶（1202120
10、212611261）的算法非常严密，但他没有对这）的算法非常严密，但他没有对这一算法给出证明。一算法给出证明。到到1818、1919世纪欧拉（世纪欧拉（1707170717831783）和高斯（）和高斯（1777177718551855）分别对一次同余式组进行了详细研究，殊途同归地获得了分别对一次同余式组进行了详细研究，殊途同归地获得了与秦九韶与秦九韶“大衍术大衍术”相同的定理。相同的定理。18521852年英国传教士伟烈亚力发表年英国传教士伟烈亚力发表中国科学摘记中国科学摘记，介，介绍了绍了孙子算经孙子算经物不知数题和秦九韶的解法，引起欧洲物不知数题和秦九韶的解法，引起欧洲学者的重视；学者的
11、重视；18761876年德国人马蒂生首先指出秦九韶（年德国人马蒂生首先指出秦九韶（12471247）的算法与高斯（的算法与高斯（18011801）的算法是一致的，在时间上秦九韶）的算法是一致的，在时间上秦九韶领先了五百多年；因此关于这一算法被称作领先了五百多年；因此关于这一算法被称作“中国剩余定中国剩余定理理”今天我们漫步在中国古算的花园里，优哉游哉，兴趣盎今天我们漫步在中国古算的花园里，优哉游哉，兴趣盎然；同时我们不得不对先哲们的超凡睿智满怀敬仰，又为然；同时我们不得不对先哲们的超凡睿智满怀敬仰，又为大师们锲而不舍、孜孜以求的坚韧毅力而叹服。大师们锲而不舍、孜孜以求的坚韧毅力而叹服。关于应用
12、关于应用MathStudioMathStudio按大衍求一术求解按大衍求一术求解“物不知数物不知数”等等题，以后继续探讨。题，以后继续探讨。1.秋季。在北半球，台风多出现在夏、秋季节；此时亚洲高压已经出现，故此时应为秋季。2.天气晴朗。此时我国京津地区位于冷锋锋前，受单一暖气团控制且等压线稀疏。3.秋冬季节，亚欧大陆北部降温快，降温幅度大，气温下降引起气流收缩下沉，形成冷高压。4.此处为河谷地带，来自印度洋的暖湿气流沿河谷深入，导致此地气温较东西两侧高。5.该日此地为阴雨天气，夜间大气逆辐射强，气温较高，未出现霜冻。6.冷锋。冷锋符号画线在雨带南侧，由北向南移动，画图略。7.土地利用以绿地为主，绿地面积呈增加趋势；建筑面积增加最多，水域、其他用地、滩涂持续减少。8.布局在郊区，地价便宜；远离市区，能有效减小对市区的污染；临海分布，便于运进原料和输出产品。9.结合上题，主要从政策扶持，发展有机农业；提高农业技术，科学施肥；因主要从我国人多地少，农业生产压力大以及耕地资源的特点等方面分析加强农产品质量监管等方面分析.
