1、第一课导数及其应用核心速填1导数的概念(1)定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 ，称为函数yf(x)在xx0处的导数(2)几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线斜率2几个常用函数的导数(1)若yf(x)c，则f(x)0.(2)若yf(x)x，则f(x)1.(3)若yf(x)x2，则f(x)2x.(4)若yf(x)，则f(x).(5)若yf(x)，则f(x).3基本初等函数的导数公式(1)若f(x)c(c为常数)，则f(x)0.(2)若f(x)x(Q*)，则f(x)x1.(3)若f(x)sin x，则f(x)cos_x.(4)若f(x)cos x
2、 ，则f(x)sin_x.(5)若f(x)ax，则f(x)axln_a.(6)若f(x)ex，则f(x)ex.(7)若f(x)logax，则f(x).(8)若f(x)ln x，则f(x).4导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3).5复合函数的求导法则(1)复合函数记法：yf(g(x)(2)中间变量代换：yf(u)，ug(x)(3)逐层求导法则：yxyuux.6函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在
3、这个区间内单调递减(2)函数的极值与导数极大值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时，f(x)0，当xa时，f(x)0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；极小值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时，f(x)0，当xa时，f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值7求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值8微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)
4、dxF(b)F(a)题型探究类型一、导数的几何意义例1、已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程. 【答案】(1)f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)x
5、x016.整理得，x8，x02.y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)法二：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，则k，又kf(x0)3x1，3x1.解得，x02，y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线y3垂直，切线的斜率k4.设切点坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，x01.或即切点为(1，14)或(1，18)切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.规律方法1.导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意
6、一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点.2.围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则kf(x0)，y0f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到.跟踪训练1直线ykxb与曲线yx3ax1相切于点(2,3)，则b_.【答案】15解析yx3ax1过点(2,3)，a3，y3x23，ky|x23439，bykx39215.类型二、函数的单调性与导数例2、(1)f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab
7、，则必有() Aaf(b)bf(a)Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b)Dbf(b)af(a)(2)设f(x)aln x，其中a为常数，讨论函数f(x)的单调性【答案】(1)A令F(x)，则F(x).又当x0时，xf(x)f(x)0，F(x)0，F(x)在(0，)上单调递减又ab，F(a)F(b)，bf(a)af(b)，故选A.(2)函数f(x)的定义域为(0，)f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a时，0，g(x)0，f(
8、x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2，由x10，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，函数f(x)在，上单调递减，在上单调递增规律方法利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f(x)与其导数f(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解.求解参数范
9、围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f(x)；(2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f(x)0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值.跟踪训练2若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数a的取值范围【答案】函数f(x)的导数f(x)x2axa1.令f(x)0，解得x1或xa1.当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)上为增函数，不合题
10、意当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)上为减函数，在(a1，)上为增函数依题意当x(1,4)时，f(x)0，当x(6，)时，f(x)0.故4a16，即5a7.因此a的取值范围是5,7类型三、函数的极值、最值与导数例3、已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值【答案】(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33
11、x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0，所以f(x)maxf(0)2.母题探究：(变结论)在本例条件不变的情况下，若关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实
12、数c的取值范围【答案】令g(x)f(x)cx33x22c，则g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上，g(x)0；在x(2,3上，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，则解得2c0.规律方法(1)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.跟踪训练3已知a，b为常数且a0，f(x)x3(1a)x23axb.(1)函数f(x)的极大值为2，求a，b间的关系式；(
13、2)函数f(x)的极大值为2，且在区间0,3上的最小值为，求a，b的值. 【答案】(1)f(x)3x23(1a)x3a3(xa)(x1)，令f(x)0，解得x11，x2a，因为a0，所以x1x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以当x1时，f(x)有极大值2，即3a2b3.(2)当0a3时，由(1)知，f(x)在0，a)上为减函数，在(a,3上为增函数，所以f(a)为最小值，f(a)a3a2b.即a3a2b.又由b，于是有a33a23a260，即(a1)327，所以a2，b.当a3时，由(1)知f(x)在0,3上
14、为减函数，即f(3)为最小值，f(3)，从而求得a，不合题意，舍去综上，a2，b.类型四、生活中的优化例4、某企业拟建造如图11所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元设该容器的总建造费用为y千元图11(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用【答案】由题意可知r2l，l.又圆柱的侧面积为2rl，两端两个半球的表面积之和为4r2.所以y34r24
15、8r2.又l0r2，所以定义域为(0,2)(2)因为y16r，所以令y0，得2r2；令y0，得0r2.所以当r2米时，该容器的建造费用最小，为96千元，此时l米规律方法解决优化问题的步骤(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域.(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.跟踪训练4现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃
16、料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？【答案】(1)依题意得y(9600.6x2)300x，函数的定义域为(0,35，即y300x(0x35)(2)由(1)知y300x(0x35)，所以y300.令y0，解得x40或x40(舍去)因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值又当0x35时，y0，所以y300x在(0,35上单调递减，故当x35时，函数y300x取得最小值故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/小时的速度行驶.类型五、
17、函数方程思想例5、设函数f(x)x36x5，xR.(1)求f(x)的极值点；(2)若关于x的方程f(x)a有3个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)f(x)3(x22)，令f(x)0，得x1，x2.当x(，)(，)时，f(x)0，当x(，) 时，f(x)0，因此x1，x2分别为f(x)的极大值点、极小值点(2)由(1)的分析可知yf(x)图象的大致形状及走向如图所示要使直线ya与yf(x)的图象有3个不同交点需54f()af()54.则方程f(x)a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为(54，54)(3)法一
18、：f(x)k(x1)，即(x1)(x2x5)k(x1)，因为x1，所以kx2x5在(1，)上恒成立，令g(x)x2x5，由二次函数的性质得g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)g(1)3，所以所求k的取值范围是为(，3法二：直线yk(x1)过定点(1,0)且f(1)0，曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f(1)3，由(2)中草图知要使x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立需k3.故实数k的取值范围为(，3规律方法讨论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用.问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(
19、最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解.跟踪训练5已知函数f(x)ex，aR，试讨论函数f(x)的零点个数【答案】函数f(x)的定义域为x|xa(1)当xa时，ex0，xa0，f(x)0，即f(x)在(a，)上无零点(2)当xa时，f(x)，令g(x)ex(xa)1，则g(x)ex(xa1)由g(x)0得xa1.当xa1时，g(x)0；当xa1时，g(x)0，g(x)在(，a1)上单调递减，在(a1，)上单调递增，g(x)ming(a1)1ea1.当a1时，g(a1)0，xa1是f(x)的唯一零点；当a1时，g(a1)1ea10，f(x)没有零点；当a1时，g(a1)1ea10，f(x)有两个零点10
