1、OBA复习回顾：复习回顾：已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b，则AOB=(0 180)叫做向量a与b的夹角。当0时，a与b同向；OAB 当180时，a与b反向；OAB 当90时，称a与b垂直，记为ab.BOAab注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的练习：练习：在 中，找出下列向量的夹角：ABC ABC(1);ABAC 与(2);ABBC 与(3)ACBC 与.任意两个向量都可以进行加,减运算,同时两个向量的和与差仍是一个向量,并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算,我们自然会提出,任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此,我们从理论上进行
2、相应分析.Fs cosWFS cosFSFS cosab a b 新课引入:我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移S(如图)其中是F与S的夹角，那么力F所做的功W，可以用如下式子计算：规定:零向量与任一向量的数量积为0。ab=|a|b|cos 已知两个非零向量a 与 b,它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作:a.b 注意：向量的数量积是一个数量。0=0a 即即(2)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定；定义理解：(1)a b不能写成 ab,ab 表示向量的另一种运算ab=|a|b|cos 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为
3、正，什么时候为负？ab=|a|b|cos当0 90时ab为正；当90 180时ab为负。当=90时ab为零。ababa b已知|=5,|=4,与 的夹角=120，求。解：cosa ba b|5 4 cos120 15 4()2 10 cosa ba b =|aba bab已知|=5,|=4,=-10，求 与 的夹角。cos|a ba bOABab 1B平面向量的数量积的几何意义OAa OBb 作，过点B作1BB垂直于直线OA，|b|cos叫向量 b 在 a 方向上的投影.cos abab 平面向量的数量积的几何意义是:1B 1OB|b|cos垂足为 ，则a b 等于a的长度|a ba 在 方向
4、上的投影与|cosb 的乘积。cos=|a bba 平面向量的数量积的几何意义OABab 1BBOAab 1BOABab)(1B为锐角时，|b|cos0为钝角时，|b|cos0为直角时，|b|cos=0 为 时,它是|b|0。OABbaOABba 为 时,它是-|b|180。设、ab是非零向量，eb是与方向相同的单位向量，ae是 与的夹角，则(1)|cose aa ea (2)0aba b (3)|;aba ba b 当 与 同向时，|;aba ba b 当 与 反向时，特别地2|a aa|aa a或2a (4)cos|a bab (5)|a bab OAB abB1|co sabab cos
5、a ba b=|真假 假 假,0;,0;,0,:0.ba bba ba ba ba b 若若a=0a=0.则则对对任任一一向向量量都都有有若若a0 则a0 则对对任任一一非非零零判判断断下下列列命命题题的的向向量量有有若若a0则a0则b=0b=0若若则则、中中至至少少有有一一个个为为0 0真真假假00a00a真假 假真/a ba ba b若 ，则ac0b a bbc ,:1ADBC 因为与平行且方向相同解0.ADBC 与的夹角为cos03 3 19AD BCADBC 29AD BCAD 或BACD60 ,4,3,60,:1.ABCDABADDABAD BC 例1.如图在平行四边形中已知求 2.
6、AB CD 3.AB DA 2.,ABCD 与平行解:且方向相反180ABCD 与的夹角是 cos1804 4611AB CDABCD 216AB CDAB 或BACD60 ,4,3,60,:1.ABCDABADDABAD BC 例1.如图在平行四边形中已知求 2.AB CD 3.AB DA 3.60,ABAD 与的夹角是解:120ABDA 与的夹角是6cos12014 32AB DAAB DA 120 BACD60 进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角 ,4,3,60,:1.ABCDABADDABAD BC 例1.如图在平行四边形中已知求 2.AB CD 3
7、.AB DA (1)已知 ，则向量 在向量 上的投影为。(2)已知ABC中 ,当 时,ABC是 什么三角形？12a b ,43,ab a b,ABaCAb 0a b 4钝角三角形|3,|4,|5ABBCCA (3)已知平面上三点A,B,C满足 则 的值等于 。AB BC BC CA CA AB 25练习一：(4)1,20,|,ABCOOAABACOAABCA CB 的外接圆半径为 圆心为且则3练习一：(5),1,2,()()4444.9339 ABCMBCAMPAMAPPMAPPBPCABCD在中是的中点点 在上且满足则 A4.数量积的运算律：交换律:a bb a 数乘的结合律:()()()a
8、ba bab 分配律:()abca cb c 注意:数量积不满足结合律:()()a bcab c 即(3)()abca cb c 1 2ABOA1B1Cabc 证明:在平面内取一点 ，作 ,，OOA a ABb OCc ab (即 )在 方向上的投影等于OB c,a b 在 方向上的投影的和，c即12|cos|cos|cosabab 12|cos|cos|cosc a bc ac b ()cabc ac b 即()abca cb c 2222222222,()2,()(-)-.,1()2;2()(-)-;2 a bRabaabbabababa babaa bbababab我们知道，对任意,恒有
9、对任意向量.是否也有下面类似的结论例、？2221()()()2;abababa aa bb ab baa bb 解:222()(-)-;aba ba aa bb ab bab 例3.0|6,|4,60.:(1)(2)(3)(2)|2|ababababab 已知与 的夹角为求-72600=-=+=2.12baa ba b已知,则 74 13|,|,1,12()2,a babaabab.已知向量,满足且则 与 的夹角=变式训练|3,|4,?ababkakbakb 已知且 与 不共线为何值时向量与互相垂直例4.34k 注意：注意：两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.
10、o5460:2ababkkabab 已知，与 的夹角为,问当 为何值时,向量与练习垂直？解:2ka bab （）（）20ka bab （）（）222120kaka bb 即（）2221cos6020okaka bb （）2125215 42 402kk （）1415k 14215kkabab 当时,向量与垂直。.|2,|1,(23)(2)9.(1)(25)().ababababaab 已知求 与 的夹角；求向量 在上的投影例 3 5 77练习二：A、梯形 B、菱形 C、矩形 D、正方形(1)在四边形ABCDABCD 中,AB BC=0,且AB=DC则四边形ABCD是（）C(2)(1,0)sin
11、,0,2AB,C()().1.1.2.2Alyx xOAOBOCABCD 过点的直线 与函数的图象交于除点外的两点,则C练习二：等边三角形22(4),2,().6423ABCDACBDAB ADBADABCD 在中 若则D(3)在 中,已知|AB|=|AC|=1,且ABC 则这个三角形的形状是12AB AC=,|,0,O N PABCOAOBOCNANBNCPA PBPBPCPCPAO N PABC已知点在所在的平面内，且 则点依次是的 ()CA.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心思考：思考：重要结论：1.,0,.ABCOAOBOCOABC 中 若则 为的重心2.,.ABCOA OBOB OCOA OCOABC中若则为的垂心 3.,0,.ABCOAOBOCOAOBOCABC 中 若且则为等边三角形小结小结:本节课我们主要学习了平面向量数量积性质的应用，常见的题型主要有：1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）2、由数量积求向量的模4、运用数量积的性质判定两向量是否垂直3、由数量积确定两向量的夹角5、判断三角形的形状作业作业:P108 习题2.4A组：1，2，3，6，7.
