1、高中数学北师大版（2019）必修第一册综合强化卷2第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1已知，.设，则（ ）ABCD2三个数，的大小顺序为（ ）ABCD3已知直线分别与函数和的图象交于点、，现给出下述结论：；，则其中正确的结论个数是（ ）A4B3C2D14若，则（ ）A1B0C2D5已知函数若关于x的方程有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（ ）ABCD6已知下列命题：幂函数的单调递增区间是；函数与函数是同一个函数；若函数，正实数ab满足且，则的取值范围是；对于函数，其定义城内任意，都满足其中正确命题的个数是（ ）A1B2C3D4二、多选题7已知连续函数满足：，则有，当时，
2、则以下说法中正确的是（ ）A的图象关于对称BC在上的最大值是10D不等式的解集为8函数，以下四个结论正确的是（）A的值域是B对任意，都有C若规定，则对任意的D对任意的，若函数恒成立，则当时，或第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9则= _10集合，都是非空集合，现规定如下运算：且假设集合，其中实数，满足：（1），；（2）；（3）计算_11已知函数的值域为，则实数的取值范围是_12设，函数，若函数恰有个零点，则实数的值为_.四、解答题13已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.（1）求函数和的解析式；（2）判断在R上的单调性，并用定义证明；（3）函数在R上恰有两个零点，求实数k
3、的取值范围.14函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有 ，则称函数具有性质.（1）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.求证：是偶函数；（2）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.15形如y=ax+（a0，b0）的函数，我们称之为“海鸥函数”，它具有如下性质：当a0，b0时，该函数在，0）和（0，上是减函数，在（一，）和（，+）上是增函数.已知函数=（a0）.（1）若为偶函数，求a的值；（2）若对于任意，恒成立，求a的取值范围.16已知函数满足，其中为常数.（1）对，证明：；（2）是否存在实数，使得，且？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.试卷第3页，共3页
4、参考答案1B【分析】先根据指对数的互化结合指数函数的单调性可判断的大小，再根据对数的性质和基本不等式可判断的大小关系，从而可得正确的选项.【详解】因为，故，所以，故，同理，所以，故，而，而，所以即，所以，所以故选：B.2D【分析】结合对数恒等式进行变换，利用对数函数的单调性即可证明，由此得出三者的大小关系.【详解】，由于，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以.故选：D3B【分析】根据函数和的图象关于对称，直线与垂直，可得，、，关于对称，即可判断；利用基本不等式即可判断，构造，判断其单调性，即可判断，由，判断其单调性，即可判断【详解】由题意直线与垂直，函数和的图象关于对称，、，关于对称，则；
5、正确；对于：由，因为，则；正确；对于：构造函数；则，当时，可得，函数在单调递增；当时，可得，函数在单调递减；，正确；对于：，令函数，则当时，可得，函数在单调递减；当时，可得，函数在单调递增；，不对，即不对故选：B4B【分析】由，构造函数，可得，再结合的单调性和奇偶性即可求解【详解】构造函数， 由，可得，且定义域为，是奇函数，又易得为上的单调递增函数故选：B5B【分析】利用换元法设，则等价为有且只有一个实数根，分 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.【详解】令，则方程等价于，当时，此时当时，此时函数有无数个零点，不符合题意；当，则，所以由，得，则关于x的方程有且只有一个实数根等价于
6、关于x的方程有且只有一个实数根，作出的图象如图：当时，由图象可知直线与的图象只有一个交点，恒满足条件；当时，要使直线与的图象只有一个交点，则只需要当时，直线与的图象没有交点，因为 时，此时 最小值为 ，所以，综上所述，实数a的取值范围是，故选：B.6B【分析】利用幂函数的性质可判断，由两个函数的定义域可判断，由条件及对数的运算性质可得，再利用基本不等式可判断，利用对数的运算法则及基本不等式可判断，即得答案.【详解】幂函数的单调递增区间是，故正确；函数的定义域为，函数的定义域为，所以函数与函数不是同一个函数，故错误；由函数，正实数ab满足且，则，即，当且仅当取等号，的取值范围是，故错误；对于函数
7、，其定义城内任意，当且仅当时取等号，故正确.故选：B.7ACD【分析】依题意令，求出，再令，即可得到，从而判断A；令得到，再令，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为，则有，令，则，则，令则，即，故的图象关于对称，即A正确；令，则，令代x，则，即，即，故B错误；设且，则，由，令，则，即，由时，得，则，所以，所以，即在上单调递减，又，所以，又，所以，故在上的最大值为，故C正确；由，即，即，即，又因为，即，所以，即，即，即，解得，即原不等式的解集为，故D正确；故选：ACD8ABC【分析】由函数解析
8、式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.【详解】由函数解析式可得，有如下函数图象：的值域是，且单调递增即(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；对于C，有，若，当时，故有.正确.对于D，上，若函数恒成立，即有，恒成立，令，即上，时，有或（舍去）；时，故恒成立；时，有或（舍去）；综上，有或或；错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.2、数学归纳法：当结论成立，若时结论也成立，证明时结论成立即可.3、利用函数不等式恒成
9、立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.9-1或5【分析】由题意可得，一点有，再由，可得，进而可得结果.【详解】设两边同除，可得，所以 由，一定有，即 ，则 或代入可得或 所以或5故答案为：-1或5【点睛】关键点点睛：通过两个方程的关系可得，一点有，是解题的关键.本题考查了逻辑推理能力和计算能力，属于中档题.10或【分析】由题设条件求，的大小关系，再根据集合运算新定义求即可.【详解】，得；，得；，；同理，由(1)(3)可得，或故答案为：或11【分析】可由题意，根据对数函数的定义域和单调性确定其范围，要满足值域为，指数函数的值域也就确定了，然后把指数部分的二次三项式重新设
10、函数，通过分类讨论去求解对应的取值范围.【详解】函数，所以当时，所以时，得取遍所有大于1的数，故其指数得取遍所有大于0的数.因为，当时，不成立；当时，其开口向下，有最大值，无法去到正无穷，舍去；当时，其开口向上，对称轴大于0，故需对称轴对应的值小于等于0，故有：且，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】二次三项式在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开口或者讨论.12【分析】分和两种情况讨论，由解出的值，然后分、解关于的方程，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.【详解】当时，由，可得，当时，由，可得或，当时，.即当时，函数只有个零点，不
11、合乎题意；当时，由，可得或.当时，由，可得或，方程无解，当时，由，即，解方程可得，其中合乎题意，舍去，所以，方程在时有唯一解，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，当时，故，解得.综上所述，.故答案为：.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围13（1），（2）在R上单调递增，证明见解析（3）【分析】（1）利用奇偶性得到关系式，结合题干中的条
12、件，解出函数和的解析式；（2）利用定义证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论；（3）结合第一问和第二问求解的单调性和奇偶性，得到等量关系，参变分离后结合函数图象及对勾函数进行求解.（1）因为是奇函数，是偶函数，所以，则， 联立解得：，；（2）在R单调递增，理由如下：，且，在R单调递增；（3）有两个不同零点等价于方程在R上有两个不同的根，为奇函数，等价于在R上有两个不同的根，由（2）知在R单调递增，在R上有两个不同的根，显然不满足条件，结合对勾函数图像及函数图像变换得.14（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）设，其中，可得出，分、两种情况讨论，验证是否恒成立，由此可证得结论成立；（2）
13、根据定义可得出对任意的，对正实数的取值进行分类讨论，求得的取值范围，可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围.（1）证明：设，其中，则，所以，若，则函数的值域为，则不存在正实数，使得恒成立，若，则，存在正实数，使得恒成立，所以，则，故函数为偶函数.（2）解：因为，对任意的，故函数的定义域为，则，所以，因为函数具有性质，即存在正实数，使得对任意的，总有，即，即，即.当时，可得，对任意的实数恒成立；当时，则，因为，则，所以，则，因为对任意实数恒成立，则，解得；当时，则，因为，则，所以，则，因为对任意实数恒成立，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函
14、数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.15（1）；（2）【分析】（1）利用偶函数的定义求出a的值；（2）换元后得到，先由必要条件，即代入端点值后满足要求，得到，从而确定，结合题干中的说明得到单调性，结合最值得到不等式组，求出的取值范围.（1）若为偶函数，则恒成立，即，整理得，要想保证对于任意恒成立，故，解得（2）因为，所以令，记.由题意，有，因为.应满足必要条件，解得，则.因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以解得：.故的取值范围是.16（1）证明见解析;（2）存在，且.【分析】(1)由，求出函数解析式，再代入证明等式左边等于右边即可.(2)由（1）的结论，以及函数的奇偶性，即可求出.（1）解：由，得，所以，所以=上式，命题得证.（2）由(1)得：函数的定义域为，故函数为奇函数，联立以上两式，解得：，此时，.答案第15页，共15页
