1、第03讲 整式及其因式分解1代数式及求值 (1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式单独的一个数或一个字母也是代数式；(2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程；(3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值2整式及有关概念 (1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数单独的数、字母也是单项式；(2)多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一个多项式中的
2、每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项_；(3)整式：单项式和多项式统称为整式；(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项4整式的运算 (1)整式的加减整式加减的实质是合并同类项把多项式中同类项的系数相加，合并为一项，叫做合并同类项，其法则是：几个同类项相加，把它们的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的_指数_不变(2)整式的乘法单项式单项式：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式；单项式多项式：m(ab)mamb；多项式多项式：(ab)(cd)acadbcb
3、d；乘法公式平方差公式：(ab)(ab)_a2b2_；完全平方公式：(ab)2a22abb2(3)整式的除法单项式单项式：将系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；多项式单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加5因式分解 (1)定义：把一个多项式化成几个_整式乘积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法互为逆变形(2)因式分解的方法提取公因式法：mambmcm(abc)公因式的确定：(3)因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为
4、三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；注意因式分解中的范围：如在有理数范围内分析解因式时x44(x22)(x22)在实数范围内分解因式时x44(x22)(x)(x)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内分解因式考点1： 整式的运算【例题1】（2019湖北武汉8分）计算：（2x2）3x2x4【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可【解答】解：（2x2）3x2x48x6x67x6归纳：整式的运算中需注意以下几点： (1)幂的乘方转化为指数乘法运算即(a
5、2)3a23. (2)同底数幂的乘法转化为指数的加法运算即a2a3a23. (3)在算积的乘方时，若底数中含有数字，要记住对数字也要进行乘方 (4)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形：a2b2(ab)22ab； a2b2(ab)22ab； (ab)2(ab)24ab； (ab)2(ab)24ab.考点2： 因式分解【例题2】把4a2添上1项或2项，使它能够进行因式分解(1)写出3个且要用三种不同的分解方法；(2)若要求能进行2步或2步以上分解，如何添加？请写出一个即可【解答】解：(1)答案不唯一，例如：4a22a2a(2a1)；4a24a1(2a1)2；4a21(2a1)(2a1)
6、(2)答案不唯一，例如：4a24b24(a2b2)4(ab)(ab)；4a2a4a2(4a2)a2(2a)(2a)；4a28ab4b24(a22abb2)4(ab)2.归纳：公式法分解因式需注意以下几点： (1)公式中的“a”和“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项； (2)灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止考点3： 整式的综合运用【例题3】)嘉淇准备完成题目：化简：(x26x8)(6x5x22)发现系数“”印刷不清楚(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x26x8)(6x5x22)；(2)
7、他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数”通过计算说明原题中“”是几？【解析】：(1)(3x26x8)(6x5x22)3x26x86x5x222x26.(2)设“”是a，则原式(ax26x8)(6x5x22)ax26x86x5x22(a5)x26.标准答案的结果是常数，a50.解得a5.归纳：整式的化简是指通过去括号、合并同类项等将代数式化为最简形式一、选择题：1. （2019湖南株洲3分）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（）A2x5B3x3y2Cx2y3Dy5【答案】C【解答】解：A.2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；B.3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错
8、误；C.x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确；D.y5与3x2y3是同类项，故本选项错误；故选：C2. （ 四川乐山，4，3分）下列等式一定成立的是( )A2m+3n=5mnB(m3)2=m6Cm2m3=m6D(m-n)2=m2-n2【答案】B【解答】解：选项A中的两项不是同类项，不能合并；选项B是幂的乘方运，根据法则可知是正确的；选项C m2m3=m5，错误；选项D，(m-n)2=m2-2mn+n2，错误，故选择B3. （2019湖南株洲3分）下列各选项中因式分解正确的是（）Ax21（x1）2Ba32a2+aa2（a2）C2y2+4y2y（y+2）Dm2n2mn+nn（m1）2【答案】
9、D【解答】解：A.x21（x+1）（x1），故此选项错误；B.a32a2+aa2（a1），故此选项错误；C.2y2+4y2y（y2），故此选项错误；D.m2n2mn+nn（m1）2，正确故选：D4. （2018宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（ab）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2当ADAB=2时，S2S1的值为（）A2a B2b C2a2b D2b【答案】B【解答】S1=（ABa）a+（CDb）（ADa）=（ABa）a+（ABb
10、）（ADa），S2=AB（ADa）+（ab）（ABa），S2S1=AB（ADa）+（ab）（ABa）（ABa）a（ABb）（ADa）=（ADa）（ABAB+b）+（ABa）（aba）=bADabbAB+ab=b（ADAB）=2b故选：B5. （2018绍兴）下面是一位同学做的四道题：（a+b）2=a2+b2，（2a2）2=4a4，a5a3=a2，a3a4=a12其中做对的一道题的序号是（）ABCD【答案】C【解答】（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；（2a2）2=4a4，故此选项错误；a5a3=a2，正确；a3a4=a7，故此选项错误故选：C二、填空题：6. （2019湖南怀化4分
11、）当a1，b3时，代数式2ab的值等于 【答案】-5【解答】解：当a1，b3时，2ab2（1）35，故答案为：57. （2018湖北荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是5【答案】5【解析】：第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是5，第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数），第2018次输出的结果是5故答案为：58. （2019湖北十堰3分）对于实数a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m3）24，则m 【答
12、案】3或4【解答】解：根据题意得（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224，（2m1）2490，（2m1+7）（2m17）0，2m1+70或2m170，所以m13，m24故答案为3或49. 2019河北4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数示例：即4+37则（1）用含x的式子表示m ；（2）当y2时，n的值为 【答案】1【解答】解：（1）根据约定的方法可得：mx+2x3x；故答案为：3x；（2）根据约定的方法即可求出nx+2x+2x+3m+ny当y2时，5x+32解得x1n2x+32+31故答案为：1三、解答题：10. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用
13、手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：(1)求所捂的二次三项式；(2)若x1，求所捂二次三项式的值解：(1)设所捂的二次三项式为A，根据题意，得Ax25x13xx22x1.(2)当x1时，A(x1)2()26.11. （2018邵阳）先化简，再求值：（a2b）（a+2b）（a2b）2+8b2，其中a=2，b=【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值【解答】：原式=a24b2a2+4ab4b2+8b2=4ab，当a=2，b=时，原式=412. 在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接
14、说出你运算的最后结果”(1)若小明同学心里想的是数5，请帮他计算出最后结果；(2)老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a(a0)，请你帮小明完成这个验证过程解：(1)第一步：(51)2(51)220；第二步：2025500；第三步：5005100.小明计算出最后结果为100.(2)(a1)2(a1)225a(a1a1)(a1a1)25a4a25a100，结论成立13. 如图，已知大正方形的边长为abc，利用图形的面积关系可得：(abc)2a2b2c22ab2bc2ac.当大正方形的边长为abcd
15、时，利用图形的面积关系可得：(abcd)2a2b2c2d22ab2ac2ad2bc2bd2cd.一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍根据以上结论解决下列问题：(1)若abc6，a2b2c214，则abbcac11；(2)从4，2，1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值解：421351，两边平方后得(42135)2(4)2(2)2(1)232522m552m1.m(155)254227.14. 如图，已知大正方形的边长为abc，利用图形的面积关系可得：(abc)2a2b2c22ab2bc2ac.当大正方形的边长为abcd时，利用图形的面积关系可得：(abcd)2a2b2c2d22ab2ac2ad2bc2bd2cd.一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍根据以上结论解决下列问题：(1)若abc6，a2b2c214，则abbcac11；(2)从4，2，1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值解：421351，两边平方后得(42135)2(4)2(2)2(1)232522m552m1.m(155)254227.9
