1、 第十九讲 数论问题知识点梳理知识点梳理 我们常见的形式有数字谜，计数，行程，综合应用题等。涉及到我们学过的因数、倍数、余数、分解质因数、整除性等知识点。所以要求同学们一定打好基础，熟练掌握，才能灵活应用。解决数论题目的主要方式就是分解质因数(把合数表示质数乘积的形式)，我们一定要有分拆、分解、分类讨论的思想意识。一、一、整除的特征：整除的特征：（1）2的倍数特征：末位数是0、2、4、6、8的数.（2）3、9的倍数特征：各位数之和是3的倍数或9的倍数.（3）5的倍数特征：末位数是0或5.（4）4的倍数特征：末两位数是4的倍数.（5）8的倍数特征：末3位数是8的倍数.（6）11的倍数特征：奇位数
2、字之和与偶位数字之和的差是0或11的倍数.二、分解质因数：指的就是把一个合数表示成质数乘积的形式的过程。唯一分解定理：那么N的因数个数n=（1+p1）(1+p2)(1+pn)三、辗转相除法 辗转相除法主要针对两个较大数求最大公因数而言的。就是用其中较大数除以较小数，得余数r1;接下来每一步都用上一步的除数除以余数r2以此类推，直到除尽为止，最后一步除数就是它们的最大公因数。不同的质因数）为、NaaaaaaaNnpnpppn21321(321典型例题精讲典型例题精讲例例1.9600共有多少个因数？解解 析析 9600=因数个数=（7+1）（1+1）（2+1）=48（个）53227例例2.七位数A
3、1994BC能被9,5和8整除，试确定数字A、B、C的值。解解 析析（1）此七位数可被5整除,则个位必须为0或5;此七位数又可被8整除,则个位数C一定是0.（2）七位数可被8整除,则后三位数4B0可被8整除,故B只能为0、4或8。（3）七位数又能被9整除,则各位数字之和可被9整除.故当B=0时,A=4;当B=4时,A=9;当B=8时,A=5.所以符合条件的七数为4199400、9199440或5199480。原数：原数：A1994BC例例3.求2821和1519的最大公因数。解解 析析辗转相除法求最大公因数28211519=1130215191302=12171302217=6（2821,15
4、19）=217例4.有一个三位数，被4除余1，被5除余4，被7除余2，这个数最小是多少？解解 析析 设这个数为X,X4=A1 X5=B4 X7=C2 每个算式中，每次商减一，余数就增加一个除数，这样可以得到同余是“9”，再求4、5、7的最小公倍数是140，再加9等于149。例5.要使1858413552（）乘积的末五位数都是0，（）中应填入的自然数最小值是多少？解解 析析 要使乘积末五位都是0，就要使这五个因数中有5个2和5个5。所以要把这四个数分解质因数，看缺少几个5和几个2，括号里就填出它们的乘积。解:185=537 共有4个2和2个5 135=527 缺少3个5和1个2 84=2221
5、5552=250 52=2213 答：括号里填250。例6.有一个整数，用它去除70、110、160所得的三个余数之和是50，这个整数是多少？解解 析析 把三个数加起来的和减去50，把所得的差分解，可以求出这个整数。70+110+160-50=290 290=2910 这个整数就是29。例7.四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克如下:8、9、10、11、12、13。已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?解解 析析每个瓶子称3次，所以把称量的结果之和除以3得到各称量一次的和。8+9+10+11+12+13=63（千克），63
6、3=21（千克），21=19+2，所以油重19千克，四只瓶子共重2千克，每只瓶重25=0.5千克，最重的是13-0.52=12千克。例8.商店有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中的5箱，其中一个顾客买走的货物质量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的这箱货物重多少千克？解解 析析因为拿走的一定是3的倍数，把所有的数加起来，再减去20才是3的倍数，所以，剩下的是20千克。15+16+18+19+20+31=119千克 1+1+9=11 11不是3的倍数，11-2=9 ，9是3的倍数。答：剩下的是20千克。例9.两个自然数的积是5766，这两
7、个数的最大公因数是31，求这两个数。解解 析析 两个数的乘积等于最大公因数和最小公倍数的乘积，所以，用它们的积除以最大公因数等于最小公倍数，再用最小公倍数除以最大公因数，将得数分解质因数，再乘以最大公因数就是所求的这两个数，注意讨论符合条件的数可能不止一组。57663131=6 6=23=16 131=31,631=186;231=62,331=93 答案有两组：31,186和62,93，例10.某校2012年的学生人数是个完全平方数，2013年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数。该校2013年的学生人数是多少人？解解 析析 设2012有学生 人，2013年有学生 人，（y+x)(y-x)=101 101=1011 y=51 x+y=101 x=50 y-x=1 5151=2601（人）1011012222XYYXX2Y2课后作业课后作业2001个连续的自然数之和为abcd，若a、b、c、d都是质数，则a+b+c+d的最小值是多少？
