1、高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章函数应用培优专练3第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1已知，设函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（ ）ABCD2已知函数，且对于任意实数关于的方程都有四个不相等的实根，则的取值范围是（ ）ABCD3若不等式对任意的恒成立，则（ ）AB，C，D4已知函数，则函数的零点个数是 （ ）A4B5C6D75已知定义在上的函数满足，当时，若函数恰有6个零点，则（ ）A或BCD6设函数，若对任意给定的，都存在唯一的满足，则正实数a的取值范围为（ ）ABCD二、多选题7设函数，集合，则下列命题正确的是（ ）A当时，B当时
2、C若，则k的取值范围为D若（其中），则8已知定义在上的函数，满足，且，当时，(为常数)，关于的方程(且)有且只有3个不同的根，则（ ）A函数的周期B在单调递减C的图象关于直线对称D实数的取值范围是第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9记，若函数的最大值为3，有3个零点，则实数的取值范围是_.10设二次函数，（且）在上至少有一个零点，则的最小值为_.11已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_12若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围有_.四、解答题13已知函数.（1）判断的奇偶性，并证明在上单调递增；（2）设函数，求使函数有唯一零点的实数的值；（3
3、）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.14已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a的值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）设关于x的函数有零点，求实数b的取值范围.15已知是二次函数，其两个零点分别为-3、1，且.（1）求的解析式；（2）若，恒成立，求实数的取值范围；（3）设，的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围.16已知函数，（1）当时，求函数的值域；（2）若关于的方程有两个不等根，求的值；（3）已知存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有个不等根，求出实数的取值范围试卷第3页，共3页参考答案1D【分析】根据分段函数的意义将方程恰有两个互异的实数解，转化为各段上根
4、的个数问题分类推理求解.【详解】因关于x的方程恰有两个互异的实数解，则有：有两个不同的实根且无实根，或与各有一个实根，或无实根且有两个不同的实根，当时，函数为增函数，则函数在上最多一个零点，有两个不同的实根不成立，当函数在上有一个零点时，必有，即，此时，因此，当时，函数在上确有一个零点，方程必有一个实根，当，时，函数，而函数对称轴，即在上单调递减，又，即在上必有一个零点，因此，方程必有一个实根，于是得当时，与各有一个实根，若方程无实根，必有，此时方程有两个不同的实根，函数在上有两个零点，当且仅当，解得，于是得当时，有两个不同的实根且无实根，综上得：当或时，方程恰有两个互异的实数解，所以实数a的
5、取值范围是.故选：D【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.2C【分析】采用等价转换的思想，且利用数形结合的方法，结合对称性，可得结果.【详解】由方程都有四个不相等的实根则函数与，图像有四个交点， 由即如图，所以故又所以故选：C【点睛】本题主要考查函数的对称性，以及考查等价转换，数形结合的数学技巧的应用，属中档题.3B【分析】先分析特殊点对的要求，再结合函数的趋势，排除掉一些范围，最终确定函数，的零点相同，得到关系式，最终求出答案.【详解】对任意恒成立，当时，不等式等价为，即，当时，此时，则，设，若，则，函数的零点为，则函数在
6、上，此时不满足条件；若，则，而此时时，不满足条件，故；函数在上，则上，而在上的零点为，且在上，则，上，要使对任意恒成立，则函数与的零点相同，即，故选：B4A【分析】令有，结合函数图象知有两个交点的横坐标为，再由、判断的零点个数即可.【详解】令，则，作出的图象和直线，由图象可得有两个交点，设横坐标为，.当时，有，即有一解；当时，有三个解，综上，共有4个解，即有4个零点.故选：A【点睛】关键点点睛：由得，利用函数图象确定交点横坐标，再由分段函数的性质当、时确定的零点个数.5D【分析】作出和的图象，利用函数的交点个数来判断函数零点的个数，从而确定的范围.【详解】函数恰有6个零点等价于和的图象有6个交
7、点，函数满足，是周期为2的函数，当时，可画出的图象，如图，（1）当时，如图，和左侧有4个交点，右侧2个，此时应满足，即，解得；（2）当时，如图，和左侧有2个交点，右侧4个，此时应满足，即，即，综上，或.故选：D.【点睛】本题考查函数零点个数转化为函数交点来判断，又综合了函数的周期性，对数的性质，属于较难题.6A【分析】作出函数的图象，结合 的值域范围或者图象，易知只有的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当时，才会存在一一对应然后利用一元二次不等式的性质即可得到结论【详解】解：作出函数的图象如图：由图象知当x0时，的值域为R，当1x0，的取值范围为0，1，当x1时，的取值范围是（，1），
8、即由图象知当1时，x的值不唯一，设，当x0时，由得x2，则方程，等价为，0若存在唯一的R满足，则t1，即由得x2，即当x2时，与x存在一一对应的关系，则此时必有1，即1，得，ma10，不等式等价为2ma10，设h（m）2ma1，m1，a0，只要h（1）0即可，得2a10，得，即实数a的取值范围是故选：A【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数的图象，利用数形结合得到当x2时，即f（f（x）1时与x存在一一对应的关系是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度7ABD【分析】A解一元二次方程直接求解集即可；B由题设易知集合中方程无解即可判断；C、D画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判
9、断正误即可.【详解】A：时，或，结合解析式：时有或，时有，所以，正确；B：时，方程无解，则，正确；由解析式可得其函数图象如下图示：令，开口向上且对称轴为，若，则，即，有以下情况：1、，：此时，令，则在上有一个零点，可得， 2、，由A知：.综上：，故C错误；若，由函数的性质及图象知：必有，.此时，所以，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：C、D选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对应的的可能取值，再结合图象判断正误.8BCD【分析】根据函数基本性质，逐项分析判断即可得解.【详解】由知，所以，周期，A错误；取，得，由得，又，得，所以当时，是个减函数，；当时，是个减函数，
10、；可知在单调递减，B正确；当时，得，所以在区间上，又，得，即的图象关于直线x=1对称，由周期性可知在上的图象关于直线对称，故C正确；由题意知与(且)有且只有3个公共点，考查函数，有极大值点，7，11，极小值点，5，9，极大值为2，极小值为，为减函数时不合题意，所以为增函数，由得，由题意知且，即且，所以，D正确.故选：BCD9【分析】将一次函数、二次函数的性质与题意相结合可得，利用数形结合思想根据有3个零点可得的取值范围，进而可得结果.【详解】设,，易知当时，；当时，.直线，分别经过点，且这两点关于轴对称，抛物线关于轴对称且开口向上，因为函数的最大值为3，故满足，所以.函数，其图象如图所示，由函
11、数有3个零点知，方程有三个实数根，所以实数的取值范围是，故，即实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数最值的应用，充分理解新定义以及熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于难题.10【分析】由可得,即变换主元,视为关于的直线方程,则表示原点到点的距离的平方,最小值即为原点到直线的距离的平方,进而利用均值不等式求得的最小值即可.【详解】由题,当时,有解,则可设点在直线上,则表示原点到点的距离的平方,的最小值为原点到直线的距离的平方,所以,令,原式,因为,当且仅当,即时等号成立,不符合题意,所以当时,最小,此时取得最小值为,则的最小值为,故答案为:【点睛】本题考查由零点分布求参数范围,
12、考查点到直线距离公式的应用,考查利用均值定理求最值,考查转化思想和运算能力.11【分析】由题可求，再利用数形结合即求.【详解】定义在上的单调函数，对任意都有，令，则，在上式中令，则，解得，故，由得，即，在同一坐标系中作出函数和的图像，可知这两个图像有2个交点，即和，则方程的解集为故答案为：.12或【分析】函数的零点方程的根，求出方程的两根为，从而可得或，即或.【详解】函数在区间的零点方程在区间的根，所以，解得：，因为函数在区间上有且仅有一个零点，所以或，即或.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.13（1）为偶函数；证明见解析；（2）-
13、1，1，0；（3）.【分析】（1）直接由函数奇偶性的定义判断的关系，可判断奇偶性，任取，作差化简判断符号，得出单调性结论；（2）有唯一零点，即有唯一的解，可化为，由偶函数可知，化简计算可得结果；（3）设，不等式等价为恒成立，构造函数，只需，求解即可得出结果.【详解】解:由题意可知的定义域为，则，所以，所以为偶函数；任取，则，因为当时，所以所以，所以在上单调递增函数的零点就是方程的解，因为有唯一零点，所以方程有唯一的解，因为函数为偶函数，所以方程变形为，因为函数在上的单调递增，所以，平方得，当时，经检验方程有唯一解，当时，解得，综上可知，的值为.设，则，所以原命题等价于时，不等式恒成立，令，即，
14、则或或，综上可知.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.14（1）；（2）减函数；证明见解析；（3）.【分析】（1）根据奇函数，列方程求出a的值；（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值-作差-变形-判断符号-下结论；（3）由有零点，结合为奇函数列方程，利用整体思想求b的范围.【详解】（1）由题设，需，即，经验证，为奇函数，.（2）减函数，证明：任取，该函数在定义域R上是减函数.（3）原函数零点的问题等价于方程，由为奇函数，知，即方程有解，当时函数存在零点.【点睛】关键点点睛：（1）由
15、奇函数的性质求参数；（2）利用函数单调性的定义证明并判断函数在定义域上单调性；（3）根据函数的零点以及函数的奇偶性列方程求参数范围.15（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据题意，设，根据，可求出的值，即可得出的解析式；（2）将原不等式恒成立转化为任意，成立，即，再利用基本不等式求的最小值，从而得出的取值范围；（3）根据题意得出，对称轴，分类讨论求出的最小值，从而得出，再根据方程有两个不等的根，令，即，作出的简图，再结合两函数的交点个数，从而可求出的取值范围.（1）解：是二次函数，其两个零点分别为-3、1，且，可设，则，解得：，.（2）解：由（1）得，由，得，所以任意，成立，即，由基本不等
16、式，得（当且仅当时，等号成立），所以最小值为6，所以，实数的取值范围.（3）解：由题可知，对称轴，当，即时，在区间单调递增，；当，即时，在区间单调递减，；当，即时，的最小值为，；由于方程有两个不等的根，则函数零点即为方程的根令，即，作出的简图如图所示：当时，有唯一解，解得：，有1个零点；当时，有两个不同解，解得：或，有2个零点；当时，解得：，有1个零点；当时，无解，无零点；综上：当时，方程有两个不等的根，即的取值范围为.16（1）；（2）；（3）【分析】（1）将函数化简再根据单调性即可得函数的值域；（2）根据的解析式，将代入化简，即可得到的值.（3）令，根据得出的取值范围，由题意可得关于的方程
17、在区间有两解，且有两个不等根，只有一个根，列出不等式组得出的范围.【详解】（1）在区间上严格减，而，故函数的值域为（2）因为在单调递减，在单调递增， ，则有，即故，所以（3）令，由（1）知令，因为在单调减，在单调递增，且，则当时，方程有两个不等根，由（2）知，且两根之积为1；当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1.令，由二次函数与的图象特征，原题目等价于：对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，且有两个不等根，只有一个根，则必有或且，当时，结合二次函数的图象，则有，解之得，当且，则，此时无解.综上所述，实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题主要考查的是利用函数的单调性求函数值域，以及对数函数方程的零点以及复合函数零点的求法，解题的关键是确定方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.答案第21页，共21页
