1、第十二章全等三角形专题训练(五)构造全等三角形的常用技巧类型一利用类型一利用“角平分线角平分线”构造全等三角形构造全等三角形角平分线涉及的辅助线作法较多角平分线涉及的辅助线作法较多，在本章中在本章中，常用到的基本模型有如常用到的基本模型有如下三种下三种(AD为为MAN的平分线的平分线，均有均有PAB PAC)：(一一)结合结合“过角平分线上一点作角两边的垂线过角平分线上一点作角两边的垂线”模型构造全等三角形模型构造全等三角形1如图，已知如图，已知AOB90，OM是是AOB的平分线，将三角尺的直的平分线，将三角尺的直角顶点角顶点P在射线在射线OM上滑动，两直角边分别与上滑动，两直角边分别与OA，
2、OB交于点交于点C，D.求证：求证：PCPD.2如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，BCBA，ADCD，若，若BD平分平分ABC，求证：求证：AC180.方法方法2：结合结合“过角平分线上一点作角平分线的垂线过角平分线上一点作角平分线的垂线”模型来构造全等模型来构造全等三角形三角形3如图，如图，BD是是ABC的平分线，的平分线，ADBD，垂足为，垂足为D，求证：，求证：BADDACC.证明：延长证明：延长AD交交BC于点于点E，ADBD，ADBBDE90.BD是是ABC的平分线，的平分线，ABDEBD.又又BDBD，ABD EBD，BADBED，BEDDACC，BADDACC4如图，在
3、如图，在AOB中，中，OAOB，AOB90，BD平分平分ABO交交OA于点于点D，AEBD于点于点E.求证：求证：BD2AE.类型二利用类型二利用“截长补短法截长补短法”构造全等三角形构造全等三角形5如图所示，如图所示，ABCD，BE，CE分别是分别是ABC，BCD的平分线，点的平分线，点E在在AD上，求证：上，求证：BCABCD.(提示：在提示：在BC上截取上截取BF，使，使BFBA，连，连接接EF)证明：在证明：在BC上截取上截取BFAB，连接，连接EF.先用先用SAS证证BAE BFE，得，得AEFB.又又ABCD，AD180，又，又EFBEFC180，DEFC，再用，再用AAS证证EF
4、C EDC，FCCD，BCBFFCABCD6如图，在如图，在ABC中，中，ABC60，AD，CE分别平分分别平分BAC，ACB，AD，CE相交于点相交于点O.(1)求求AOC的度数；的度数；(2)求证：求证：ACAECD.类型三利用类型三利用“倍长中线法倍长中线法”构造全等三角形构造全等三角形如果问题中的有关线段比较分散如果问题中的有关线段比较分散，同时条件中又含有三角形的中线同时条件中又含有三角形的中线(或或中点中点)，此时常将中线此时常将中线(或过中点的线段或过中点的线段)延长一倍后再与原三角形的某一延长一倍后再与原三角形的某一顶点连接顶点连接，以构成以构成“8”字形的全等三角形字形的全等
5、三角形倍延中线倍延中线7如图，在如图，在ABC中，中，D为为BC的中点的中点(1)求证：求证：ABAC2AD；(2)若若AB5，AC3，求，求AD的取值范围的取值范围解：解：(1)证明：延长证明：延长AD至点至点E，使，使DEAD，则，则AE2AD，连接，连接BE.D为为BC中点，中点，CDBD，又，又ADED，ADCEDB，ADC EDB(SAS)，BEAC，又又ABBEAE，ABAC2AD(2)ABBEAEABBE，ABAC2ADABAC，又，又AB5，AC3，22AD8.1AD4倍延过中点的线段倍延过中点的线段8如图，在如图，在ABC中，中，D是是BC边上的中点，边上的中点，DEDF，D
6、E交交AB于点于点E，DF交交AC于点于点F，连接，连接EF.求证：求证：BECFEF.证明：如图，延长证明：如图，延长ED到点到点G，使，使DGED，连接，连接CG，FG，CDBD，CDGBDE，DGDE，DCG DBE(SAS)，CGBE，再证再证DEF DGF(SAS)，FGFE，在在CFG中，中，CGCFFG，BECFEF类型四根据类型四根据“一线三等角一线三等角”构造全等三角形构造全等三角形如图，两种基本模型中如图，两种基本模型中“一线一线”指直线指直线l，“三等角三等角”指指BACADBAEC(一般情况下都等于一般情况下都等于90)，则有结论则有结论13或或24.9已知在已知在ABC中，中，BAC90，ABAC，将，将ABC放在平面直放在平面直角坐标系中，如图所示角坐标系中，如图所示(1)如图，若如图，若A(1，0)，B(0，3)，求，求C点坐标；点坐标；(2)如图，若如图，若A(1，3)，B(1，0)，求，求C点坐标；点坐标；(3)如图，若如图，若B(4，0)，C(0，1)，求，求A点坐标点坐标
