1、#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 第第 9 章章 弯弯 曲曲9-1 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图9-3 弯曲正应力弯曲正应力9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究剪力图和弯矩图的进一步研究9-4 求惯性矩的平行移轴公式求惯性矩的平行移轴公式9-5 弯曲切应力弯曲切应力9-6 梁的强度条件梁的强度条件9-7 挠度和转角挠度和转角#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 9-1 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图梁:梁:在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件。在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件。FlAB#工程力
2、学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 lFABabmmxFAFBxyFB l-xAFAxFSMMFSFa-x#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 由上图可知,其横截面上的内力根据截面一边由上图可知,其横截面上的内力根据截面一边分离体的平衡条件有:位于横截面平面内的剪力分离体的平衡条件有:位于横截面平面内的剪力FS 和位于纵向平面内的弯矩和位于纵向平面内的弯矩M。现分析如何求解剪力现分析如何求解剪力FS和弯矩和弯矩M。xyFB l-xAFAxFSMMFSFa-x#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 分析梁左段
3、任意横截面分析梁左段任意横截面mm上的剪力,由上的剪力,由Fy=0,FA-FS=0 而弯矩,则由而弯矩,则由MC(F)=0,M-FA x=0得得M=FA x=Fbx/lFS=FA 得得 xyFB l-xAFAxFSMMFSFa-xCC#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 也可取横截面的右边一段梁作为分离体计算,也可取横截面的右边一段梁作为分离体计算,结果相同,但稍复杂。结果相同,但稍复杂。正负号正负号根据变形情况来确定。根据变形情况来确定。剪剪 力力以使梁的微段发生左上右下的错动者为以使梁的微段发生左上右下的错动者为正;反之为负。正;反之为负。FSFSd x 左
4、上右下错动左上右下错动FSFSd x 左下右上错动左下右上错动#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 弯弯 矩矩以使梁的微段发生上凹下凸的变形,即以使梁的微段发生上凹下凸的变形,即梁的上部纵向受压而下部纵向受拉时为梁的上部纵向受压而下部纵向受拉时为正;反之为负。正;反之为负。上凹下凸变形上凹下凸变形上凸下凹变形上凸下凹变形d xMMd xMM#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 试求下图所示悬臂梁之任意横截面试求下图所示悬臂梁之任意横截面m-m上上的剪力和弯矩。的剪力和弯矩。x lFABmm(a)x lABmmMe(b)思考题思考题
5、9-1#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 思考题思考题9-1参考答案:参考答案:FS=-F M=-Fx(a)(b)FS=0 M=Mex lFABmm(a)x lABmmMe(b)#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 试求图示截面(试求图示截面(1-1、2-2、3-3)上)上的剪力和弯矩。的剪力和弯矩。解:本题可从右边开始求解:本题可从右边开始求解,也可从左边开始求解,也可从左边开始求 解。从右边开始可不求支解。从右边开始可不求支座座A处的反力。处的反力。取右段分析,考虑取右段分析,考虑1-1截截 面,有面,有Fy=0,FS1-2
6、=0,FS1=2 kNMC1(F)=0,-M1-21=0M1=-2 kNm例题例题 9-1BFS1M12 kN C1A1m1mB2 kN 2 kNm112233C#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 取右段分析,考虑取右段分析,考虑2-2截截面,有面,有Fy=0,FS2-2=0,FS2=2 kNMC2(F)=0,-M2-2-21=0 M2=-4 kNm例题例题 9-1B2 kN 2 kNm FS2M2C2A1m1mB2 kN 2 kNm112233C#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 取右段分析,考虑取右段分析,考虑3-3截截面
7、,有面,有Fy=0,FS3-2=0,FS3=2 kNMC3(F)=0,-M3-2-22=0 M3=-6 kNm例题例题 9-1A1m1mB2 kN 2 kNm112233CB2 kN 2 kNmFS3M33AC3#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 为了验证结果的正确性,可从左边开始进行分析。为了验证结果的正确性,可从左边开始进行分析。先求先求A处的支座约束力,有处的支座约束力,有Fx=0,FAx=0 下面以左段为研究对象,分析下面以左段为研究对象,分析3-3截面上的剪力和截面上的剪力和弯矩。弯矩。Fy=0,FAy-2=0 FAy=2 kNMA(F)=0,MA-
8、2-22=0 MA=6 kNm例题例题 9-11 m1 mB2 kN 2 kNm112233FAyFAxMAA#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 此结果与取右段分析的结此结果与取右段分析的结果相同。果相同。Fx=0,FAx=0 Fy=0,FAy FS3=0 FS3=FAy=2 kNMA(F)=0,MA+M3=0 M3=-MA=-6 kNm例题例题 9-1FAxFAyMAFS3M3AA1m1mB2 kN 2 kNm112233C1 m1 mB2 kN 2 kNm112233FAyFAxMAA补充补充 简易法简易法#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9
9、 9章章 弯曲弯曲 从上例看到,梁的横截面上的内力,一般而言,从上例看到,梁的横截面上的内力,一般而言,在不同的横截面上有不同的数值。因此有必要作出梁在不同的横截面上有不同的数值。因此有必要作出梁的内力图的内力图剪力图和弯矩图,以直观地表示这些内剪力图和弯矩图,以直观地表示这些内力随横截面位置变化的情况。力随横截面位置变化的情况。解:取轴解:取轴x与梁的轴线重合,与梁的轴线重合,坐标原点取在梁的左端。以坐标原点取在梁的左端。以坐标坐标x表示横截面的位置。只表示横截面的位置。只要求得要求得x处横截面上的剪力方处横截面上的剪力方程和弯矩方程,即可画出其程和弯矩方程,即可画出其内力图。内力图。试作图
10、示梁的剪力图和弯矩图。试作图示梁的剪力图和弯矩图。例题例题 9-2#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 根据左段分离体的平衡根据左段分离体的平衡条件便可列出剪力方程和弯条件便可列出剪力方程和弯矩方程。有矩方程。有FS(x)=-qx (0 xl)M(x)=-q x2/2 (0 xl)例题例题 9-2(a)(b)(d)#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 右图所示为一受满布均布荷载的简右图所示为一受满布均布荷载的简支梁,试作剪力图和弯矩图。支梁,试作剪力图和弯矩图。解:此梁的支座约束力根解:此梁的支座约束力根据对称性可知:据对称性可知
11、:FA=FB=ql/2 梁的剪力方程和弯矩梁的剪力方程和弯矩方程分别为方程分别为FS(x)=ql/2-qx (0 xl)M(x)=qlx/2-qx2/2(0 x l)例题例题 9-3FS#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 图示为一受集中荷载图示为一受集中荷载F作用的简支作用的简支梁。试作其剪力图和弯矩图。梁。试作其剪力图和弯矩图。解:根据整体平衡,求解:根据整体平衡,求得支座约束力得支座约束力FA=Fb/l,FB=Fa/l 梁上的集中荷载将梁上的集中荷载将梁分为梁分为AC和和CB两段,根两段,根据每段内任意横截面左据每段内任意横截面左侧分离体的受力图容易侧分离
12、体的受力图容易看出,两段的内力方程看出,两段的内力方程不相同不相同,故需分段建立。故需分段建立。lABxFA FBa bFCx例题例题 9-4FAFS(x)M(x)AFFAFS(x)M(x)A#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 AC段:段:CB段:段:FS(x)=FA=Fb/lM(x)=Fbx/l(0 xa)(0 xa)FS(x)=Fb/l-F =-Fa/l(axl)M(x)=Fbx/l-F(x-a)=Fa(l-x)/l(axl)例题例题 9-4lABxFA FBa bFCxFAFS(x)M(x)AFFAFS(x)M(x)A#工程力学教程电子教案工程力学教程电
13、子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 xFSFb/lFa/lxMFab/lAC段:段:CB段:段:FS(x)=FA=Fb/lM(x)=Fbx/l(0 xa)(0 xa)FS(x)=Fb/l-F =-Fa/l(axl)M(x)=Fbx/l-F(x-a)=Fa(l-x)/l(axl)例题例题 9-4lABxFA FBa bFCx#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 从剪力图从剪力图上看到,在集中力作用处上看到,在集中力作用处剪力发生突变,突变值等剪力发生突变,突变值等于集中力的大小。于集中力的大小。发生这种情况是由于发生这种情况是由于把实际上分布在很短区间把实际上分布在
14、很短区间内的分布力,抽象成了作内的分布力,抽象成了作用于一点的集中力。用于一点的集中力。xFSFb/lFa/lxMFab/l例题例题 9-4lABxFA FBa bFCx#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 若将集中力若将集中力F看为看为D Dx区间上均匀的分布荷载,区间上均匀的分布荷载,如左图所示,则在如左图所示,则在D Dx梁段内,剪力从梁段内,剪力从Fb/l沿斜直线沿斜直线过渡到过渡到-Fa/l,不存在突变过程,而是渐变过程。,不存在突变过程,而是渐变过程。例题例题 9-4q=F/DxFa/lFb/lDx#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9
15、9章章 弯曲弯曲 简支梁如图所示。试作该梁的剪力图简支梁如图所示。试作该梁的剪力图和弯矩图。和弯矩图。解:先求支座约束力解:先求支座约束力FA0.6+100.40.2-2=0MB(F)=0,FA=2 kN MA(F)=0,FB0.6-100.40.4-2=0FB=6 kN ABCx x0.2 m0.4 m2 kNm10 kN/mFAFB例题例题 9-5#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 FAFS(x)M(x)FAFS(x)M(x)2 kNm10 kN/m分段列出剪力方程和弯矩方程:分段列出剪力方程和弯矩方程:AC段:段:CB段:段:FS(x)=-2-10(x-
16、0.2)=-10 x(0.2 m x 0.6m)(0.2 mx0.6 m)M(x)=-2x+2-10(x-0.2)2/2=-5x 2+1.8FS(x)=-FA=-2(0 x0.2 m)M(x)=-FA x=-2x(0 x 0.2 m)例题例题 9-5ABCx x0.2 m0.4 m2 kNm10 kN/mFAFB#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 AC段:段:CB段:段:FS(x)=-2-10(x-0.2)=-10 x(0.2 m x 0.6m)(0.2 mx0.6 m)M(x)=-2x+2-10(x-0.2)2/2=-5x 2+1.8FS(x)=-FA=-2
17、(0 x0.2 m)M(x)=-FA x=-2x(0 x0.2 m)例题例题 9-5ABCx x0.2 m0.4 m2 kNm10 kN/mFAFB26FS/kNxOxM/kNm0.41.6O#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 由弯矩图看到,在由弯矩图看到,在集中力偶作用处弯矩值集中力偶作用处弯矩值发生突变,突变值等于发生突变,突变值等于集中力偶之矩。集中力偶之矩。例题例题 9-526FS/kNxOABCx x0.2 m0.4 m2 kNm10 kN/mFAFBxM/kNm0.41.6O#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 通过
18、以上四个例题的分析,你能否总结一些通过以上四个例题的分析,你能否总结一些画剪力图和弯矩图的规律吗?画剪力图和弯矩图的规律吗?(这个问题我们在下一节中将继续讨论)(这个问题我们在下一节中将继续讨论)思考题思考题9-2#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 试求图示各指定的横截面上的剪力和弯试求图示各指定的横截面上的剪力和弯矩,并作其剪力图和弯矩图。矩,并作其剪力图和弯矩图。qABa a11223344思考题思考题9-3#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 思考题思考题9-3参考答案:参考答案:FS1=0,M1=0 FS2=-qa,M2
19、=-qa2/2 FS3=-qa,M3=-qa2/2 FS4=-qa,M4=-3qa2/2 qABa a11223344#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 x FSqa思考题思考题9-3参考答案:参考答案:qABa a11223344xMqa223 qa22#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 求图示折杆中各指定的横截面上的内力。求图示折杆中各指定的横截面上的内力。思考题思考题9-410kNAB2m1mC112233#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 FN2=10 kN,FS2=0,M2=-10
20、kN m 思考题思考题9-4参考答案:参考答案:1-1 截面截面2-2 截面截面3-3 截面截面FN1=10 kN FS1=0M1=-10 kN mFN3=0,FS3=10kN ,M3=-10 kN m10kNAB2m1mC112233#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 作剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图。思考题思考题9-51.2 m1 m4 kN3 kNm#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9 9章章 弯曲弯曲 思考题思考题9-5参考答案:参考答案:x FS/kN4xM/kN m311.2 m1 m4 kN3 kNm#工程力学教程电子教案工程力学
21、教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究剪力图和弯矩图的进一步研究载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系;载荷集度、剪力图、弯矩图之间的规律应用。载荷集度、剪力图、弯矩图之间的规律应用。微分关系的推导微分关系的推导;#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 规定载荷集度规定载荷集度q(x)向向上为正。上为正。1.微分关系的推导微分关系的推导FS(x)dxM(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)q(x)M(x)CyAmnBxdxxq(x)dx段载荷集度分布均匀。段载荷集度分布均匀。载荷集度载荷集度q(x)
22、是是x的连的连续函数。续函数。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 Fy0 FS(x)+q(x)dx-FS(x)+dFS(x)=0SddF xq xx()()(1)MC=0 M(x)+dM(x)-M(x)-FS(x)dx q(x)dx dx/2=0)(d)(dSxFxxM (2)(d)(d22xqxxM (3)FS(x)dxM(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)q(x)M(x)C#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 2.载荷集度、剪力图、弯矩图之间的关系载荷集度、剪力图、弯矩图之间的关系56#工程力学教程电子教案工程力学教程电子
23、教案 第第9章章 弯弯 曲曲 归归 纳:纳:(1)图图 形形 规规 律律FS q 00000M M#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 (2)突突 变变 规规 律律(a)在有集中力作用处在有集中力作用处,剪力图突变剪力图突变,弯矩图有折转。弯矩图有折转。(b)在有集中力偶作用处在有集中力偶作用处,剪力图无变化剪力图无变化,弯矩图弯矩图有突变。有突变。(3)绝对值最大的弯矩既可能发生在剪力为零的极绝对值最大的弯矩既可能发生在剪力为零的极值点处值点处,也可能发生在集中力和集中力偶作用处。也可能发生在集中力和集中力偶作用处。(4)对称规律对称规律(a)结构对称,荷载对称
24、结构对称,荷载对称FS图反对称,图反对称,M图对称图对称(b)结构对称,荷载反对称结构对称,荷载反对称FS图对称,图对称,M图反对称图反对称#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 3.应用分析应用分析已知已知:F=2 kN,Me=10 kN mq=1 kN/m。求求:梁梁ABCDE的剪力图的剪力图及弯矩图。及弯矩图。解:解:(1)求约束力求约束力(2)利用微分关系利用微分关系作图作图 kN7AF kN5DFE4 m4 m4 m3 mABCDqFFMeFAFD(kNm)M2020.51666x(kN)FS731325mx#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第
25、9章章 弯弯 曲曲 思考题思考题 9-6 下面的剪力图和弯矩图有无错误,请改正。下面的剪力图和弯矩图有无错误,请改正。22518qa243qa23qaMx#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 思考题思考题 9-7下面的剪力图和弯矩图有无错误,请改正。下面的剪力图和弯矩图有无错误,请改正。22qaqasFxxqaqa22qaM#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 横力弯曲横力弯曲M 0FS 0弯曲正应力弯曲正应力弯曲切应力弯曲切应力FSMzyAdAdAd(-)(+)yAd AAFdS AAyMd 9.3.1 横力弯曲与纯弯曲的概念横力弯
26、曲与纯弯曲的概念#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 先观察下列各组图先观察下列各组图(a)图中这种梁段的图中这种梁段的弯曲弯曲(横截面上横截面上 既有既有弯矩又有剪力)称为弯矩又有剪力)称为横力弯曲横力弯曲。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 (b)图中这种梁的弯图中这种梁的弯曲曲(横截面上只有弯矩横截面上只有弯矩而无剪力)称为而无剪力)称为纯弯曲纯弯曲。纯弯曲纯弯曲纯弯梁纯弯梁M=0,FS=0#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 9.3.2 单一材料的弯曲正应力单一材料的弯曲正应力 (3)荷载作用在
27、纵向对称平面内。荷载作用在纵向对称平面内。l x b h y z 1.分析模型:分析模型:(1)单一材料窄高矩形截面梁(单一材料窄高矩形截面梁(h b);(2)细长梁(细长梁(lh 10););#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 静力学方面静力学方面:MMMFzy 00 N纵向对称平面纵向对称平面2.实验研究实验研究yb/2 z b/2 x y z O mnnmaabbMM#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 (1)各横向周线仍各在一个平面内,只是各自绕着)各横向周线仍各在一个平面内,只是各自绕着与弯曲平面垂直的轴转动了一个角度;与
28、弯曲平面垂直的轴转动了一个角度;(2)纵向线段变弯,但仍与横向周线垂直;纵向线段变弯,但仍与横向周线垂直;(3)部分纵向线段伸长,部分纵向线段缩短。部分纵向线段伸长,部分纵向线段缩短。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 直梁纯弯曲时,原为平面的横截面仍保持为平直梁纯弯曲时,原为平面的横截面仍保持为平面,且仍垂直于弯曲后梁的轴线,只是相邻横截面面,且仍垂直于弯曲后梁的轴线,只是相邻横截面各自绕着与弯曲平面垂直的某一根横向轴各自绕着与弯曲平面垂直的某一根横向轴中性中性轴轴作相对转动。作相对转动。直梁纯弯曲时的直梁纯弯曲时的平面假设平面假设:#工程力学教程电子教案工程
29、力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 MM受压区受压区受拉区受拉区c 中性层中性层#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 纯弯曲纯弯曲正应力正应力切应力切应力=0 沿截面宽度方沿截面宽度方向均匀分布向均匀分布正应力沿正应力沿高度方向高度方向如何分布如何分布#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 3.弯曲正应力的计算弯曲正应力的计算(1)几何方面几何方面:yy ddd)(2)物理方面物理方面:yEE#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 AAAyMAFd0dN 0ddN AAAyEAyEF 0d AzAyS
30、中性轴通过截面的形心中性轴通过截面的形心 AAAAyEAyEAyMddd22 zyA(3)静力学方面静力学方面:#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 zEIM 1EIz为弯曲刚度为弯曲刚度 AzAyId2zyAzIMy (a)几何方面:平面假设;几何方面:平面假设;(b)物理方面:各纵向纤维间互不挤压,材料在线弹物理方面:各纵向纤维间互不挤压,材料在线弹性范围内工作,材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。性范围内工作,材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。公式的适用条件:公式的适用条件:AAyEMd2 yEE Iz为对为对z轴的惯性矩轴的惯性矩#工程力学教程电子教案工程力
31、学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 等直梁纯弯曲正应力的计算等直梁纯弯曲正应力的计算小结:小结:正应力公式正应力公式通过截面形心通过截面形心中性轴位置中性轴位置=Ey/单向应力状态下的单向应力状态下的胡克定律胡克定律=E 变化规律变化规律=y/平面假设平面假设 变化规律变化规律结果结果依据依据项目项目 0dN AAF MAyMAz d zIMy#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 截截 面面 zy 线应变线应变+max 正应力正应力+max max 线弹性线弹性,小变形小变形,外力作用在纵向对称平面内外力作用在纵向对称平面内;线应变和正应力在横截面上的分布规律
32、。线应变和正应力在横截面上的分布规律。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 12dd32222bhybyAyIhhAz 4.轴惯性矩轴惯性矩zyb空心矩形的惯性矩?空心矩形的惯性矩?圆的惯性矩?圆的惯性矩?#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 如图所示,当梁在水平面内弯曲时,中性轴如图所示,当梁在水平面内弯曲时,中性轴是哪个轴?截面对此轴的惯性矩表达式是什么?是哪个轴?截面对此轴的惯性矩表达式是什么?思考题思考题 9-8zyb#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 12d32bhAyIAz 5.轴惯性矩及弯
33、曲截面系数轴惯性矩及弯曲截面系数zIMy maxmaxmaxt,c,zzM yMIW 对中性轴对中性轴z 的弯曲截面系数的弯曲截面系数:2max61bhyIWzz (单位为(单位为:mm3或或m3)zyb(1)实心矩形的惯性矩及弯曲截面系数实心矩形的惯性矩及弯曲截面系数#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 (2)空心矩形的惯性矩及弯曲截面系数空心矩形的惯性矩及弯曲截面系数zyb B C121233bhBHIz 121233hbHBIy HbhBHWz633#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 (3)实心圆截面的惯性矩及抗弯截面系数实心
34、圆截面的惯性矩及抗弯截面系数czyyzdA32d42PdAIA 222zy zyAIIAzyI d)(22P6424PdIIIzy 323dWz#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 (4)空心圆截面的惯性矩空心圆截面的惯性矩)1(64)(644444 DdDIIzyczyd cDd )1(3243 DWz#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 (b)物理方面:各纵向纤维间互不挤压,材料物理方面:各纵向纤维间互不挤压,材料在线弹性范围内工作,材料在拉伸和压缩在线弹性范围内工作,材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。时的弹性模量相等。6.纯弯曲
35、理论的简单回顾纯弯曲理论的简单回顾 公式公式 的适用条件:的适用条件:zIMy (a)几何方面:平面假设;几何方面:平面假设;#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 7.纯弯曲理论的推广纯弯曲理论的推广 横力弯曲时,由于切应力的存在横力弯曲时,由于切应力的存在,梁的横截梁的横截面将发生翘曲。此外在与中性层平行的纵截面上面将发生翘曲。此外在与中性层平行的纵截面上,还有由横向力引起的挤压应力。但工程中的梁还有由横向力引起的挤压应力。但工程中的梁,当跨高比较大时,按纯弯曲理论计算误差不大。当跨高比较大时,按纯弯曲理论计算误差不大。zWxM)(max#工程力学教程电子教案工
36、程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 y z 80 65 2020 80 35 单位单位:mm 对于图示对于图示 T形截面梁形截面梁,已知已知:Iz=290.610-8 m4 求横截面上的最大拉应力和最大压应力。求横截面上的最大拉应力和最大压应力。例题例题 9-6 3AB1 3 kN8 kNC2xM2.5 kNm3 kNm#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 MPa1.36mN106.29010351032833 )(上上B 解:解:B 截面:截面:MPa1.67)1.36(3565 下下B C 截面:截面:MPa0.5635.21.6735.2 下下下下B
37、C 例题例题 9-6 3AB1 3 kN8 kNC2xM2.5 kNm3 kNm#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 MPa,MPa.t t,m ma ax xc c,m ma ax x5 56 6.0 0-6 67 7.1 136.1 MPa67.1 MPaB截面上:截面上:30.2 MPa56.0 MPaC 截面上:截面上:例题例题 9-6 xM2.5 kNm3 kNmy z 80 65 2020 80 35 单位单位:mm#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 若例若例9-6中的梁截面为工字形,则横截面的最中的梁截面为工字形,则横
38、截面的最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最大的横截面上?大的横截面上?思考题思考题 9-93AB1 3 kN8 kNC2y z xM2.5 kNm3 kNm#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 图图a所示简支梁由所示简支梁由56a号工字钢制成,其截面号工字钢制成,其截面简化后的尺寸见图简化后的尺寸见图b。已知。已知F=150 kN。试求危险截。试求危险截面上的最大正应力面上的最大正应力 max和同一横截面上翼缘与腹和同一横截面上翼缘与腹板交界处板交界处a点处点处(图图b)的正应力的正应力 a。例题例题 9-7#工程
39、力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 1.在不考虑梁的自重在不考虑梁的自重(1.041kN/m)的情况下,该梁的情况下,该梁的弯矩图如图所示,截面的弯矩图如图所示,截面C为危险截面,相应的最为危险截面,相应的最大弯矩值为大弯矩值为 mkN3754m10kN1504max FlM例题例题 9-7解解:#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 由型钢规格表查得由型钢规格表查得56a号工字钢截面号工字钢截面3cm2342 zW4cm65586 zIMPa160m102342mN10375363maxmax zWM MPa148m1065586m021
40、.02m56.0mN10375483max zaaIyM 于是有于是有危险截面上点危险截面上点a 处的正应力为处的正应力为例题例题 9-7#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 MPa148 MPa1602m56.0m021.02m56.0maxmax yyaa 该点处的正应力该点处的正应力 a亦可根据直亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴梁横截面上的正应力在与中性轴z 垂垂直的方向按直线变化的规律,利用直的方向按直线变化的规律,利用已求得的该横截面上的已求得的该横截面上的 max=160 MPa来计算:来计算:例题例题 9-7max a#工程力学教程电子教案工程
41、力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 显然,梁的自重引起的最大正应力仅为显然,梁的自重引起的最大正应力仅为而危险截面上的最大正应力变为而危险截面上的最大正应力变为MPa7.165Pa107.165m102342mN103886363max MPa7.5MPa1607.165 远小于外加荷载远小于外加荷载F 所引起的最大正应力。所引起的最大正应力。mkN388mkN13mkN375842max qlFlM 如果考虑梁的自重如果考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)则危险截面未则危险截面未变,但相应的最大弯矩值变为变,但相应的最大弯矩值变为例题例题 9-7#工程力学教程电子教案工程力学教程电
42、子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 9-4 求惯性矩的平行移轴公式求惯性矩的平行移轴公式.,bzzayycc 22222dd2dd)(dAbIAbAzbAzAbzAzIcyAAcAcAAcy 2AaIIczz 同理可得:同理可得:z yCabdAzyyczcyczcO*#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 (1)根据求惯性矩的平行移轴公式,是否可得如下结根据求惯性矩的平行移轴公式,是否可得如下结论:图形对于形心轴的惯性矩是图形对于与该形心论:图形对于形心轴的惯性矩是图形对于与该形心轴平行的轴之惯性矩中的最小者?轴平行的轴之惯性矩中的最小者?(2)求图示截面对于形心轴求
43、图示截面对于形心轴z的惯性矩。的惯性矩。思考题思考题 9-10y z 80 65 2020 80 35 单位单位:mm#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 横力弯曲横力弯曲M 0FS 0弯曲正应力弯曲正应力弯曲切应力弯曲切应力 AAFdS AAyMd FSMzyAdAdAd(-)(+)yAd#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 9.5.1 单一材料矩形截面梁的弯曲切应力单一材料矩形截面梁的弯曲切应力 (3)荷载作用在纵向对称平面内。荷载作用在纵向对称平面内。l x b h y z 1.分析模型分析模型(1)单一材料窄高矩形截面梁(单一
44、材料窄高矩形截面梁(h b);(2)细长梁(细长梁(lh 10););#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 2.关于切应力分布的假设关于切应力分布的假设FSy y z y FS (1)切应力与侧边方向平行;切应力与侧边方向平行;(2)切应力沿截面宽度方向均匀分布。切应力沿截面宽度方向均匀分布。对对hb的截面而言,此假设为合理的。的截面而言,此假设为合理的。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 为什么关于切应力分布的假设是合理的?为什么关于切应力分布的假设是合理的?答:根据切应力互等定理可知关于应力方向的答:根据切应力互等定理可知关于应
45、力方向的假设是合理的。又对于狭长矩形应力沿宽度的变化假设是合理的。又对于狭长矩形应力沿宽度的变化不可能大,所以假设切应力沿宽度不变是合理的。不可能大,所以假设切应力沿宽度不变是合理的。思考题思考题 9-11FSy y z y FS#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 3.分离体平衡分析分离体平衡分析FS(x)M(x)FS(x)M(x)+dM(x)dx m m n n MeF q(x)lh b x yz m m n n dx dx(x)+d(x)(x)#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 (x)+d(x)dx(x)SdFdx(x)y z
46、(x)+d(x)x FSy y z y FS#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 dx b*NFNFSdF*Ax dx (x)(x)+d(x)zzzzbISFbISxM*S*dd xbFddS S*N*NdFFF *ddd*NAzAzAAyIMAyIMAF *dd*NAzAyIMMF得得*Sdddd*zzAzSIMAyIMF 0 xF得到得到 由平衡方程由平衡方程y z y*FSy dA#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 切应力计算公式切应力计算公式:zzbISF*S y z FSy 其中:其中:FS 所求切应力截面上的剪力所求切应
47、力截面上的剪力 Iz 整个截面对中性轴的惯性矩整个截面对中性轴的惯性矩 b 所求切应力点处横截面的宽度所求切应力点处横截面的宽度 Sz*过所求切应力点作中性轴的平行线,过所求切应力点作中性轴的平行线,将横截面分为两部分,其中任意一部将横截面分为两部分,其中任意一部分对中性轴的静面矩。分对中性轴的静面矩。注意:实际计算中直接由剪力注意:实际计算中直接由剪力FS的方向确定的方向确定 的方向,故的方向,故剪力剪力FS和静面矩和静面矩Sz*都带绝对值。都带绝对值。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 4.单一材料矩形截面梁的切应力分布与计算单一材料矩形截面梁的切应力分布与
48、计算发生在中性轴处发生在中性轴处023minSmax bhF发生在上下边缘处发生在上下边缘处b h cyy z y FS max*计算式:计算式:)4(222SyhIFz )41(8 )2(21)2()(222*hybhyhyyhbyAySCz#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 实心细长梁弯曲切应力分布对弯曲正应力实心细长梁弯曲切应力分布对弯曲正应力有什么影响?有什么影响?F x mpnqF mpqnm p n q 思考题思考题 9-12mn m npq p q相对转动相对转动 m n p q翘翘 曲曲 m m=nn=pp=qq但但即:不会影响因弯矩即:不会影响
49、因弯矩引起的纵向纤维的伸缩引起的纵向纤维的伸缩#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 5.切应力分析方法小结切应力分析方法小结:横截面上的切应力横截面上的切应力 应力分布假设应力分布假设分离体平衡分离体平衡纵截面上的剪力纵截面上的剪力切应力互等定理切应力互等定理 纵截面上纵截面上的切应力的切应力#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 9.5.2 型截面梁型截面梁 y z b h td 对矩形截面梁所作的切应力分布假设依然适用。对矩形截面梁所作的切应力分布假设依然适用。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 yz
50、dxFS(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)dISFdISxMzzzzff *S*dd 1.腹板部分腹板部分(x)+d(x)(x)dxfyzdf max#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第9章章 弯弯 曲曲 2.顶板部分顶板部分(1)竖直切应力分析竖直切应力分析 (b)对顶板竖直切应力大小的判断对顶板竖直切应力大小的判断()根据腹板承受的剪力判断根据腹板承受的剪力判断 结论:顶板部分竖直切应力分量很小。结论:顶板部分竖直切应力分量很小。(a)切应力分布假设对顶板竖直切应力不再适用;切应力分布假设对顶板竖直切应力不再适用;()根据切应力互等定理根据切应力互等定理 fAffFA