1、第第十十章章 二叉树定价模型二叉树定价模型11本章导读对期权进行定价，一种有用并且很流行的方法是构造二叉树（binomial tree）。这里的二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形。这种方法假设股票价格服从随机游动（random walk）。在树形上的每一步，股票价格以某种概率向上移动一定的比率，同时以某种概率会向下移动一定的比率。在步长足够小的极限状态下，这种模型与布莱克-斯科尔斯-默顿模型是一致的。模型将考察的存续期分为若干阶段，根据标的资产的历史波动率模拟出其在整个存续期内所有可能的发展路径，并从每一路径最后节点的期权价格往回推导计算各节点的期权价格，直到求出期权
2、现价。本章解释了用来对期权定价的无套利假设的特点，介绍了常用于美式期权和其他衍生产品定价所用的二叉数值方法，并且引进了风险中性定价原理。2知识结构图3二叉树定价模型单步二叉树定价模型期权价格与涨跌概率无关状态价格与风险中性定价原理状态价格定价技术风险中性定价状态价格与风险中性的内在联系风险中性世界与现实世界的定价多步二叉树定价模型Delta对冲二叉树定价模型的拓展欧式期权美式期权确定参数u与d鞅二叉树的Matlab实现三叉树定价跳跃过程的对冲第一节 单步二叉树定价模型【例101】假定某标的股票当前价格是1元，一个月后股价有两种可能：上涨到2元，或者下跌到0.5元。如图101所示。如果无风险利率
3、为每年6%，则在当前时刻，购买一张一个月到期、执行价格为1元的该股票看涨期权，期权价格应该为多少?图101 引例455首先构造股票和期权的证券组合，使得无论股票价格是上涨还是下跌，证券组合的价值都保持不变，设由一份期权c和份股票S构成的证券组合是无风险的，满足：cu+Su=cd+Sd其中，下标u和d分别表示股票上涨和下跌状态。代入数值，上式变为:1+2=0+0.5可得=-2/3。因此构造资产组合 ，即买入2份股票，卖出3份看涨期权，有 即资产组合的到期价值是确定的1元。由于该组合是无风险组合，由无套利均衡定价原理：于是，当前时刻期权的价格为c0=0.335元。第一节 单步二叉树定价模型6第一节
4、 单步二叉树定价模型假设假设:(1)标的资产可以细分成不同的份额来买卖;(2)借贷利率相同;(3)标的资产的买价和卖价一样;(4)标的资产在下一时段的价格只有两种可能。图102 单步二叉树7先构造待定比例的对冲组合，即要求由份标的资产的空头和1份期权多头组成无风险资产组合=c-S在期末的价值是确定的。即在两种状态下，组合的价值相等:T=u=cu-Su=d=cd-Sd (10.1)解得:=(cu-cd)/(Su-Sd)(10.2)因为资产组合在期末的价值是确定的，因此根据无套利原理，组合的期初价值应该为期末价值的无风险利率的贴现:0=c-S0=（cu-Su）e-rT (10.3)将式(10.2)
5、代入式(10.3)，解得:c=(cu(1-de-rT)+cd(ue-rT)-1)/(u-d)(10.4)或c=e-rT pcu+(1-p)cd (10.5)其中：p=(erT-d)/(u-d)(10.6)第一节 单步二叉树定价模型第二节 股票价格涨跌概率不影响期权的定价8在例101和例102的单步二叉树模型中，并没有涉及标的资产价格上涨和下跌的概率。难道标的资产价格上涨和下跌的概率对期权的价格没有影响吗?进一步，期权价格是未来期望回报的贴现值吗?比如：当标的资产价格上涨和下跌的概率分别为（50%，50%）以及（90%，10%），期权的价格还是一样的吗？答案是肯定的，期权的价格仍然是一样的。思考
6、：思考：第二节 股票价格涨跌概率不影响期权的定价9期权是零和博弈，当市场上有足够多的期权参与者，让期权价格等于平均回报貌似是合理的，然而这与求出的期权的价格0.33元并不相等。进一步，如果期权的价格是0.5元，那么在现在时刻构造零成本投资组合:卖出两份期权得1元，立即买入一份股票。到期时，若股票涨为2元，则股票盈利和期权亏损刚好抵消，组合价值仍然为0;若股票价格跌为0.5元，则期权价值为0，组合价值带来了0.5元的盈利。相当于市场免费提供了一份看跌期权，存在套利。再说，若股价上涨和下跌的概率都为50%，则股票未来的平均价格为(2+0.5)/2=1.25元，按照无风险利率贴现的现值为1.25元，
7、也不等于股票现价1元。若未来股价上涨和下跌的概率为（90%，10%），则股票未来的平均价格按照无风险利率的贴现值依然不等于现价1元。鉴于上述原因，我们在10.1中的期权定价过程中，回避了股票上涨和下跌的概率以及对应的贴现率，直接根据无套利原理按照标的资产的价格来给期权进行定价。我们并不是在一个绝对条件下对期权进行定价，而是根据标的资产价格来计算期权的价格，如果市场是有效的，那么标的资产当前的价格反映了未来上涨和下跌的概率以及风险回报率，这些通过无套利原理反映到期权的定价过程中。因此在期权定价中，不用再考虑标的资产价格上涨和下跌的实际概率。第三节 状态价格与风险中性定价原理10以当前t=0时刻的
8、1元现金为例，到t=T时刻的价值，不仅和时间有关，而且和所处的状态有关。通俗地讲，对于前者，如果做无风险投资可获取r元的利息；对于后者，在未来经济繁荣状态和经济衰退状态下，未来面值1元现金在当前的价值是不一样的。通常用状态价格来表示在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0的资产在当前的价格。如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格状态价格定价技术定价技术。A是有风险证券，其目前的价格是PA，一年后其价格要么上升到uPA，要么下降到dPA 基本证券1在证券市场上升时价值为1，下跌时价值为0
9、；基本证券2恰好相反，在市场上升时价值为0，在下跌时价值为1。基本证券1现在的市场价格是u，基本证券2的价格是d。图10-4 两种状态下的基本证券第三节 状态价格与风险中性定价原理11购买uPA 份基本证券1和dPA 份基本证券2组成一个假想的证券组合。该组合在T时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券A一样的现金流。所以有：PA=uuPA+ddPA 或1=uu+dd由单位基本证券组成的组合u+d在T时刻无论出现什么状态，其回报都是1元。这是无风险的投资组合，其收益率应该是无风险收益率r，有：u+d=e-rT 解得：u=(1-de-rT)/(u-d)d=(ue-rT-1)/(u-d)决定基本证券
10、价格的有三个因素无风险利率无风险利率r r，价格上升的速度价格上升的速度u u与下降的速度下降的速度d d。只要有具备上述性质的一对基本证券存在，我们就能够通过复制技术，为金融市场上的任何有价证券定价。第三节 状态价格与风险中性定价原理12第三节 状态价格与风险中性定价原理13方法二：方法二：用现实中的证券A和无风险证券来复制证券B解：用份证券A和当前市场价值为L的无风险证券构成市场价值为I的组合，其成本是：I=100+L。一年后，该组合无论市场价格上升还是下降，都必须与证券B的价格相同。于是有：Iu=107+Le0.02=103Id=98+Le0.02=98.5解得：=0.5L=48.52于
11、是证券B现在的市场价值是：I=100+L=1000.5+48.52=98.52两种方法求得的证券B价格是一致的。状态价格定价技术同样也可用于对衍生证券的定价。第三节 状态价格与风险中性定价原理14【例104】仍然讨论例101。在当前t=0时刻，股价为1元，一个月后股价有两种可能:以1/2的概率上涨到2元，或者以1/2的概率下跌到0.5元，不妨假定利率r=0。如何确定该股票的1个月到期的欧式平价看涨期权的价格?解：欧式平价看涨期权在到期日如果股价上涨，其收益为1，如果股价下跌，收益为0。用份该股票和当前市场价值为L的无风险证券构成市场价值为I的组合，其成本是：I=1+L。到T时，该组合无论市场价
12、格上升还是下降，都与看涨期权的价格相同。于是有：Iu=2+Le0/12=1Id=0.5+Le0/12=0 解得：=2/3 L=-1/3于是看涨期权现在的市场价值是：I=1+L=1/315第三节 状态价格与风险中性定价原理16第三节 状态价格与风险中性定价原理风险中性定价风险中性定价(risk-neutral valuation)是衍生产品定价中十分重要而且非常简捷的方法。我们可以假设投资者是风险中性风险中性(risk-neutral)的，这个假设是指面临投资风险时，投资者不需要额外的风险补偿，也就是说消除了风险溢价。所有投资者都是风险中性的世界叫作风险中性世界风险中性世界(risk-neutr
13、al world)。当然，我们现实世界不是风险中性的，投资人承受的风险越大要求的收益就越高。但是，神奇的是，我们在风险中性世界给出的衍生产品的价格，不仅在风险中性世界是正确的，在现实世界也是正确的。这让我们避开了投资者对风险的厌恶程度这一无法明晰的主观因素，大大简化了定价过程。17风险中性世界的特征可以简化衍生产品的定价：风险中性世界的特征可以简化衍生产品的定价：1、标的资产（如股票）的收益率期望等于无风险利率；2、用于对衍生产品（如期权）的收益期望值贴现的利率等于无风险利率。第三节 状态价格与风险中性定价原理风险中性定价具体过程风险中性定价具体过程如下如下：设q为风险中性世界股票S上涨的概率
14、，1-q为股票下跌的概率。由（由（1 1）有：）有：qS0u+(1-q)S0d=S0erT得到：q=(erT-d)(u-d)(10.7)这就是风险中性概率。由（由（2 2）有：有：衍生产品f的当前价格为：f=qfu+(1-q)fde-rT18 状态价格定价技术与风险中性定价有着内在联系，它们在本质上是一致的。将未来分为上涨和下跌两种状态时，注意到上涨和下跌是互斥事件，它们的状态价格之和为1，因此可以将上涨和下跌情形下的状态价格定义为一种概率，此即是风险中性概率，因为消除了不同状态（风险）的影响，对应为无风险，贴现率为无风险利率。换句话说，因为市场是完全且无套利的，所以在这个过程中，无风险的投资
15、组合的收益率为无风险收益率。因此，则在新定义的风险中性概率下，证券价格等于未来期望回报的无风险利率贴现。第三节 状态价格与风险中性定价原理19第三节 状态价格与风险中性定价原理以【例103】为例，可以验算当前t=0时刻的股价1元，刚好等于上涨行情下的回报2元乘以状态价格（视为上涨的风险中性概率）1/3，加上下跌行情下的回报0.5元乘以状态价格（视为下跌的风险中性概率）2/3，再按无风险利率r=0进行贴现。即：股票价格=(21/3+0.52/3)/(1+0)=1；同样，对于期权，也有：期权价格=(11/3+02/3)/(1+0)=1/3，如图105所示。0.5;02;12/31/31;1/320
16、第三节 状态价格与风险中性定价原理对单步二叉树来说，记q=(erT-d)(u-d)1-q=(u-erT)(u-d)(10.5)当0derT，10.152，也就是说，若股价到达该点则看跌期权需要提前执行，最终计算得PA=0.08。美式平价看跌期权价格为0.08元，比相应的欧式看跌期权价格0.06元高。30第七节 参数u和d的选择31第八节 鞅32第八节 鞅 33第八节 鞅结论结论2 在风险中性世界里，欧式期权的贴现价格是鞅。在风险中性世界里，欧式期权的贴现价格是鞅。在风险中性世界里，不支付红利的股票的贴现价格是一个鞅，股票和货币的任意投资组合的贴现价格都是鞅。因此，如果一个衍生证券可以通过股票和
17、货币的组合来复制，则该衍生证券的贴现价格是鞅，利用鞅的性质立刻可以得到衍生证券的风险中性定价公式。例如，我们在10.4节利用股票和货币的组合复制了期权，式(10.20)表明了期权的贴现价格是鞅，其风险中性定价公式为式(10.4)。值得一提的是，美式期权与欧式期权不同，在风险中性世界中，美式期权的贴现价格不是鞅，而是上鞅。因为美式期权的持有人可能会错过最佳的执行时机，在此情形下，美式期权的贴现价格具有下降趋势。不支付红利的美式期权是鞅，因为提前实施是不明智的。34第九节 二叉树的MATLAB实现本节以市场上实际交易的期权，在Matlab软件中利用二叉树方法计算其价格，并与市场报价比较。【例105
18、】表101是2012年6月10日观察的2012年7月21日到期的美国SPDR S&P 500 ETF(SPY)期权数据，执行价格指数为133，美国纽约证券交易所(NYSE)显示的标的指数SPY为133.1，一年期LIBOR美元利率为1.070 20%，按折算因子换算成年无风险利率为1.070 20%*365/360=1.085 1%，标的指数的波动率采用VIX指数，为21.23%，S&P500过去12个月的红利率为2.06%，市场给出的看涨期权买卖价分别为3.27和3.21美元。表101SPY看涨看跌期权价格表35利用二叉树方法在Matlab中计算相应的期权价格，以及程序的耗时为:tic，ca
19、ll=LatticeEurCall(133.1，133，0.010851，1/12，0.2123，500，0.0206)，toc call=3.2441 Elapsed time is 0.032579 seconds.tic，put=LatticeEurPut(133.1，133，0.010851，1/12，0.2123，500，0.0206)，tocput=3.2522Elapsed time is 0.013202 seconds.tic，CallPrice，PutPrice=blsprice(133.1，133，0.010851，1/12，0.2123，0.0206)，tocCallP
20、rice=3.2442PutPrice=3.2523Elapsed time is 0.017565 seconds.第九节 二叉树的MATLAB实现36 从计算结果中可以发现:即使是多达500步的二叉树算法，在个人电脑上运行，耗时也非常短，只有千分之几秒;期权的二叉树定价结果和布莱克-斯科尔斯定价结果非常接近;欧式看涨期权二叉树价格和布莱克-斯科尔斯价格与市场报价吻合得较好，落在买卖价格之间。但是，以二叉树和布莱克-斯科尔斯公式计算的看跌期权价格，比市场报价要低很多。这是否违反了无套利原理呢？并没有。因为二叉树和布莱克-斯科尔斯定价最基本的假设是标的资产价格服从对数正态分布，其波动率为常数，
21、而现有的研究表明标的资产的实际价格并不服从对数正态分布，真实的尾部分布要厚得多，市场在下跌时的波动率也更大。一种普遍认可的理论解释是，看跌期权为市场提供了一种保险功能，所以投资者原意为此付出负的风险溢酬，参见第14章。另外，理论上看跌看涨平价公式保证看涨看跌期权的隐含波动率相等，然而实际的金融市场中存在杠杆效应:当资产价格上涨时，波动率减小;当资产价格下跌时，波动率增大。由于波动率对期权价格的影响为正，因此实际中看跌期权的价格比理论计算的价格要高。第九节 二叉树的MATLAB实现37第九节 二叉树的MATLAB实现美式期权美式期权2012年年6月月10日观察日观察,7月月10日周五失效日周五失
22、效类型类型执行价SymbolLastChgBidAskVolOpen IntCall605.00OEX120721C0060500014.402.04 14.1016.9079271Put605.00OEX120721P0060500014.901.7013.0015.701232【例106】表102列出了2012年6月10日观察到的2012年7月21日到期的OEX美式期权价格信息,标的指数为605.62,利用Matlab软件中的美式二叉树函数程序计算得:Amcall=LatticeAmCall(605.62,605,0.010851,1/12,0.2123,500,0.0206)Amcall
23、=14.8728Amput=LatticeAmPut(605.62,605,0.010851,1/12,0.2123,500,0.0206)Amput=14.7155可以看出,美式平价期权二叉树计算的价格和市场价格吻合得较好,即使是看跌期权。有兴趣的读者可以思考其中原因。表102OEX看涨看跌期权价格表38第九节 二叉树的MATLAB实现 自2015年2月9日起，我国上交所挂牌交易上证50ETF期权合约。上证50ETF期权的合约标的为“上证50交易型开放式指数证券投资基金”。这里运用二叉树程序计算的价格和上述市场报价非常接近，但并没有完全落在买卖报价之间，存在少量的误差。原因可能在于，这里使用
24、的波动率是上交所测算的期权隐含波动率，它是从很多当期期权价格提炼合成的，但对具体某一支期权而言，波动率存在误差，一种替代方法是运用历史波动率；其次，无风险利率运用的是当天的SHIBOR年利率3.712%，和真实市场中认可的无风险利率有误差；红利率运用的是最近一期的单位份额分红数据推算出来的，1.82%；当然，市场的流动性和成熟程度也对价格有一定的影响。读者有兴趣请自己动手计算一下模型价格和市场报价，便可明白这里面的差异。总量总量交易状交易状态态卖价卖价买价买价涨幅涨幅%购购沽沽涨幅涨幅%买价买价卖价卖价总量总量30962连续0.10520.1048-19.412.500048.080.0258
25、0.02606675875951连续0.06780.0675-23.892.550036.310.04440.044586984150217连续0.04330.0431-27.112.600031.810.06990.0702101067表10-3 期权T型报价行情 2018年8月1日星期三14：00左右的盘中价格。39 二叉树定价模型作为一种模拟的计算方法,可以拓展到更复杂的树图定价方法,常见的有三叉三叉树定价模型树定价模型，它可以避免对未来只有涨跌两种可能状态的批评，即添加一种中间值状态。本质上三叉树模型仍然是无套利均衡思想的运用，也符合风险中性定价原则。假定在树形的每个节点上价格变化为上
26、升、取中间值、下降三种情况。如图107和图108所示。正如单步双状态二叉树,未知的期权需要股票和债券两种资产来复制。三叉树有三种状态,需要三种资产来复制,除了标的股票和无风险债券外,通常还需要相同标的股票的另一份已知价格的期权。第十节 三叉树40 华尔街人士普遍认为,标的资产价格发生跳跃属于非系统性风险,它们是不可对冲的,只能通过分散投资来减少风险,不过学者通常不这么认为。至少,二叉树和三叉树可以看做是已知次数的跳跃过程,显然它们是可以对冲的。进一步,若跳跃的次数服从Poisson()过程,此时跳跃的次数是完全未知的。考克斯和罗斯证明了若跳跃的幅度已知,这种跳跃仍然可实现对冲。背后的直觉和二叉
27、树模型在每一个交易区间股票价格只有两种可能的情形一样,衍生证券在下一个交易区间的价值关于股价是局部线性的,运用线性定价法则和无套利原理,这类跳跃过程可以实现对冲。正如股票实际上涨和下跌的概率与二叉树模型无关,可以证明股票价格发生跳跃的实际时间间隔和二叉树模型也是无关的。从数学上讲,若跳跃幅度已知,跳跃次数N Poisson(),可以证明补偿泊松过程M=N-t是一个鞅。其实,跳跃的幅度是可以随时间变化的,而且通常可以是路径依赖的。设每次跳跃的幅度Yi是均值为EYi=的同分布随机变量,若它和跳跃次数N 相互独立,其中N Poisson(),可以证明补偿复合泊松过程Q=Yi-t是一个鞅。对应泊松跳跃过程极限为连续的情形,即在任意有限时间区间上发生了无限次跳跃,可以证明该极限为时变的布朗运动。众所周知,布朗运动是布莱克斯科尔斯模型的基础假设,其风险是可以对冲的。第十一节 思考讨论：跳跃过程可以对冲吗?
