1、高中数学北师大版（2019）必修第二册第一章三角函数综合强化4第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）ABCD2已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ）ABCD3函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中：；函数的最小正周期为；函数在区间上单调递增；函数关于点中心对称其中正确结论的个数是（ ）A4B3C2D14已知函数，下列说法正确的是（ ）A既不是奇函数也不是偶函数B的图象与有无数个交点C的图象与只有一个交点D5已知定义域为的函数，对任意的都有，且.当时，
2、不等式的解集为（ ）ABCD6若和是定义在实数集上的函数，且方程有实数解，则不可能是（ ）ABCD二、多选题7已知偶函数的定义域为R，且当时，当时，则以下结论正确的是（ ）A是周期函数B任意CD在区间上单调递增8已知函数在区间上单调，且，当时，取到最大值4，若将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）AB点是图象的一个对称中心C是区间上的增函数D函数的零点个数为7第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9函数()的值域有6个实数组成，则非零整数的值是_.10关于函数，下列说法正确的是_（将正确的序号写在横线上）（1）是以为周期的函数；（
3、2）当且仅当时，函数取得最小值；（3）图像的对称轴为直线；（4）当且仅当时，.11若函数f（x）sin是区间a，+）上的单调函数，则实数a的最小值为_12设.若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是_.四、解答题13已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数零点的个数.14已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴.（1）求函数的解析式（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，且函数在内恰有2021个零点，求常数与n的值.15已知，函数，其中.（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
4、（2）求函数的最大值（可以用表示）；（3）若对区间内的任意，若有，求实数的取值范围.16不等式对于所有实数x都成立，求的取值范围.试卷第3页，共3页参考答案1D【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围【详解】因为，所以.由，得.当时，又，则.因为在上的零点为，且在内恰有3个零点，所以或解得.故选：D2B【分析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出 ，函数在区间上恰有个极值点即为三个最值点，解出，再建立不等式求出的范围，进而求得的范围.【详解】解： 令，解得对称轴，又函数在区间恰有个极值点，只需 解得故选：【点睛
5、】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或 的形式; (2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.3C【分析】对，先根据图象分析出的取值范围，然后根据分析出的可取值，然后分类讨论的可取值是否成立，由此确定出的取值；对，根据图象平移确定出的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对，先求解出的单调递增区间，然后根据的取值确定出是否为单调递增区间；对，根据的值是否为,即可判断.【详解】解：由图可知： ，即，又，由图可知：，又，且，故，当时，解得：，满足条件，故，对，由上述
6、可知错误；对，的最小正周期为，故正确；对，令，即，令，此时单调递增区间为，且，故正确；对，不是对称中心，故错误；故选：C.【点睛】方法点睛：已知函数，若求函数的单调递增区间，则令，；若求函数的单调递减区间，则令，；若求函数图象的对称轴，则令，；若求函数图象的对称中心或零点，则令，4C【分析】A根据函数奇偶性的定义即可判断的奇偶性；B利用放缩法，当易证，由奇函数的对称性知时，即可知与的交点情况；C：由变形可得，设只需判断解得个数即可；D根据函数解析式求出比较大小即可.【详解】A：定义域为且，故为奇函数，错误；B：当时有，又为奇函数，则当时，即在上，则的图象与没有交点，错误，C：若，则有，即，变形
7、得，即，设，则为减函数且其值域为，则有且只有一个解，即的图象与只有一个交点，正确，D：，而，则有，错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：A利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，B放缩法及奇函数的对称性，结合正弦函数的性质判断交点情况，C将交点问题，通过恒等变形转化为方程是否有解的问题，D通过函数解析式求函数值，进而比较大小.5D【分析】设，求导可得在R上单调递增，求的解集，等价于求的解集，接着利用在R上单调递增，可得到答案.【详解】设，则， 在R上单调递增，又，求的解集，等价于求的解集，在R上单调递增，且，故选D.【点睛】本题主要考查利用导函数解不等式，构造一个新函数是解决本题的关键.6C【分析】由题
8、设令为原方程的解：可得，即可将问题转化为是否有实数解，根据各选项函数，应用数形结合确定正确选项.【详解】设为的实数解，即，令，则.，即为的实数解，有实数解，结合各选项的函数，判断与是否有交点即可，如下图示：由图知：当时无交点，无实数解，故选：C.7BCD【分析】根据已知条件，求出时，；时，再结合时，及偶函数的性质，对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：因为为R上的偶函数，所以，又时，所以时，所以，当时，由题意，所以时，因为时，所以不是周期函数，故选项A错误；因为为R上的偶函数，且时，所以任意，故选项B正确；因为，所以选项C正确；因为，所以，又当时，所以由二次函数性质知在区间上单调递增，所以选项
9、D正确，故选：BCD.8ABCD【分析】根据单调性求得，再由已知得出对称轴和对称中心求出周期，代入最值即可求出解析式，数形结合可判断零点.【详解】因为在上单调，所以，解得，又，所以为对称轴，且，则为一个对称中心，故B正确；由于，所以与为同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，所以，故A正确，因为的最大值为4，所以，则，则，即，取，则，当时，根据正弦函数的单调性可得是区间上的增函数，故C正确；因为在处的切线斜率为，在处切线斜率不存在，即切线方程为，所以右侧图象较缓，如图所示，同时时，所以函数的零点有7个，故D正确.故选：ABCD.9，【分析】由题设可得最小正周期为，又且值域有6个实数组成，即上一定
10、存在6个整数点，讨论为奇数或偶数，求值即可.【详解】由题设知：的最小正周期为，又，为非零整数，在上的值域有6个实数组成，即的图象在以上区间内为6个离散点，且各点横坐标为整数，当为偶数，有，即；当为奇数，有，即；故答案为：，【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的性质可求最小正周期为，结合已知有内有6个整数点，讨论的奇偶性求值.10【分析】由函数解析式，转化为分段函数的形式，并画出其函数图象，结合各分段的函数性质，判断它的周期、最小值及对应的自变量值、对称轴、以及对应的区间，即可判断各项的正误.【详解】由题设，所以周期为.由解析式可得的图象如下：由图知：当且仅当时，函数取得最小值；图像的对称轴为直线；
11、当且仅当时，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：分类讨论并求出的分段函数形式，进而画出函数图象，应用数形结合的方法判断各项的正误.11【分析】讨论的单调性,再利用复合函数的单调性分析,利用恒成立问题的求解方法求解即可.【详解】根据题意,f（x）sin,设t,则ysint,t2,在区间（1,+）上为减函数,且t2在（1,+）上恒成立,ysint在区间2,上为减函数,若函数f（x）sin是区间a,+）上的单调函数,必有,解可得：a,即a的最小值为；故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的综合运用,需要根据题意分析自变量的范围以及单调性对正弦函数的影响等.属于中等题型.12或或.【分析】由得则满足的
12、k恰有两解，即求.【详解】由得即，函数在区间上恰有两个零点，即满足的k恰有两解，又，所以k取1,2或2,3或3,4，当k取1,2时，且，即；当k取2,3时，且，即，当k取3,4时，且，即，所以的取值范围是或或.故答案为：或或.13(1) ；(2)零点的个数为2.【分析】（1）求出导函数，得出，即可得到切线方程；（2）根据为偶函数，只需讨论在的零点个数，结合导函数分析单调性即可讨论.【详解】解:( 1)因为,所以， 又因为，所以曲线在点处的切线方程为；(2)因为为偶函数, 所以要求在上零点个数,只需求在上零点个数即可. 令,得,， 所以在单调递增,在单调递减,在单调递增,在单调递减,在单调递增列
13、表得:0+0-0+0-01极大值极小值极大值极小值由上表可以看出在()处取得极大值,在()处取得极小值，; . 当且时 (或,) 所以在上只有一个零点函数零点的个数为2.【点睛】此题考查求函数在某点处的切线方程，求函数零点的个数，根据奇偶性分类讨论，结合单调性和极值分别考虑函数值的符号得解.14（1）；（2），.【分析】(1)由最小正周期得,由是其图象的一条对称轴得,进而得答案；（2）根据题意得，进而整理得，令，得，根据判别式得关于t的二次方程必有两不等实根且异号，再分当且时,当得，当时，则，此时,当有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，四种情况讨论求解.【详解】解：由三角函数的周
14、期公式可得，令，得，由于直线为函数的一条对称轴，所以，得，由于，则，因此，.将函数的图象向右平移个单位，得到函数，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为.令，可得，令，得，则关于t的二次方程必有两不等实根，则，异号.当且时，则方程和在区间均有偶数个根，从而方程在也有偶数个根，不合题意当，则，此时，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于x的方程在区间上有2020个根，在区间上有2022个根，不合题意当时，则，此时，当时
15、，只有一根，有两根，所以，关于x的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，因此，关于x的方程在区间上有2021个根，满足题意.若有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，有偶数个根，不合题意综上所述：，.【点睛】本题考查三角函数的性质的综合应用，考查运算求解能力，逻辑推理能力，分类讨论思想，是难题.本题第二问解题的关键在于根据换元法将问题转化为讨论关于t的二次方程必有两不等实根，则，异号情况下的实数根的问题，进而分类讨论求解即可.15（1），；（2）；（3）.【分析】（1）由题设得，则，代入
16、可得.（2）由（1）知，的最大值即为的最大值，讨论、时在上的单调性，即可得对应的最大值.（3）将问题转化为，结合（2）所得单调性，求的范围.【详解】（1）由题意，而，则，显然，则，且，；（2）的最大值，即的最大值.时，在递减，；时，在递增，；时，在递增，递减，；综上，（3）由题意，即，；时，在递减，则：；时，在递增，则：；时，在递增，递减，则：综上，.【点睛】关键点点睛：第二问，要求的最大值，即求的最大值，讨论参数a结合的区间单调性写出最大值；第三问，将问题转化为，结合所得单调性求参数范围即可.16的取值范围是.【分析】将原不等式按参数分离，利用判别式法可得，利用正弦函数的图象性质解不等式可求的取值范围.【详解】将原不等式按参数分离，得.即.由“判别式法”可求得：.从而.要使原不等式对一切都成立，当且仅当对一切都成立，这又等价于，即，的取值范围是.答案第15页，共16页
