1、第六章 反比例函数反比例函数6.2反比例函数的图象与性质（第2课时 反比例函数的性质）1.掌握反比例函数的图象和性质.(重点)2.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.(重点)3.理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活 运用于坐标系中图形的面积计算中.(重点、难点)4.能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.(重 点、难点)学习目标学习目标 反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质是什么？能类比前面学习的一次函数得到吗？反比例函数的图象是双曲线复习引入问题1 问题2 导入新课导入新课例1 画反比例函数 与 的图象.合作探究6yx12yx提示：画函数的图象步骤一般分为：列表描点连线
2、.需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.讲授新课讲授新课反比例函数的性质知识点知识点1解：列表如下：x 6543 2 1123456 6yx12yx1 1.2 1.5 2 3 6 6 32 1.5 1.2 12 2.4 3 4 6643 2.4 21212O2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点56xy43211 2 3 4 5 6341561234566yx连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得 的图象6yx12yx观察这两个函数图象，回答问题：思考：(1)每个函数图象分别位于哪些象限？(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式
3、说明理由吗？(3)对于反比例函数 (k0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？kyx由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.反比例函数 (k0)的图象和性质：kyx观察与思考 当 k=2，4，6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k0)的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k0)的图象和性质吗？kyxkyxkyxyxOyxOyxO2yx4yx6yx反比例函数 (k0)的图象和性质：kyx由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y轴都
4、不相交；在每个象限内，y随x的增大而增大.归纳：(1)当 k 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；(2)当 k”“”或“=”).练一练2yx 例2 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.271aayax 解：由题意得a2+a7=1，且a10 解得 a=3.反比例函数的图象和性质的初步运用知识知识点点2练一练 已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值21038mymx解：由题意得 m210=1，且 3m80 解得 m=3.例3 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？
5、y 随 x 的增大如 何变化？解：因为点 A(2，6)在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.(2)点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？122445解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A(2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k=12.kyx62k因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.所以反比例函数的解析式为 .12yx(1)图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？Oxy例4 如图，是反比例函数 图象的一支.
6、根据图象，回答下列问题：5myx解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限.由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m50，解得m5.(2)在这个函数图象的某一支上任取点 A(x1，y1)和 点B(x2，y2).如果x1x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？解：因为 m5 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1x2时，y1y2.练一练已知反比例函数 的图象经过点 A(2，3)(1)求这个函数的表达式；kyx解：反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，把点 A 的坐标代入表达式，得 ，kyx32k 解得 k=6.这个函
7、数的表达式为 .6yx(2)判断点 B(1，6)，C(3，2)是否在这个函数的 图象上，并说明理由；解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上(3)当 3 x 0，当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小，当 3 x 1 时，6 y 2.1.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：4yx合作探究反比例函数解析式中 k 的几何意义知识知识点点35123415xyOPP(2，2)Q(4，1)S1的值
8、S2的值 S1与S2的关系猜想 S1，S2 与 k的关系4yx 4 4S1=S2S1=S2=k5432143232451QS1的值 S2的值S1与S2的关系猜想与 k 的关系P(1，4)Q(2，2)2.若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：4yx4yx4 4S1=S2S1=S2=kyxOPQ由前面的探究过程，可以猜想：若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.xky yxOPS我们就 k 0 的情况给出证明：设点 P 的坐标为(a，b)AB点 P(a，b)在函数 的图象
9、上，kyx ，即 ab=k.kba S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k；若点 P 在第二象限，则 a0，若点 P 在第四象限，则 a0，bSBSC B.SASBSCC.SA=SB=SC D.SASC0)图像上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的垂线 CD，垂足为 D，连接 OC交 PA 于点 E.设 POA 的面积为 S1，则 S1=；梯形CEAD的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.典例精析4yx2S1S2S3 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是A
10、B 上的点，AOC 的面积 S1、BOD 的面积 S2、POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1=S2 S3练一练解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1=S2.PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，SOFE=S1=S2，而 S3SOFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1=S2 S3FS1S2S3yDBACx例6 如图，点 A 是反比例函数 (x0)的图象上任意一点，AB/x 轴交反比例函数 (x0)的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD=_.2yx3yx 325 如图所示，在平面直角坐标系中，过点 的直
11、线与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数 (x0)和 (x0)的图象交于点P，Q，若POQ 的面积为 8，则k=_.6yxkyxQPOxMy10练一练例7 如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在双曲线 上，且 x2x1=4，y1y2=2.分别过点 A，B 向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 C，D，E，F，AC 与 BF 相交于 G 点，四边形 FOCG 的面积为 2，五边形 AEODB 的面积为 14，那么双曲线的解析式为 .kyx解得 k=6.双曲线的解析式为 .6yx解析：x2x1=4，y1y2=2，BG=4，AG=5，SABG=452=10.由反比例函数面积的不变性可知，
12、S长方形ACOE=S长方形BDOF=k.S五边形 AEODB=S四边形ACOE+S四边形BDOF S四边形FOCG+SABG=k+k 2+4=14.6yx 如图，已知点 A，B 在双曲线 上，ACx 轴于点C，BDy 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC 的中点，若ABP 的面积为6，则 k=.24练一练kyxE F SABP=S四边形BFCP，=(S四边形BDOFS四边形OCPD)=(k k)=k=6.k=24.1212121214 1.已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则m的取值范围是_.2.下列关于反比例函数 的图象的三个结论：(1)经过点(1，12)和点(10，
13、1.2)；(2)在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；(3)双曲线位于二、四象限.其中正确的是 (填序号).(1)(3)2myxm 212yx 随堂练习随堂练习A.4 B.2 C.2 D.不确定3.如图所示，P 是反比例函数 的图象上一点，过点 P 作 PB x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上，ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ()kyxOBAPxyA4.已知反比例函数 y=mxm5，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值.解：因为反比例函数 y=mxm5 的两个分支分别在第 一、第三象限，所以有m25=1，m0，解得 m=2.5.已知反比例函数 的图象经过点 A(2，4)
14、.(1)求 k 的值；kyx解：反比例函数 的图象经过点 A(2，4)，把点 A 的坐标代入表达式，得 ，kyx42k 解得 k=8.(2)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化?解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大.(3)画出该函数的图象；Oxy解：如图所示：(4)点 B(1，8)，C(3，5)是否在该函数的图象上？因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标不满足该解析式，所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上.解：该反比例函数的解析式为 .8yx 6.如图，反比例函数 与一次函数 y=x+2 的图象交于
15、A，B 两点.(1)求 A，B 两点的坐标；AyOBx8yx 解：8yx ，y=x+2，解得 x=4，y=2 所以A(2，4)，B(4，2).或 x=2，y=4.作ACx轴于C，BDx轴于D，则AC=4，BD=2.(2)求AOB的面积.解：一次函数与x轴的交点为M(2，0)，OM=2.OAyBxMCDSOMB=OMBD2=222=2，SOMA=OMAC2=242=4，SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.反比例函数的性质性质反比例函数图象中比例系数k的几何意义当k0时，在每一象限内，y的值随x的增大而减小.当k0时，在每一象限内，y的值随x的增大而增大.课堂小结课堂小结古风XXXX设计PP
16、T模版XXXX陌芦殇，半是残花香，长门清宫人不唤，古韵一胜逝一江秋水寒，莫问卿，忆解难古韵二丝三千落腰间，风尘三千落满地，烦丝三千落何处？古韵三古韵中国古韵中国清风舞明月，幽梦落花间。世繁华，怎敌我浊酒一杯？前尘旧梦，不若笑醉一回。忆苍茫，罂粟纷纷飘香。雪入窗，今夜无月亦无殇。谁拾弹指雪花？谁痴红颜刹那？谁饮一壶月光？谁酒三尺惆怅泪溶了雪，恰如流年负了青春举杯独醉，饮罢飞雪，茫然又一岁只叹伊人已去，余生茫茫。古韵中国古韵中国清风舞明月，幽梦落花间。世繁华，怎敌我浊酒一杯？前尘旧梦，不若笑醉一回。忆苍茫，罂粟纷纷飘香。雪入窗，今夜无月亦无殇。谁拾弹指雪花？谁痴红颜刹那？谁饮一壶月光？谁酒三尺惆怅泪溶了雪，恰如流年负了青春举杯独醉，饮罢飞雪，茫然又一岁只叹伊人已去，余生茫茫。夜静谧，佳人为何泪悄落，一丝纠缠，谁倾了天涯的思念，道是相思不成双，抹不去别离相思，留不下相思别离，终是缠绵开始，陌路离去；古韵风味
