1、4.3.14.3.1 齐次线性方程组解的结构4.34.3线性方程组解的结构线性方程组解的结构设n元齐次线性方程组0AX（4.3.1）其中A=(aij)mn为系数矩阵,X=(x1,x2,xn)T.对于齐次线性方程组AX=0,如果R(A)n,它有无穷多个非零解,这些解之间有什么关系？这些解如何表示出来？下面讨论这些问题.首先,我们介绍齐次线性方程组的解的性质.，证 设X1,X2为齐次线性方程组AX=0的两个解向量,则有AX1=0,AX2=0,于是 A(X1+X2)=AX1+AX2=0，即X1+X2为方程组AX=0的解向量.性质1 齐次线性方程组的两个解向量的和仍为它的解向量.，证 设X1为齐次线性
2、方程组 AX=0的一个解向量,k为任一常数,则 A(kX1)=kAX1=k 0=0,即kX1为AX=0的解向量.性质2 齐次线性方程组AX=0的一个解向量乘以常数k仍为它的解向量.由性质1和性质2可知,齐次线性方程组解向量的任意线性组合仍为其解向量.由此可知,n元齐次线性方程组解向量的集合为一向量空间,称为它的解空间,它是n维向量空间的一个子空间.，定义4.3.1 设a1,a2,ak是齐次线性方程组(4.3.1)的一组解向量,并且 （1）a1,a2,ak 线性无关；（2）方程组(4.3.1)的任意一个解向量均可由a1,a2,ak线性表出.则称a1,a2,ak是齐次方程组(4.3.1)的一个基础
3、解系.，由定义可知,基础解系是齐次线性方程组 AX=0 解向量集的极大线性无关组,是它的解空间的一组基.因为一个向量组的极大线性无关组不唯一,同一向量组的不同极大线性无关组所含向量个数相同,所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系不唯一,但所含向量个数是唯一确定的.定理4.3.1 如果齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩R(A)=rn,则方程组有基础解系,并且任一基础解系中含有n-r个解向量.，证 因为R(A)=rn,所以A中至少有一个r阶子式不为零,不妨设A中位于左上角的r阶子式不为零,按照与推导定理4.2.1同样的方法,方程组有无穷多解,并且.,1111,211,22111,11nnrr
4、nrnrrrrnnrrnnrrxxxxxcxcxxcxcxxcxcx，其中xr+1,xr+2,xn为自由未知量.写成解的向量形式,有nrnnnrrrrrrrrrrnrrrxcccxcccxcccxxxxxx1000100012122,2,22,111,1,21,12121（4.3.2），逐次取自由未知量(xr+1,xr+2,xn)为(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)则得100,010,001212,2,22,121,1,21,11rnnnrnrrrrrrrrccccccccc此即为方程组的n-r个解向量.，下面证明a1,a2,an-r是方程组的一个基础解系.首先它可以看
5、成是在n-r个n-r维基本单位向量(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)中的每个向量上添加r个分量而得到的,所以a1,a2,an-r线性无关.其次,设a=(k1,k2,kn)是方程组的任意一个解向量,将解的表达式写成向量形式,有即nrnnnrrrrrrrrrrnrrrkccckccckccckkkkkk1000100012122,2,22,111,1,21,12121rnnrrkkk2211，这意味着方程组的任意解向量 a 均可由a1,a2,an-r线性表出.于是我们证明了,当R(A)=rn 时,方程组(4.3.1)存在基础解系,它的基础解系中含有n-r个解向量.证毕.由定理4.3.1
6、,若n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩R(A)=rn,则它的解空间M=X|AX=0是n-r维向量空间,即dim M=n-r,它的任意n-r个线性无关的解向量都是它的基,因此,它的任意n-r个线性无关的解向量都是它的基础解系.由此可知,如果齐次线性方程组AX=0的基础解系为，那么AX=0的通解（或全部解）为rn,21rnrnkkk2211其中k1,k2,kn-r为任意常数.若齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩R(A)=n,则它的解空间M=0,这时,dim M=0,因为空间0没有基,故AX=0没有基础解系.，例例4.3.1的一个基础解系,并写出解的结构.0793,083,032,054
7、321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx求齐次线性方程组 解 对系数矩阵A作行初等行变换,化为最简阶梯形.，115111511123027431810274139704148A000000002271012301000000004721511原方程组的同解方程组为 .0227,023432431xxxxxx，因R(A)=2,方程组有基础解系,其中含有n-R(A)=4-2=2个线性无关的解向量.取x3,x4为自由未知量,分别令,得10,0143xx方程组的一个基础解系1021,01272321故原方程组的通解为X=k1a1+k2a2,其中k1,k2为任意常数.，从而B的列向
8、量B1,B2,Bk均为齐次线性方程组AX=0的解向量.，例4.3.2 设A为mn矩阵,B为nk矩阵.若AB=0,证明 R(A)+R(B)n.证证 设B=(B1,B2,Bk)由AB=0,则0 0kkABABABBBBAAB,2121即0 00 00 0kABABAB,21 若R(A)=rn,则方程组AX=0有基础解系a1,a2,an-r,于是B1,B2,Bk都可由a1,a2,an-r线性表出,由定理3.3.2.,2121rnkRBBBR即 ,ARnrnBR所以 nBRAR 若R(A)=n,则AX=0只有零解,此时B1=Bk=0,即B=0,从而R(B)=0,结论依然成立.，例4.3.3 设A是 m
9、n 阶实矩阵,证明:R(ATA)=R(A).证.作齐次线性方程组 AX=0 或 ATAX=0 其中X=(x1,x2,xn)T.显然,AX=0的解必定是ATAX=0的解.反之,若X0是ATAX=0的解,则00AXAT从而 000AXAXTT，由于a1,a2,am都是实数，所以 设 AX0=(a1,a2,am)T,由上式 即 0)()(00AXAXT022221maaa021maaa即 00AX因此 X0 也是 AX=0 的解.于是AX=0与ATAX=0同解,由于同解线性方程组的基础解系中含有相同个数的解向量,所以 由上面的两个例子可以看出,把矩阵的求秩问题转化成线性方程组来讨论是十分方便的.)(
10、)(AARART4.3.24.3.2非齐次线性方程组解的结构 设n元非齐次线性方程组 其中A=(aij)mn为系数矩阵,X=(x1,x2,xn)T,b=(b1,b2,bn)T.在(4.3.3)中,令b=0,得到的齐次方程组AX=0称为方程组(4.3.3)的导出组,或称为方程组(4.3.3)的对应齐次线性方程组.bAX（4.3.3），我们先介绍非齐次线性方程组解的一些性质：性质1 设X1,X2是非齐次线性方程组AX=b的任意两个解向量，则X1-X2是其导出组AX=0的解向量.事实上,0)(2121bbAXAXXXA 性质2 非齐次线性方程组AX=b的某一个解向量X0与其导出组的任意一个解向量a之
11、和仍为AX=b的解向量.事实上，bbAAXXA0)(00，定理4.3.2 设非齐次线性方程组AX=b量,a1,a2,an-r是它的导出组AX=0的一个基础解系,则方程组AX=b的通解可表为 其中k1,k2,kn-r为任意常数.关于非齐次线性方程组解的结构,我们有如下定理满足 nrARAR)()(,X0是它的一个解向 rnrnkkkXX22110 证 设X1是方程组AX=b的任意一个解向量,由非齐次线性方程组的解向量的性质1,X1-X0是其导出组AX=0的解向量,于是它可由其基础解系a1,a2,an-r线性表出,即从而有rnrnkkkXX221101rnrnkkkXX221101证毕.定理4.3
12、.2表明,当 时,例4.3.4 4.3.4 求非齐次线性方程组 的通解.非齐次线性方程组AX=b通解(也称为全部解或一般解)可以表示为它的某个已知解向量(特解)加上它的导出组AX=0的通解.nrARAR)()(.21111784,72463,73542432143214321xxxxxxxxxxxx解 (1)先求方程组的一个特解.对增广矩阵做初等行变换211117847246373542A757002725270073542000001751007354200000175100274042，00000175100172021()()24R AR A,故方程组有无穷多个解，它的同解方程组为.17
13、5,172243421xxxxx 取x2,x4为自由未知量,令x2=x4=0,得方程组的一个特解TX)0,1,0,1(0(2)再求它的导出组的通解.方程组的导出组的同解方程组为 .075,072243421xxxxx同样取x2,x4为自由未知量.令x2=1,x4=0,得解 T)0,0,1,2(1令x2=0,x4=1,得解 T)1,75,0,72(2，则a1,a2为导出组的一个基础解系.于是导出组的通解为 (3)由非齐次线性方程组解的结构，得方程组的通解为 其中k1,k2为任意常数.其中k1,k2为任意常数.22110kkXX2211kk，(1)求其导出组AX=0的通解；解 (1)由题设条件,A
14、X=0为三元齐次线性方程组,且1R(A)3,由非齐次线性方程组解的性质1,a1=X2-X1=(0,1,0)T,a2=X3-X2=(0,0,1)T为 AX=0的解向量,由于a1,a2线性无关及A0,所以R(A)=1,于是a1,a2为AX=0的基础解系.故AX=0的通解为 例4.3.5 4.3.5 设X1=(1,0,0)T,X2=(1,1,0)T,X3=(1,1,1)T为非齐次线性方程组AX=b的三个解向量,且A0.(2)求AX=b的通解.，(2)由非齐次线性方程组解的结构,知方程组AX=b的通解为 其中k1,k2为任意常数.2211kk22111kkXX其中k1,k2为任意常数.，试讨论a,b为
15、何值时,（2）可由1,2,3唯一地表示,并求出表示式;例4.3.6 4.3.6 已知向量 （1）不能用1,2,3线性表示;,)0,2,1(,)3,3,1(1TTTTbabaa)2,2,1(,)3,2,1(32 （3）可由1,2,3表示,但表示式不惟一,并求出表示式.，对上述线性方程组的增广矩阵做初等行变换,有 解 作线性方程组332211xxx323032221111baabaA3230101111baaba000101111baba，（1）当a=0,b=0时,因此,当a=0,b为任意值时,方程组无解,即不能用1,2,3线性表示.,方程组无解;当a=0,b0时,R(A)=2,2)(,1)(AR
16、AR)(AR=3,方程组也无解.（2）当a0且ab时000101111baba0100101111baA，这时方程组有唯一解:，01001001011a0100101011001aa0,1,11321xaxax从而有唯一表示式：211)11(aa，（3）当a=b0时,方程组有无穷多个解，这时 于是得原方程组的同解方程组A2)()(ARAR0000101111aa000011101111a0000111011001aa，其中k为任意常数.取x3为自由未知量,令x3=k,得方程组的一，.1,11321axxax表示式:321)1()11(kakakxakxax321,1,11个解:.从而有如，试证
17、这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0.例4.3.7 已知平面上三条不同直线的方程分别为.032 :,032 :,032 :321baycxlacybxlcbyaxl，证明 必要性 设三直线交于一点,，有唯一解,故系数矩阵则方程组baycxacybxcbyax323232accbbaA222，的秩均为2,于是 与增广矩阵bacacbcbaA323232,而0AbacacbcbaA3232322226()abcabcabacbc2223()()()().abcabbcca0)()()(222accbba因,故a+b+c=0.充分性 由 a+b+c=0,则 ,所以 0A.3)(AR由于 )(2222baccbba)(2bbaa故于是 因此方程组有唯一解,即三直线交于一点.043)21(222bba2)()(ARARR(A)=2.
