1、5.1.1数列的概念激趣诱思知识点拨李政道博士给中国科技大学少年班的学生出过一道智趣题:5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃了一个桃子,然后将桃子分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第二只猴子又爬起来,吃了一个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;以后的3只猴子都采用了同样的办法.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?激趣诱思知识点拨一、数列1.数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都称为这个数列的项.2.数列按项的个数分类类别含义有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列激趣诱
2、思知识点拨名师点析 数列中的项与集合中的元素的对比(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性.(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性).(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性).(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】激趣诱思知识点拨微思考数列2,3,4,5,6与集合
3、2,3,4,5,6有何区别?提示:数列2,3,4,5,6是按一定的次序排列的,打乱顺序后又产生新的数列;而2,3,4,5,6中元素无论按怎样的顺序排列都是同一个集合.激趣诱思知识点拨微练习下列说法正确的是()A.数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列B.数列1,2,3与数列1,2,3,是同一数列D.2,1,2,1是数列 解析:A中,排列顺序不同,不是同一数列;B中,数列的项数不同,不是同一数列;C是数列.故选D.答案:D5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】激趣诱思知识点
4、拨二、数列的通项1.通项公式一般地,如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an=f(n)来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.2.对数列通项公式的两点说明(1)并非所有的数列都有通项公式;(2)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.激趣诱思知识点拨名师点析 数列的通项公式an=f(n)揭示了数列an的第n项an与n之间的函数关系,体现了数列的本质,即数列项与序号之间的对应关系,一旦知道了数列的通项公式,便可写出数列中的任一项,从而确定数列的取值特点.5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】5.
5、数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】激趣诱思知识点拨微练习先填空,再写出下列各数列an的一个通项公式.激趣诱思知识点拨三、数列与函数的关系1.数列的本质数列an可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】激趣诱思知识点拨2.数列按函数特性分类 类别含义递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列
6、从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数数列(简称为常数列)各项都相等的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】激趣诱思知识点拨名师点析 数列是一种特殊的函数,因此,我们可以借用函数的研究方法来研究数列,但也要时刻注意两者之间的区别:一般函数的定义域为连续区间a,b,而数列的定义域则为离散的正整数集的子集.5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】5.数列的概念-
7、【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】激趣诱思知识点拨微思考是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列?如果存在,请写出一个这样的数列的通项公式.5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】激趣诱思知识点拨微练习已知下列数列:-1,0,1,2,3,4,n.1,-1,1,-1,.6,6,6,6,6.其中递增数列为,递减数列为,常数列为,有穷数列为,无穷数列为(只填序号).答案:5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】5.
8、数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测数列的概念及分类例1已知下列数列:2 015,2 016,2 017,2 018,2 019,2 020;2,4,8,16,32,;-1,-1,-1,-1.其中,有穷数列是,无穷数列是,递增数列是,递减数列是,常数列是,摆动数列是(填序号).5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:为有穷数列且为递增数列;为无穷、递减
9、数列;为无穷、摆动数列;是摆动数列,是无穷数列,也是周期为4的周期数列;为递增数列,也是无穷数列;为有穷数列,也是常数列.答案:反思感悟 判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于递增、递减、摆动和常数列要从项的变化趋势来分析,而有穷和无穷数列则看项的个数是有限还是无限.5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1给出下列数列:(1)20132020年某市高中生人数(单位:万人)构成数列82,93,105,118,1
10、32,147,163,180.(3)-2的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,构成数列-2,4,-8,16,-32,.其中,有穷数列是,无穷数列是,递增数列是,常数列是,摆动数列是.解析:(1)为有穷数列,同时(1)也是递增数列;(2)(3)是无穷数列,其中(2)为常数列,(3)为摆动数列.答案:(1)(2)(3)(1)(2)(3)5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】5.数列的概念-【新】人教B版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测由数列的前几项求通项公式例2写出数列an的一个通项公式,使它的前4项是
11、下列各数:(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9;(4)3,5,3,5.思路分析求数列的通项公式时,是否应考虑将个别项或各项进行适当的变形?数列的通项公式唯一吗?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)任何一个整数都可以看成一个分数,所以此数列可以看作是自然数列的倒数,正负相间用(-1)的幂进行调整,其一个通项公式为探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 1.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项符号特征等.2.观察、分析数列中
12、各项的特点是最重要的,观察出项与序号之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换使问题得到解决,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2写出下列各数列an的一个通项公式:(1)0,3,8,15,24,;(2)1,-3,5,-7,9,;(4)1,11,111,1 111,.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,所以它的一个通项公式是an=n2-1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,是连续的
13、正奇数,并且数列的奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)此数列的整数部分为1,2,3,4,恰好是序号n,分数部分与序号n探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测数列通项公式的应用例3已知数列an的通项公式为an=3n2-28n.(1)写出此数列的第4项和第6项;(2)-49是不是该数列的一项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.68是不是该数列的一项呢?思路分析(1)将n=4,n=6分别代入通项公式,求出数值即可;(2)由3n2-28n=-49和3n2-28n=68,求得n,再通过n是否为正整数判断.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测
14、解:(1)a4=342-284=-64,a6=362-286=-60.(2)由3n2-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),所以-49是该数列的第7项.由3n2-28n=68解得n=-2或n=,均不合题意,所以68不是该数列的项.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 数列通项公式的应用技巧(1)由通项公式写出数列的指定项,主要是对n进行取值,然后代入通项公式,相当于函数中,已知函数解析式和自变量的值求函数值.(2)判断一个数是否为某数列中的项,其方法是由通项公式等于这个数得到一个方程,求该方程的根,根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为该数列中的项.(3)在用函数的有关知识解
15、决数列问题时,要注意它的定义域为正整数集的子集这一约束条件.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究若本例中的条件不变,(1)试写出该数列的第3项和第8项;(2)20是不是该数列的一项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.解:(1)因为an=3n2-28n,所以a3=332-283=-57,a8=382-288=-32.(2)令3n2-28n=20,解得n=10或n=-(舍去),所以20是该数列的第10项.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测判断数列的单调性例4已知函数f(x)=x-.数列an满足f(an)=-2n,且an0.(1)求数列an的通项公式;(2)判断数列an是递
16、增数列还是递减数列,并说明理由.思路分析先根据已知条件解方程求an,再利用作差法或作商法判断数列an是递增数列还是递减数列.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测an+10恒成立,则数列an是递增数列;若an+1-an0恒成立,则数列an是递减数列;若an+1-an=0恒成立,则数列an是常数列.(2)作商比较法探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3若数列an满足an=-n2+2n+9(nN+),则该数列是数列.(填“递增”“递减”或“摆动”)答案:递减 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测数列中的最值问题典例已知数列an的通项公式是a
17、n=(n+1),该数列an有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.思路分析探求数列的最大项可以通过作差或不等式组解决.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an.a1a2a3a11a12,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解得9n10.又nN+,n=9或n=10.该数列中有最大项,为第9、第10项,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测方法点睛 1.利用数列(函数)的单调性可以求数列中的最大(最小)项.一般常用方法为:中的最小项.2.数列是一种特殊
18、的函数,因此在解决数列问题时,可利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题.3.根据数列的特殊性,由于它的定义域是N+或它的有限子集1,2,n,因而它的图像是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.以下四个数中,哪个数是数列n(n+1)中的一项()A.380B.39C.32 D.23解析:n(n+1)是这个数列的通项公式,即an=n(n+1).380=1920=19(19+1),380是该数列中的第19项,或者令n(n+1)=380,得n=19,是整数,符合题意.故选A.答案:A探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检
19、测2.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,中,x的值是()A.19B.20C.21 D.22解析:观察数列可得规律1+1=2,1+2=3,2+3=5,8+13=x=21,13+21=34,x=21,故选C.答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,的一个通项公式为()答案:D 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.(2020上海高二课时练习)已知数列an中,an=-2n2+31n+9(nN+),则an中的最大项为.a7=128,a8=129,a7a8,数列an中的最大项为129.答案:129 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测5.分别写出下列数列的一个通项公式:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)因为数列的各项是负正项交替出现的,所以用(-1)n来调节,数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分,整数部分是1,3,5,7,9,为奇数,分数的分子是1,2,3,4,5,正好是序号,分母是4,9,16,25,36,正好是平方数,这样我们可以归纳出数列的一个通项探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测
