1、 函数概念的综合应用 已知函数解析式求定义域已知函数解析式求定义域【技法点拨【技法点拨】1.1.已知函数解析式求定义域的类型及求解策略已知函数解析式求定义域的类型及求解策略(1)(1)整式：若整式：若y=f(xy=f(x)为整式，则函数的定义域是实数集为整式，则函数的定义域是实数集R.R.(2)(2)分式：若分式：若y=f(xy=f(x)为分式，则函数的定义域为使分母不为为分式，则函数的定义域为使分母不为0 0的的实数集实数集.(3)(3)偶次根式：若偶次根式：若y=f(xy=f(x)为偶次根式，则函数的定义域为被开为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集方数非负的实数集(特别注意特别
2、注意0 0的的0 0次幂没有意义次幂没有意义).).(4)(4)几部分组成：若几部分组成：若y=f(xy=f(x)是由几部分数学式子的和、差、积、是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集.(5)(5)实际问题：若实际问题：若y=f(xy=f(x)是由实际问题确定的，其定义域要受是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束实际问题的约束.2.2.求解函数定义域的步骤求解函数定义域的步骤分析解析式分析解析式列不等式列不等式(组组)解不等式解不等式(组组)得定义域得定义域.另外另外要注意定义域写成集合或区间
3、的形式要注意定义域写成集合或区间的形式.【典例训练【典例训练】1.(1)(20121.(1)(2012广东高考广东高考)函数函数 的定义域为的定义域为_._.(1)(1)的定义域为的定义域为_;_;(2)(2)的定义域是的定义域是_._.2.2.求下列函数的定义域求下列函数的定义域.(1);(2).(1);(2).x1yx 1f xx1x2 yx11x 0 x2yxx 2x1f x4xx1【解析【解析】1.(1)1.(1)由由 得函数的定义域为得函数的定义域为x|x-1,x|x-1,且且x0.x0.(1)(1)由由 得得x1x1且且x2x2，xx1,2)(2,+).1,2)(2,+).(2)(
4、2)由由x-10 x-10且且1-x01-x0可得可得x=1.x=1.答案：答案：(1)x|x-1,(1)x|x-1,且且x0 (1)x0 (1)1,2)(2,+)1,2)(2,+)(2)1(2)1x10 x0，x20 x10，2.(1)2.(1)要使函数有意义，自变量要使函数有意义，自变量x x的取值必须满足的取值必须满足 x0 x0且且x-2x-2，原函数的定义域为原函数的定义域为(-,-2)(-2,0).(-,-2)(-2,0).(2)(2)要使函数有意义，自变量要使函数有意义，自变量x x的取值必须满足的取值必须满足原函数的定义域为原函数的定义域为(-,1)(1,4(-,1)(1,4.
5、x20 x2xx0 xx，即，4x0 x4x10 x1，即，【归纳【归纳】解答本题解答本题2(2)2(2)的易错点的易错点.提示：提示：解答本题解答本题2(2)2(2)易出现的错误是求定义域前先对解析式化易出现的错误是求定义域前先对解析式化简，而这种化简是不等价的，如简，而这种化简是不等价的，如 ,致使定义致使定义域扩大而致错域扩大而致错.f xx14x 函数求值及值域问题函数求值及值域问题【技法点拨【技法点拨】求函数值域的原则及常用方法求函数值域的原则及常用方法(1)(1)原则：原则：先确定相应的定义域；先确定相应的定义域；再根据函数的具体形式再根据函数的具体形式及运算确定其值域及运算确定其
6、值域.(2)(2)常用方法：常用方法：观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到；到；配方法：是求配方法：是求“二次函数二次函数”类值域的基本方法；类值域的基本方法；换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域数，从而求得原函数的值域.对于对于 (其中其中a,b,c,da,b,c,d为常数，且为常数，且a0)a0)型的函数常用换元法；型的函数常用换元法；分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分
7、式转化为化为“反比例函数类反比例函数类”的形式，便于求值域的形式，便于求值域.f xaxbcxd【典例训练【典例训练】1.1.一个函数一个函数f(xf(x)的图象如图所示：的图象如图所示：则该函数的值域是则该函数的值域是()()(A)(-,3(A)(-,3(B)(-,3)(B)(-,3)(C)(C)-1,2)-1,2)(D)(D)-1,+)-1,+)2.2.函数函数f(xf(x)=-x)=-x2 2-2x+5-2x+5的值域是的值域是_._.3.3.函数函数 的值域是的值域是_._.【解析【解析】1.1.选选D.D.由题图分析由题图分析y-1y-1，值域为值域为-1,+).-1,+).2.f(
8、x)=-x2.f(x)=-x2 2-2x+5=-(x+1)-2x+5=-(x+1)2 2+6+6，当当x=-1x=-1时，时，f(xf(x)取得最大值取得最大值6 6，函数函数f(xf(x)=-x)=-x2 2-2x+5-2x+5的值域是的值域是(-,6(-,6.答案：答案：(-,6(-,6yx4 1x3.3.设设 ，则，则x=1-tx=1-t2 2，原函数可化为原函数可化为y=1-ty=1-t2 2+4t=-(t-2)+4t=-(t-2)2 2+5(t0)+5(t0)，y5,y5,原函数的值域为原函数的值域为(-,5(-,5.答案：答案：(-,5(-,5t1x0【互动探究【互动探究】如果题如
9、果题2 2的定义域变为的定义域变为x-1,0,1,2x-1,0,1,2，结果会怎，结果会怎样呢？若变为样呢？若变为xx-2,2-2,2呢？呢？【解题指南【解题指南】第一种情况定义域为有限的，容易求解；对于第第一种情况定义域为有限的，容易求解；对于第二种情况可作出二次函数的图象，借助图象容易得到二次函数二种情况可作出二次函数的图象，借助图象容易得到二次函数在闭区间上的最大值、最小值在闭区间上的最大值、最小值.【解析【解析】(1)(1)当定义域变为当定义域变为-1,0,1,2-1,0,1,2时，值域变为时，值域变为66，5 5，2 2，-3.-3.(2)(2)当当xx-2,2-2,2时，函数时，函
10、数f(xf(x)=-x)=-x2 2-2x+5-2x+5的图象是关于直线的图象是关于直线x=x=-1-1对称，开口向下的抛物线，当对称，开口向下的抛物线，当x=-1x=-1时，函数取得最大值时，函数取得最大值6 6，当当x=2x=2时，函数取得最小值时，函数取得最小值-3.-3.所以当所以当xx-2,2-2,2时，函数时，函数f(xf(x)=-x)=-x2 2-2x+5-2x+5的值域为的值域为-3,6-3,6.【归纳【归纳】用换元法求函数的值域应注意的问题用换元法求函数的值域应注意的问题.提示：提示：用换元法求值域应注意新元的范围，确保换元要等价，用换元法求值域应注意新元的范围，确保换元要等
11、价，切勿按原定义域求解切勿按原定义域求解.形如形如f(g(xf(g(x)的函数的定义域的函数的定义域【技法点拨【技法点拨】求形如求形如f(g(xf(g(x)的函数定义域的方法的函数定义域的方法(1)(1)已知已知f(xf(x)的定义域为的定义域为D D，求，求f(g(xf(g(x)的定义域的定义域由由g(x)Dg(x)D,求出求出x x的范围的范围,即得到即得到f(g(xf(g(x)的定义域的定义域.(2)(2)已知已知f(g(xf(g(x)的定义域为的定义域为D D，求，求f(xf(x)的定义域的定义域由由xDxD,求出求出g(xg(x)的范围，即得到的范围，即得到f(xf(x)的定义域的定
12、义域.【典例训练【典例训练】1.1.已知已知f(xf(x)的定义域为的定义域为-2-2，3)3)，则函数，则函数f(x+2)f(x+2)的定义域的定义域为为_._.2.2.已知函数已知函数f(x+2)f(x+2)的定义域为的定义域为-2-2，3)3)，则，则f(xf(x)的定义域的定义域为为_._.【解析【解析】1.f(x)1.f(x)的定义域是的定义域是-2-2，3)3)，-2x3.-2x3.要使要使f(x+2)f(x+2)有意义，则必须满足有意义，则必须满足-2x+23,-2x+23,得得-4x1-4x1，f(x+2)f(x+2)的定义域是的定义域是-4-4，1).1).答案：答案：-4-
13、4，1)1)2.f(x+2)2.f(x+2)的定义域是的定义域是-2-2，3)3)，-2x3,-2x3,0 x+25 0 x+25，f(xf(x)的定义域为的定义域为0,5).0,5).答案：答案：0,5)0,5)【思考【思考】解答形如解答形如f(g(xf(g(x)型函数定义域问题的关键点是什么？型函数定义域问题的关键点是什么？提示：提示：要解决此类函数的定义域问题，关键是对函数概念理解要要解决此类函数的定义域问题，关键是对函数概念理解要清晰，要注意对清晰，要注意对“法则不变，法则的使用范围不变法则不变，法则的使用范围不变”的理解的理解.【易错误区【易错误区】形如形如f(g(xf(g(x)型函
14、数定义域的求解误区型函数定义域的求解误区 【典例】已知【典例】已知 ，则，则f(f(xf(f(x)的定义域为的定义域为()()(A)x|x-2 (B)x|x-1(A)x|x-2 (B)x|x-1(C)x|x-1(C)x|x-1，且，且x-2 (D)x|x0 x-2 (D)x|x0，且，且x-1x-1 1f xx1【解题指导【解题指导】【解析【解析】选选C.C.方法一：方法一：,f(xf(x)的定义域为的定义域为x|x-1x|x-1,则在则在f(f(xf(f(x)中，中，f(x)-1,f(x)-1,即即 ，解得：，解得：x-2.x-2.f(f(xf(f(x)的定义域为的定义域为x|x-1x|x-
15、1，且，且x-2.x-2.方法二：方法二：，x+20 x+20且且x+10 x+10，即，即x-2x-2且且x-1.x-1.f(f(xf(f(x)的定义域为的定义域为x|x-1x|x-1，且，且x-2.x-2.1f xx111x1 1f xx1 1x111fx21x1f xf()x1【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：题启示总结如下：(注：此处的注：此处的见解析过程见解析过程)常常见见错错误误 选选B B 在解答时若由已知的解析式的分母不为零，得到在解答时若由已知的解析式的分母不为零，得到处处f(xf(x)的
16、定义域为的定义域为x|x-1x|x-1，而误认为，而误认为f(f(xf(f(x)的定义域的定义域就是就是x|x-1x|x-1，则是对函数的概念理解不到位而导致，则是对函数的概念理解不到位而导致的错误的错误.选选A A 方法一中，在解方法一中，在解处不等式处不等式 得得x-2x-2后，即后，即得选项得选项A A正确正确.原因是忽视了原因是忽视了x-1x-1这一前提条件这一前提条件.方法二中，整理方法二中，整理f(f(xf(f(x)解析式得解析式得处处后，直接由后，直接由x+20 x+20选选A.A.忽视了忽视了x+10 x+10的前提条件而致错的前提条件而致错.11x1 1x11x21x1解解题题启启示示 (1)(1)在求解函数定义域问题时，首先应准确理解函数的概在求解函数定义域问题时，首先应准确理解函数的概念念.(2)(2)在化简函数解析式的过程中，要注意化简的等价性在化简函数解析式的过程中，要注意化简的等价性.解析式的分子和分母同时乘以一个整式时，要保证整式解析式的分子和分母同时乘以一个整式时，要保证整式不为不为0.0.
