1、高中数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向量及其应用综合强化3第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1在锐角中，角，的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（ ）ABCD2已知向量，夹角为，向量满足且 ，则下列说法正确的是（ ）ABCD3在四边形中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，且，若0，则的取值范围是（ ）ABCD4如图，在等腰梯形中，点，分别为，的中点.如果对于常数，在等腰梯形的四条边上，有且只有8个不同的点使得成立，那么的取值范围是（ ）ABCD5在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，若，则的最小值为（ ）A3BC1D6在ABC中，则ABC的形状
2、是（ ）A等腰三角形但一定不是直角三角形B等腰直角三角形C直角三角形但一定不是等腰三角形D等腰三角形或直角三角形二、多选题7(多选)空间四点A，B，C，D每两点的连线长都等于，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与点Q的距离可能为（ ）ABaCaDa8下列命题中正确的是（ ）A不存在4个平面向量，两两不共线，其中任意两个向量之和与其余两个向量之和垂直B设、是单位圆O上的任意n点，则在圆O上至少可以找到一点M，使得C任意四边形中，分别为的中点，G为的中点，O为平面内任意一点，则D中，点O为外心，H为垂心，则第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9在中，角，的对边分别
3、为，且，的外接圆半径为，若有最大值，则实数的取值范围是_10已知平面向量，满足，.记平面向量在方向上的投影分别为，在方向上的投影为，则的最小值为_.11费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点为的费马点，角，的对边分别为，若，且，则的值为_.12已知同一平面内的单位向量，则的取值范围是_.四、解答题13已知椭圆分别为其左、右焦点（1）若T为椭圆上一点，面积最大值为，且此时为等边三角形，求椭圆的方程；（2）若椭圆焦距长为短轴长的倍，点P的坐标为，Q为椭圆上一点，当最大时，求点Q的坐标；（3）若A为椭圆
4、上除顶点外的任意一点，直线AO交椭圆于B，直线交椭圆于C，直线交椭圆于D，若，求（用a、b代数式表示）14在中，已知D是BC上的点，AD平分，且.（1）若，求的面积；（2）若，求.15如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.（1）求证：；（2）设，求的值；（3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.16已知，向量，、是坐标平面上的三点，使得，（1）若，的坐标为，求；（2）若，求的最大值；（3）若存在，使得当时，为等边三角形，求的所有可能值试卷第3页，共4页参考答案1D【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得,进而求得A的各个三角函数值，再利
5、用正弦定理边化角求得关于C的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到，利用三角函数的性质求得取值范围即可【详解】解：ABC中，由，得，；即， ，ABC为锐角三角形，,，,， 故选：D2A【分析】建立坐标系，设，根据已知条件得到所设未知数的关系，利用向量模的坐标表示求出的取值范围，代换之后即可逐项判断.【详解】解：因为向量夹角为，设，因为， ，若，则由得，这与矛盾.，代入（1）得，由得，综上：，令，则，所以，又，故，故A正确；，令，则，所以，故， ，则，故B、C、D都错误.故选：A【点睛】平面向量的解题思路：(1)利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)建立直角坐标系，然后利
6、用平面向量的坐标运算进行解题.3A【分析】根据向量的加法可得，再由向量的数量积运算得，由可得选项【详解】因为，又点E为AD的中点，点F为BC的中点，所以，又因为，所以，且，所以，即，故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查向量的数量积运算，求线段的长度的范围，关键在于待求向量用已知向量表示，由已知向量的数量积的范围得以解决4C【分析】建立坐标系，设的坐标，根据得到关于的方程，根据的位置分四种情况讨论方程解得情况【详解】解：以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则梯形的高为，（1）当在上时，设，则，于是，当时，方程有一解，当时，有两解；（2）当在上时，设，则，于是，当时，方程有一解，当时，
7、有两解；（3）当在上时，直线方程为，设，则，于是当或时，方程有一解，当时，方程有两解；（4）当在上时，直线的方程为，设，则，于是当或时，方程有一解，当时，方程有两解；综上，若使梯形上有8个不同的点满足成立，则的取值范围是，故选：5A【分析】由向量加减的几何意义可得，结合已知有，根据三点共线知，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件.【详解】由题设，如下图示：，又，由三点共线，有，当且仅当时等号成立.故选：A【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到、的线性关系，根据三点共线有，再结合基本不等式求最值.6C【分析】原式可化为，然后利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，得
8、出，的关系.【详解】解：由得：，且，且，化简整理得：，即，或，又，ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判定，难度稍大.解答时，利用正、余弦定理进行边角互化是难点.7BC【分析】设，利用向量的基底表示的方法表示出向量，然后计算，并且表示为关于的关系式，再结合的取值范围判断即可.【详解】解析：如图所示，由题意知，两两夹角均为，设，则，所以因为，所以，即.故选：BC.【点睛】利用向量计算距离的取值范围问题，一是建立直角坐标系，表示相关点的坐标，利用模长的坐标公式表示出所求距离，再利用函数的性质或者基本不等式求解最值；二是利用向量的基底表示方法表示出所求向量，
9、计算模长的平方，然后利用函数的性质或者基本不等式求解最值.8BCD【分析】对A：设O为正三角形ABC的内心，P为内切圆圆周上一点， ，所以与垂直，所以选项A错误；对B：取的反向延长线与单位圆的交点为M，则与共线同向时，有，所以选项B正确；对C：因为，所以选项C正确；对D：作直径BD，连接AD，可得四边形AHCD为平行四边形，所以，所以选项D正确.【详解】解：对A：如图所示，O为正三角形ABC的内心，P为内切圆圆周上一点，满足两两不共线，而，所以与垂直，所以选项A错误；对B：如图，当时，当与共线同向时，；当时，当与共线同向时，有；同理，可取的反向延长线与单位圆的交点为M，则与共线同向时，有，所以
10、选项B正确；对C：因为，所以，所以选项C正确；对D：如图，作直径BD，连接AD，则ADAB，又因为H为三角形ABC的垂心，所以CHAB，所以CHAD，同理AHCD，所以四边形AHCD为平行四边形，所以，所以选项D正确. 故选：BCD.9【分析】根据正弦定理、余弦定理化简得到，再利用正弦定理与三角恒等变换将化简为，再根据存在最大值，分析的范围列式即可【详解】由已知及正弦定理可得，整理得，由余弦定理得，又，得，由正弦定理得，其中，又，若存在最大值，即有解，即，解得，即的范围是10【分析】由题意可设，由投影的定义及表示方法可得，再结合柯西不等式即可得解.【详解】解法一：由题意，设，则，即，又向量在，
11、方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影，即，由柯西不等式得，当且仅当即时，等号成立，的最小值为.故答案为：.解法二：设，则，即，故又向量在，方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影，故答案为：.116【分析】化简求得，结合余弦定理以及求得，利用三角形的面积列方程，化简求得【详解】，即，即，由余弦定理知，.故答案为：6【点睛】三角恒等变换是化简已知条件常用的方法，在解决与三角形有关的问题时，要注意结合余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式.12【分析】可设， ，转化为坐标运算，再化简转化成三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题.【详解】设， ，则由令，则，函数开口向上，对称轴为故当，或，
12、时，；当，或，时，故.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，求三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题，还考查了学生分生思维能力，运算能力，难度较大.13（1）；（2）；（3）.【分析】（1）当点在短轴的端点时，焦点三角形的面积最大，且此时的三角形为等边三角形，即可求出，从而求出椭圆的方程；（2）由椭圆的定义，将转化为，则可知最大值时三点共线，且在之间，联立方程求出点的坐标；（3）先从特殊位置入手，求出的值，再在一般位置时设直线方程，联立方程组，借用韦达定理结合共线关系可得，从而表示出和的值，最终求出结果.【详解】（1）面积最大值为，又此时为等边三角形，则，则，所求椭圆的方程为；
13、（2）由题知，又，则，当且仅当三点共线，且在之间时，等号成立，此时直线的斜率为，直线的方程为：，将其代入，解得或，因为在之间，所以；（3）若点落在左顶点，则，又，所以因为，所以， 若点落在右顶点，同理可得，P当落在其他点时，直线的斜率都为零，设直线， 由 得，设，由韦达定理得： ，由得，设，则同理可得，所以.【点睛】关键点点睛：（1）关键是当点在短轴的端点时，焦点三角形的面积最大，即可求出，从而求出椭圆的方程；（2）关键是利用椭圆的定义，将转化为，则可知最大值时三点共线，且在之间，联立方程求出点的坐标；（3）关键是先从特殊位置入手，求出的值，再在一般位置时设直线方程，联立方程组，根据共线关系，
14、借用韦达定理表示和的值，最终求出结果.14（1）6；（2）3.【分析】（1）由角平分线的性质可得，结合已知求，进而可得，由三角形面积公式求面积即可.（2）令、结合已知得到与的关系，过作交延长线于，有，由即可得的线性关系式，应用向量数量积的运算律求的模即可.（1）在中，由角平分线性质：，而，易知：，.（2）令、，又，如图过作交延长线于，则且，又，即，两边平方，.15（1）见详解（2）3（3）【分析】（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；（2）根据题意，用和表示， 结合，三点共线，即可求解；（3）根据题意，结合（1）（2）用和分别表示出和，进而可以表示出，再结合均值不等式与二次函数的最值，
15、即可求解.（1）证明：因，所以，又因为的中点，所以，所以.（2）因，所以，又因，所以，又因，三点共线，所以，即.（3）设，由（1）（2）可知，即.因，所以，又因是边长为的等边三角形，所以，令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以.因此，又因，所以，所以.16（1）；（2）12；（3）、【分析】利用向量线性运算的坐标表示，（1）可得代入，即可求的坐标；（2）可得代入，即可求其的最值；（3）求、的坐标，进而可得、，结合题设有，应用三角恒等变换及三角函数的性质，可得、，由分类讨论的方式求的所有可能值【详解】（1）由题意，由，则、，故；（2）由题意， ，由，则、，即，当时，的最大值为12；（3），为等边三角形， 整理得：且，或或或，综上，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；【点睛】关键点点睛：第三问，首先求出、的坐标，再由，结合三角恒等变换、三角函数性质求出的可能值，进而求对应值.答案第19页，共19页
