1、第四章第四章 指数函数、对数函数与幂函数指数函数、对数函数与幂函数4 4.1 1.1 1 实数指数幂及其运算实数指数幂及其运算一、有理数指数幂二、实数指数幂三、用信息技术求实数指数幂四、课堂小结五、课后作业 国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%。你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长幸，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？一、有理指数幂 初中我们已经学习了整数指数幂的知识，例如25=22222=
2、32，30=1 531531251一般地，an中的a称为底数，n称为指数整数指数幂运算的运算法则有 aman=，(am)n=，(ab)m=.am+n amnambm尝试与发现 1.阅读课本1-2页，类比二次方根和三次方根，给出四次方根和五次方根的定义。2.思考：n次方根的定义 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn=a，则x称为a的 。n次方根 例如，因为方程x4=81的实数解为3与-3，因此3与-3都是81的4次方根：因为25=32，而且x5=32只有一个实数解，所以32的5次方根为2 根据方程xn=a解的情况不难看出：(1)0的任意正整数次方根均为0，记为 .(2)
3、正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为 ，负的方根记为-；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a0且n为偶数时，在实数范围内没有意义。(3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为 。而且正数的奇数数次方根是一个正数，负数的奇数数次方根是一个负数.当 有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.00nnananananana 一般地，根式具有以下性质：(1)(2)当n为奇数时，当n为偶数时，anan；anananan 例如，.8235235，33434，2727尝试与发现 你能想出一个新的二次根式符号的表示方法，使 成为(am)n=amn的特
4、例，成为ambm=(ab)m的特例吗？请同学们阅读课本第5页，小组之间讨论交流一下。aa2abba 一般地，如果n是正整数，那么：当 有意义时，规定 当 没有意义时，称 没有意义.nann1aanaan1 对于一般的正分数 ，也可作类似规定，即 但值得注意的是，这个式子在 不是既约分数（即m，n有大于1的公约数）时可能会有歧义.例如，是有意义的，而 是没有意义的。因此，以后如果没有特别说明，一般总认为分数指数幂中的指数都是既约分数。nmnmmnmaaannm688262626288负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似，即若s是正分数，as有意义且a0时，规定a-s=as1 现在我们已经将整数指
5、数幂推广到了分数指数幂(即有理数指数幂).一般情况下，当s与t都是有理数时，有运算法则：asat=as+t(as)t=ast(ab)s=asbs 求证：如果ab0，n是大于1的自然数，那么证明证明 假设 ，即 或根据不等式的性质与根式的性质，得 ab矛盾，因此假设不成立，从而利用例1的结论，可以证明（留作练习）：（1）如果as0，s是正有理数，那么asbs；（2）如果a1，s是正有理数，那么as1，a-s1，st0，且s与t均为有理数，那么asatban1n1ban1n1ban1n1ban1n1二、实数指数幂尝试与发现 有理数指数幂还可以推广到无理数指数幂，我们应该怎样理解2这个数呢？请同学们
6、阅读课本6-7页，思考这个问题。一般地，当a0且t是无理数时，at都是一个确定的实数，我们可以用与上述类似的方法找出它的任意精度的近似值。因此，当a0，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义.可以证明，对任意实数s和t，类似前述有理指数释的运算法则仍然成立。典型例题例例1用根式的形式表示下列各式(x0)(1)；(2).解：(1).(2).典型例题例2 计算下列各式的值：(1)(2)33109312553332解：(1)333339131-231211031-231211033103(2)25553-3233-332333251255典型例题例3 化简下列各式：(1)(2)yxyxyx6
7、131211213265415mm2121-12mm解:(1)原式=(2)原式=616106121213113224245524yyxyx2121212122121212122121212212mmmmmmmmmmmm三、用信息技术求实数指数幂 实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得。在GeoGebra中，在“运算区”利用符号“”，就可以得到实数指数幂的精确值或近似值.如图4-1-1所示，前面三个是在符号计算模式下的输入和所得到的结果，后面两个是在数值计算模式下得到的结果。下面我们来求本节情境与问题中的年平均增长率。假设年平均增长率为x，则应该有 (1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)=(1+x)3 从而x=由此可预测2017年的科研和开发机构基础研究经费支出为 221.59(1+15.05%)4388.24（亿元）其他年份的预测值可用类似的方法算出.%05.15114.26%)+14.06%)(1+16.84%)(1+(13四、课堂小结(1)根式的定义(2)分数指数幂的概念(3)有理指数幂的运算性质五、课后作业必做:(1)课本P8练习A(2)课本P8练习B T1,T2。选做：课本P9练习B T3
