1、正方形的面积为正方形的面积为：22ba 四个直角三角形的面积和为：四个直角三角形的面积和为：ab2我们得到一个不等式：我们得到一个不等式：abba222 当直角三角形变为等腰直角三角形，即当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方时，正方形形EFGH缩为一个点，这时有缩为一个点，这时有.222abba一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a，b，我们有，我们有.222abba当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。特别地，如果特别地，如果a0,b0,我们用我们用 ，分别代替分别代替a，b，可得到，可得到ab.2 abba通常，我们把上式写作通常，我们把上式写作).0,0(2b
2、abaab2abab基本不等式基本不等式当且仅当当且仅当a=b时等号成立时等号成立如果如果a,b都是正数，则都是正数，则其中其中 称为正数称为正数a,b的算术平均数的算术平均数2abab称为正数称为正数a,b的几何平均数的几何平均数所以基本不等式也称为均值不等式所以基本不等式也称为均值不等式另为从数列的角度来看，可以把另为从数列的角度来看，可以把 看作是正数看作是正数a,b的等差中项，的等差中项，看作是正数看作是正数a,b的正的等比中项的正的等比中项2abab这样基本不等式又可以叙述为：这样基本不等式又可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项
3、定理定理 如果如果a,b是正数是正数,那么那么abba2)(”号时取“当且仅当 ba证明证明:(1)换元法换元法 分别用分别用 代替代替 ,即可得即可得(2)作差法作差法(3)分析法分析法 要证要证 只要证只要证 只要证只要证 只要证只要证 上式显然成立上式显然成立.当且仅当当且仅当a=b时时,上式中的等号成立上式中的等号成立.所以原定理得证所以原定理得证.abba202abba,ab222abab2abab2abab2()0ab(4)数形结合数形结合 如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,点点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作作垂直于垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、
4、BD.易证易证RtACDRtDCB,则则ABCDEabACDCDCBCabDC 即而这个圆的半径为而这个圆的半径为 ,显然会大于或等于显然会大于或等于CD,即即2ba abba2其中当且仅当点其中当且仅当点C与圆心重合与圆心重合,即即a=b时时,等号成立等号成立.两个概念：两个概念：若若 则则 叫做叫做n个正数个正数的算术平均数，的算术平均数，叫做叫做n个正数的几何平均数个正数的几何平均数,Raaan21naaan 21nnaaa21 3种情况，种情况，5个结论个结论：,2,.a bRababab2.若则当且仅当时“”成立,.2aba bRabab定理：若则当且仅当时“”成立abbaabbaR
5、ba22,22 ，时，有时，有当当abbaabbaRba22,22 ，时，有时，有当当”不成立”不成立，显然“，显然“时，有时，有当当 abbaba20222,(),.2aba bRabab不同形式：1.若则当且仅当时“”成立0,2.abababba3.当时（当时取“”号）1,2.aRaa4.当时等等应用：应用：cabcabcba 2221）求证：）求证：（22)(22)(22)(22)(,222222222baabbaDbabaabCbabaabBbaabbaAbaRba ）（则下列各式中正确的是则下列各式中正确的是且且）设）设（222(,)1122abababa bRab重要结论：B【例例
6、1】(1)(1)用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m100m2 2的矩形菜园，问这的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆长是多少？长是多少？(2)一一段长为段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少面积是多少?解：解：(1)设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m，则，则xy=100，篱，篱笆的长为笆的长为2(x+y)m.2xyxy2 100
7、,xy2()40 xy当且仅当当且仅当x=y时等号成立，此时时等号成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是短，最短的篱笆是40m.(2)设矩形菜园的宽为设矩形菜园的宽为xm，则长为，则长为(36-2x)m，其中，其中 0 x18,解：解：其面积为其面积为:)236(221)236(xxxxS.162836)22362(2122xx当且仅当当且仅当2x=36-2x，即，即x=9时取等号，时取等号，即菜园长即菜园长18m，宽为，宽为9 m时菜园面积最大为时菜园面积最大为162 m2.结论结论1 1：两个正数的
8、两个正数的积为定值积为定值，则，则和有最小值和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。当且仅当两值相等时取最值。结论结论2 2：两个正数的两个正数的和为定值和为定值，则，则积有最大值积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。当且仅当两值相等时取最值。应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件：a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大例题结论例题结论已知已知x,yx,y为正数，为正数，x+yx+y=S,xyS,xy=P=P，则，则 如果如果P P是是_，那么当且仅当，那
9、么当且仅当x=yx=y时，时，S S取得最小值取得最小值_。如果如果S S是是_，那么当且仅当，那么当且仅当x=yx=y时，时，P P取得最大值取得最大值_。定定值值定定值值P24S2【例例2】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为深为3m，如果池底每，如果池底每1m2的造价为的造价为150元，池壁每元，池壁每1m2的造价为的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立分析：此题首先需要由实际问题向数学问题
10、转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。定理。解：解：【例例2】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为深为3m，如果池底每，如果池底每1m2的造价为的造价为150元，池壁每元，池壁每1m2的造价为的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？设水池底面一边的长度为设水池底面一边的长度为xm，则水池的宽为则水池的宽为 ,水池水池的总造价为的总造价为y元，根据题意，得元，根据题意，得
11、x160048001600150120(2 32 3)3yxx 1600240000720()xxxx16002720240000.2976004027202400001600,40,2976000.xxyx当且仅当即时有最小值 因此，当水池的底面是边长为因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是的总造价最低，最低总造价是297600元元课堂练习课本第100页 练习1、2、3、41(1).求函数求函数 的值域。的值域。1yxx补充练习(2).求函数求函数 的值域。的值域。1,(2)yxxx(3).求函数求函数 的值域。的值域。1,(2)yxxx
12、补充练习2.(1)已知已知 ，求函数，求函数 的最大值。的最大值。(2)已知已知 ，且，且 ，求，求 的最小值。的最小值。45x54124xxy0 x0y191yxyx3.求求 函数的值域。函数的值域。4522xxy补充练习3.用边长为用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四 角分别截去一个小正方形，然后做成一个无盖的水箱，问角分别截去一个小正方形，然后做成一个无盖的水箱，问 水箱边长取多少时，水箱容积最大，最大的容积为多少？水箱边长取多少时，水箱容积最大，最大的容积为多少？小 结(1)函数的解析式中，各项均为正数；函数的解析式中，各项均为正
13、数；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正一正二定三相二定三相等等。本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；定值；课后作业课本第课本第100页页 习题习题3.4A组组第第2、3、4题题
