1、高中数学北师大版（2019）必修第一册第二章函数培优专练4第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1设单调递增函数满足：对任意，均有，则（ ）ABCD2设函数，若存在实数，使在上的值域为，则实数m的取值范围是（ ）ABCD3设f（x）是定义在R上的偶函数，在0，+）上单调递增.若af（），bf（），cf（2），则a，b，c的大小关系是（ ）AabcBbcaCcbaDcab4已知是定义在R上的奇函数，满足，当时，则下列结论错误的是（ ）A方程=0最多有四个解B函数的值域为C函数的图象关于直线对称Df(2020)=05黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，
2、在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，则（ ）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.A的值域为BCD以上选项都不对6若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）ABCD二、多选题7对，表示不超过的最大整数，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中正确的是（ ）A, B, C函数（）的值域为D若, 使得，,同时成立，则整数的最大值是58定义：若函数在区间上的值域为 ，则称区间是函数的“完美区间”，另外，定义区间 的“复区间长度”为，已知函数，则（ ）A是的一个“完美区间”B是 的一个“完美区间”C
3、的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为D的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9设则取到最小值时_10已知函数和.若对任意的，都有使得，则实数的取值范围是_.11设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是_.12已知函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是_四、解答题13已知函数，为常数（1）当时，求函数的值域；（2）设是两个实数，且，若函数的单调递减区间为，且，求的取值范围14函数对定义域上任意满足：.（1）求的值；（2）设关于原点对称，判断并证明的奇偶
4、性；（3）当时，证明在上是增函数.15若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依附函数”.由“依附函数”的定义，我们易得到：如果函数在定义域上是“依附函数”，则.（1）若函数在定义域上是“依附函数”，求的值；（2）已知函数在定义域上为“依附函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.16已知函数为奇函数.（1）求a的值;（2）求函数在 上的值域试卷第3页，共3页参考答案1C【分析】可先证明一个引理：如果存在，使得，则任意，总有，再根据这个引理分析的取值，从而可得正确的结论.【详解】因为，故或，所以或，证明一个引理：如果存在，使得，则任意，
5、总有.用反证法证明如下：假设存在，有，由可得，对任意的，则有，而或，故，又或，若，则即，与矛盾；故任意的，总有.因为，故存在非负整数，使得.由前述证明可知：同理有：任意的，总有；任意的，总有； 任意的，总有；这样矛盾，故引理得证.又或，若，由引理可得当时，此时，此时排除BD.若，此时，此时排除A.因为或，此时总有，故选：C.【点睛】思路点睛：给定抽象函数的单调性及函数值的取值集合的问题，可根据函数值的形式结合单调性猜测并证明一个引理，从而便于问题的处理.2A【分析】由题设可知该复合函数在区间上单调递减，则可得，.由这两式联立可转化得，以及，记，代入整理后可得，最后根据二次函数值域的求法，再结合
6、题中对的限制条件（），即可求出最终结果.【详解】由得，且由复合函数的单调性可知函数为减函数，故有，两式相减可得，即，则，两式相加可得，记，故有，代入可得，又因为，且均为非负数，故，则由二次函数的值域可得：当或时，取到最大值，但当时，与矛盾，则取不到最小值，所以的取值范围是.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用换元法，将表示成关于的二次函数，进而求出的取值范围.3D【分析】根据对数性质比较大小，结合函数单调性和奇偶性即可得解.【详解】因为，且函数f（x）为偶函数，所以af（），bf（），cf（2）.易知，且函数f（x）在0，+）增函数，所以bac.故选：D.【点睛】此题考查函数奇偶性和
7、单调性的综合应用，根据单调性和奇偶性比较函数值的大小，关键在于准确得出对数的大小关系.4A【分析】由已知可分析出函数的对称轴以及周期，值域，进而可以判断，是否正确，而选项，需将方程根的问题转化为函数的零点问题进行求解即可【详解】由可得：，则，所以函数的周期为2，所以，正确，排除D；再由以及，所以，则函数的对称轴为，正确，排除C；当时，又函数是奇函数，时，即时，又因为函数的对称轴为，所以时，所以时又因为函数的周期为2，所以函数的值域为，正确，排除B；故选：【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的奇偶性、函数的奇偶性、函数的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学
8、们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.5B【分析】设，（，且，为互质的正整数） ，Bx|x0或x1或x是0，1上的无理数，然后对A选项，根据黎曼函数在上的定义分析即可求解；对B、C选项：分，；，；或分析讨论即可【详解】解：设，（，且，为互质的正整数），Bx|x0或x1或x是0，1上的无理数，对A选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数，故选项A错误；对B、C选项：当，则，；当，则，0；当或，则，所以选项B正确，选项C、D错误，故选：B.【点睛
9、】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数在上的定义去分析.6C【分析】根据二次函数性质可确定其最小值为，由可求得，；由此根据值域可确定函数定义域，即可得到的取值范围.【详解】为开口方向向上，对称轴为的二次函数令，解得：， 即实数的取值范围为故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数的值域求解函数的定义域的问题，关键是能够确定最值点的位置，根据函数的性质可确定定义域.7ACD【分析】由定义得，可判断A；由，得，可判断B；由，得得函数的值域，可判断C；根据，推出不存在同时满足，而时，存在满足题意，可判断D.【详解】由定义，所以 若，A正确；，B错误；由定义，函数的值域是，C正确；若，使得同
10、时成立，则，因为，若，则不存在同时满足，只有时，存在满足题意，正确.故选：ACD【点睛】本题考查取整函数定义，正确理解定义是解题基础性质1 对任意xR，均有x-1xxx+1；性质2 取整函数(高斯函数)是一个不减函数，即对任意x1，x2R，若x1x2，则x1x2；性质3若x，yR，则x+yx+yx+y+1；性质4若nN+，xR，则nxnx；性质5若nN+，xR+，则在区间1，x内，恰好有x/n个整数是n的倍数；利用性质解决问题8AC【分析】根据定义，当时求得的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、D，讨论与两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.【详解】对
11、于A，当时，则其值域为，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；对于B，因为函数，所以其值域为，而，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；对于C，由定义域为，可知，当时，此时，所以在内单调递减，则满足，化简可得，即，所以或，解得（舍）或，由解得或（舍），所以，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；当时，若，则，此时.当在的值域为，则，因为 ，所以，即满足，解得，（舍）.所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；若，则，此时在内单调递增，若的值域为，则，则为方程的两个不等式实数根，解得， 所以，与矛盾，所以此时不存在完美区间.综上可知，函数
12、的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；故选：AC.【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.9【分析】对分类讨论去掉绝对值符号，分别求出所对应的最小值，即可得解，【详解】解：因为当时，所以当时函数取值最小值；当时，所以当时函数取得最小值；当时，当时因为，所以当时，随增加而变大；当时，因为，所以当时，随增加而变小；所以当时，有最小值故答案为：【点睛】本题考查函数的最小值的计算，考查分类讨论思想，属于中档题.10【分析】根据题意将条件转化为集合之间的包含关系，结合函数图象即可求解.【详解】由题意得， ,并且对于
13、值域中的每一个数，都有至少两个不同数和，使得成立.当时， 在上单调递减，显然，此种情况不成立.当，在上的值域为，由的函数图象可知，只要使得，则解得.当时，在上的值域为，由的函数图象可知，要满足即可，得，综上所述，.故答案为：.【点睛】本题主要考查根据集合间的包含关系求参数的取值范围的问题，结合函数图象可更好的理解题意，属于能力提升题.11【分析】根据定义及函数的单调性，可得方程有两个不等的实数根，构造函数，通过求导求得极值点，代入，求得的最大值，进而可求解.【详解】解：因为函数为“倍胀函数”，且定义域为，所以存在，使在上的值域为.因为为增函数，所以，所以方程有两个不等的实数根.令，则，令，解得
14、.易知在上单调递增，在上单调递减，所以.易知当时，当时，所以要使方程有两个不等的实数根，只需，得，所以t的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，方程的根等，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于较难题.试题以新定义函数为切入点，围绕函数的定义域与值域的关系设题，引导考生将已知条件转化为方程的根进行求解，思维层次较高，考查逻辑推理、直观想象，数学运算等核心素养.12【分析】设，求出函数的两个零点，且，将函数化为分段函数，分类讨论，当时，可知函数在区间上不可能单调递增；当时，根据的范围可知恒满足函数在区间上单调递增，根据解析
15、式可知在上单调递增，再由可解得结果.【详解】设，其判别式，所以函数一定有两个零点，设函数的两个零点为，且，由得，所以函数，当时，在上单调递减或为常函数，从而在不可能单调递增，故，当时，所以，所以，因为在上单调递增，所以在上也单调递增，因为在和上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以在上单调递增，欲使在上单调递增，只需，得，综上所述：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：求解关键有2个：利用的零点将函数化为分段函数；分类讨论，利用分段函数的单调性求解.13（1）；（2）.【分析】（1）依题意，再讨论x的正负去掉绝对值分段求值域，最后取并集即得结果；（2）先进行换元，令得函数为，再讨论a
16、的符号，分别研究函数的减区间，得到当时，结合二次函数特征，仅当时减区间为符合题意，代入计算，即得结果.【详解】解：（1）时，当时，易见是增函数，故值域为，当时，令，函数为，故值域为，而，故函数的值域为；（2）令，则函数为，当时，无单调减区间，故不符合题意；当时，在上是减函数，而是增函数，故在上是减函数，不符合题意；当时，当且仅当时即时，在上是减函数，即时，是减函数，此时，故，解得，故，所以的取值范围是.【点睛】本题解题关键是换元法和绝对值问题的处理方法，通过换元法，进行分类讨论，将根式转化成二次函数单调性问题来探究，以突破难点.14（1）0；（2）奇函数；证明见解析；（3）证明见解析.【分析】
17、（1）直接令，即可求得的值；（2）令，利用奇函数的定义即可证明；（3）利用增函数的定义证明即可.【详解】解：(1)令， ， ， ；(2)由题意知：关于原点对称，令， ，即对定义域内的任意实数都成立，是定义域内奇函数 ；(3)设 ， ，又 ， ， ， ，即，在上递增.【点睛】易错点点睛：证明函数奇偶性要注意定义域是否关于原点对称.15（1）；（2）最大值为.【分析】（1）由“依附函数”的定义得可求；（2）可得时不满足，当时，根据定义可求得，不等式化为关于的不等式恒成立，利用得出得，求出得的最大值即可得出.【详解】（1）因为在递增，故，即，解得.（2）若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；若，故在上单调递减，从而，解得(舍)或.从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立，即恒成立，由，得，由，可得，又在单调递减，故当时，从而，解得，综上，实数的最大值为.16（1）5（2）答案见解析【分析】（1）由奇函数的定义即可求解；（2）由题可得函数的图象可得函数的单调增区间，再通过分类讨论结合二次函数的图象及性质即求.（1）当时，此时，因为函数为奇函数，所以，即，解得；（2）由（1）知，如图所示：如图所示，图象两侧虚线对应的对称轴分别为和，当时， ，函数在 上的值域为；当时， ， ，函数在 上的值域为；当时， ， 函数在 上的值域为.答案第15页，共16页
