1、 - 1 - 2020 高考仿真模拟卷(二) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A1,2,3,4，B2,3,6,7，C3,4,5,6，则图中阴影部分表示 的集合是( ) A2,3 B6 C3 D3,6 答案 B 解析 由题可知， ABC3， BC3,6， 故阴影部分表示的集合是6 2若(12i)z5i，则|z|的值为( ) A3 B5 C 3 D 5 答案 D 解析 由(12i)z5i，可得 z 5i 12i 5i12i 12i12i 105i 5 2 i. 所以|z| 2212 5. 3(2019 北
2、京海淀一模)已知 xy，则下列各式中一定成立的是( ) A1 x2 C 1 2 x 1 2 y D2x2 y2 答案 D 解析 x，y 的符号不确定，当 x2，y1 时，xy，显然1 x2 不成立，y 1 2 x 是减函数，所以 1 2 x 1 2 y 不成立，因为 xy0，所 以 2x2 y2 2x 2y2 2xy2 202，正确，故选 D. - 2 - 4(2019 浙江金华十校模拟)在下面四个 x，的函数图象中，函数 y |x|sin2x 的图象可能是( ) 答案 C 解析 因为 f(x)|x|sin(2x)|x|sin2xf(x)，即 f(x)是奇函数，图象 关于原点对称，排除 B，D
3、；当 x 时，f()sin20，排除 A.故选 C. 5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A2 B7 3 C8 3 D3 答案 C 解析 由三视图可知该几何体为四棱锥，记为四棱锥 EABCD，将其放入棱 长为 2 的正方体中，如图，易知四棱锥 EABCD 的底面积 S四边形ABCD4 2，高为 2，故所求体积为1 34 2 2 8 3. - 3 - 6在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称若 tan3 5，则 tan()的值为( ) A0 B30 34 C 9 16 D15 8 答案 D 解析 由角 与角 的始边相同，终边关
4、于 y 轴对称可知 tantan. 又 tan3 5，所以 tan 3 5， 所以 tan() tantan 1tantan 3 5 3 5 13 5 3 5 15 8 . 7. 已知 ABCD 为正方形，其内切圆 I 与各边分别切于 E，F，G，H，连接 EF， FG，GH，HE.现向正方形 ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件 A：豆子落在圆 I 内，事件 B：豆子落在圆 I 内四边形 EFGH 外，则 P(B|A)( ) A1 4 B 4 C12 D2 答案 C 解析 设正方形 ABCD 的边长为 a， - 4 - 则圆 I 的半径为 ra 2，其面积为 S a 2 21 4a 2， 设
5、正方形 EFGH 的边长为 b， 则 2bab 2 2 a， 其面积为 S1 2 2 a 21 2a 2， 则在圆 I 内且不在 EFGH 内的面积为 SS1， 所以 P(B|A)SS 1 S 12 . 8河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产龙门 石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟现有一石窟的某处“浮 雕像”共 7 层， 每上层的数量是下层的 2 倍， 总共有 1016 个“浮雕像”， 这些“浮 雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列 an，则 log2(a3a5)的值为( ) A8 B10 C12 D16 答案 C 解析 依
6、题意 a1a2a3a4a5a6a71016，又因为数列an是公比为 2 的等比数列，则a 1127 12 1016，所以 a18，所以 a3a5(a4)2(823)2212，所 以 log2(a3a5)log221212. 9(2019 湖北部分重点中学新起点考试)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他 在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的 算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若 输入 x 的值为 5，则输出 v 的值为( ) - 5 - A5111 B5 111 4 C5 121 4 D5 101 4 答案 B 解析 依次运行程序框图中
7、的程序，可得k1 满足条件，v1515 1，k2；k2 满足条件，v(51)515251，k3；k3 满足条 件，v(5251)51535251，k4； k9 满足条件，v(585751)5159585751，k 10； k10 满足条件，v(59585751)5151059585 1， k11.而k11不满足条件， 停止运行， 输出v51059585115 11 15 5 111 4 .故选 B. 10(2019 青岛模拟)已知定义域为 R 的奇函数 f(x)，当 x0 时，满足 f(x) log272x，03 2， 则 f(1)f(2)f(3)f(2020)( ) Alog25 Blog2
8、5 C2 D0 答案 B 解析 由题意，得 f(1)f(2)f(5)f(26723)f(2018)， f(0)f(3)f(6)f(36723)f(2019)， - 6 - f(1)f(4)f(7)f(46723)f(2020)， 又因为 f(1)f(1)log25，f(0)0，所以 f(1)f(2)f(3)f(2020)673f(1)f(2)f(3)f(2020)6730f(1) log25. 11(2019 辽宁五校联考)一条动直线 l 与抛物线 C：x24y 相交于 A，B 两点， O 为坐标原点，若AB 2AG ，则(OA OB )24OG 2 的最大值为( ) A24 B16 C8 D
9、16 答案 B 解析 由AB 2AG ，知 G 是线段 AB 的中点， OG 1 2(OA OB )， (OA OB )24OG 2(OA OB )2(OA OB )24OA OB . 由 A，B 是动直线 l 与抛物线 C：x24y 的交点，不妨设 A x1x 2 1 4 ，B x2，x 2 2 4 ， 4OA OB 4 x1x2x 2 1x22 16 4 x1x2 4 2 24 164 x1x2 4 2 216，即(OA OB )24OG 2 的最大值为 16，故选 B. 12(2019 辽宁葫芦岛二模)已知函数 f(x)ex exe 2(e 为自然对数的底数)， g(x)ln xaxea
10、4.若存在实数 x1，x2，使得 f(x1)e 2g(x2)1，且 1 x2 x1 e， 则实数 a 的最大值为( ) A2 e B 5 e2e C 5 2e D1 答案 A 解析 由 f(x1)e 21 化简得 ex1e(x1e)1，由于 ye t，yt1 只 有一个交点(0,1)， 所以 x1e0， 故 x1e.g(x)的定义域为(0， )， 由 1 x2 x1 e， 得 ex2e2.由 g(x2)1 化简得 ln x2a(x2e)3.分别画出函数 yln x 和 ya(x - 7 - e)3 的图象如图所示，由图可知，a 的最大值即直线 ya(xe)3 的斜率的最 大值为 kAB13 e
11、e 2 e，故选 A. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13某学校男女比例为 23，从全体学生中按分层抽样的方法抽取一个样本 容量为 m 的样本，若女生比男生多 10 人，则 m_. 答案 50 解析 由题意，得3m 5 2m 5 10，解得 m50. 14已知双曲线y 2 mx 21(m0)的一个焦点与抛物线 y1 8x 2 的焦点重合，则此 双曲线的离心率为_ 答案 2 3 3 解析 双曲线y 2 mx 21(m0)的一个焦点与抛物线 y1 8x 2 的焦点重合， 抛物线 y1 8x 2 的焦点坐标为(0,2)，c2， 1m4 即 ma23， a 3，ec a
12、2 3 3 . 15如图所示，在平面四边形 ABCD 中，AD2，CD4，ABC 为正三角 形，则BCD 面积的最大值为_ - 8 - 答案 44 3 解析 设ADC，ACD， 由余弦定理可知，AC22016cos，cosAC 212 8AC ， 又由正弦定理， 2 sin AC sinsin 2sin AC ， SBCD1 2BC CDsin 3 2BC 1 2sin 3 2 cos 2BC 1 2 2sin AC 3 2 AC 212 8AC 4sin 3 4 3，所以最大值为 44 3. 16(2019 河北石家庄模拟一)在棱长为 1 的透明密闭的正方形容器 ABCD A1B1C1D1中
13、，装有容器总体积一半的水(不计容器壁的厚度)，将该正方体容器绕 BD1旋转， 并始终保持 BD1所在直线与水平平面平行， 则在旋转过程中容器中水的 水面面积的最大值为_ 答案 2 解析 如图所示， 在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， 点 E 在 A1B1上， 点 F 在 CD 上， 满足 A1ECF， 则原问题等价于求解四边形 BFD1E 面积的最大值 作 EGBD1于点 G，当 EG 最大时，四边形 BFD1E 的面积有最大值建立如 图所示的空间直角坐标系，设 E(m,0,1)(0m1)，设 G(x，y，z)， 由于 B(1,0,0)，D1(0,1,1)，由BG BD1 可
14、得(x1，y，z)(1,1,1)，则 x1， y， z， 故 G(1， ， )， 故GE (m1， ， 1)， BD1 (1,1,1)， - 9 - 由GE BD1 m110，得 2m 3 ，11m 3 ， 故|GE| mm1 3 2 2m 3 2 1m 3 21 3 6m 2m1，结合二次 函数的性质可知当 m0 或 m1 时， GE 取得最大值， 此时水面面积的最大值为 2. 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答 (一)必考题：共 60 分 17(本小题满分 12 分)
15、已知等差数列an中，a12，a2a416. (1)设 bn2an，求证：数列bn是等比数列； (2)求anbn的前 n 项和 解 (1)证明：设an的公差为 d， 由 a2a416，可得(a1d)(a13d)16， 即 2a14d16.2 分 又 a12，可得 d3. 故 ana1(n1)d2(n1)33n1.3 分 依题意，bn23n 1，因为bn1 bn 2 3n2 23n 123(常数)， 故数列bn是首项为 4，公比 q8 的等比数列.6 分 (2)an的前 n 项和为na 1an 2 n3n1 2 .8 分 bn的前 n 项和为 b1bnq 1q 42 3n1 23 18 1 7 2
16、 3n24 7.10 分 故anbn的前 n 项和为 n3n1 2 1 7 2 3n24 7.12 分 18. (2019 辽宁丹东质量测试二)(本小题满分 12 分)如图， 四棱锥 SABCD 中， SD平面 ABCD，ABCD，ADCD，SDCD，ABAD，CD2AD，M 是 BC 的中点，N 是线段 SA 上的点 - 10 - (1)若 N 是 SA 的中点，求证：MN平面 SDC； (2)设 MN 与平面 SAD 所成角为 ，求 sin 的最大值 解 解法一：(1)证明：以 D 为坐标原点，DA，DC，DS 所在直线分别为 x 轴、 y轴、 z轴， 建立如图所示的直角坐标系Dxyz，
17、设DA2.则D(0,0,0)， S(0,0,4)， A(2,0,0)， B(2,2,0)，C(0，4,0)，所以 M(1,3,0)，N(1，0,2)，MN (0，3,2)因为 SD平面 ABCD，2 分 所以 SDAD，又 ADCD，所以 AD平面 SDC，平面 SDC 的一个法向量为 DA (2,0,0)因为MN DA 0，MN平面 SDC，所以 MN平面 SDC.5 分 (2)SA (2,0，4)，设SNSA(01)，则 N(2，0,44)，MN (21， 3,44)， 平 面 SAD 的 一 个 法 向 量 为 DC (0,4,0) ， 所 以 sin MN DC |MN |DC | 3
18、 21021813.9 分 因为 01，所以当 9 10，即 SN9NA 时，sin 取得最大值 3 5 7 .12 分 解法二：(1)证明：取 AD 的中点为 E，连接 ME，NE，则 MEDC，因为 ME 平面 SDC，所以 ME平面 SDC，2 分 同理 NE平面 SDC.所以平面 MNE平面 SDC，因此 MN平面 SDC.5 分 - 11 - (2)以 D 为坐标原点，DA，DC，DS 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如 图所示的直角坐标系 Dxyz，设 DA2， 则 D(0,0,0)，S(0,0,4)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，4,0)，所以 M(1,
19、3,0)，SA (2,0， 4) 设SN SA(01)， 则 N(2，0,44)，MN (21，3,44) 平面 SAD 的一个法向量为DC (0,4,0)， 所以 sin MN DC |MN |DC | 3 21021813.9 分 因为 01，所以当 9 10，即 SN9NA 时，sin 取得最大值 3 5 7 .12 分 19. (2019 福建模拟)(本小题满分 12 分)春节期间， 我国高速公路继续执行“节 假日高速免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高 速收费点处记录了大年初三上午 9：2010：40 这一时间段内通过的车辆数，统 计发现这一时间段内共有 60
20、0 辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频 率分布直方图如图所示，其中时间段 9：209：40 记作区间20,40)，9：4010： 00 记作40,60)，10：0010：20 记作60,80)，10：2010：40 记作80,100，比 方：10 点 04 分，记作时刻 64. (1)估计这 600 辆车在 9： 2010： 40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同 一组中的数据用该组区间的中点值代表)； - 12 - (2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆， 再从这 10 辆车中随机抽取 4 辆，记 X 为 9：2010：00 之间通过
21、的车辆数，求 X 的分布列与数学期望； (3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻 T 服从正态 分布 N(，2)，其中 可用这 600 辆车在 9：2010：40 之间通过该收费点的时刻 的平均值近似代替，2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中 点值代表)，已知大年初五全天共有 1000 辆车通过该收费点，估计在 9：4610： 40 之间通过的车辆数(结果保留到整数) 参考数据：若 TN(， a2)，则 P(1 2时， 令 h(x) x1m 1x2 1 2， 使 h(x0) 0.故知 h(x)0 对任意 x 1 2， 不恒成立故 m 1 2不符合题意 综上
22、可知，实数 m 的取值范围是 ，1 2 .12 分 (二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题计分 22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，已知点 P(1，2)，直线 l： x1t， y2t (t 为参数)，以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 2cos，直线 l 和曲线 C 的交点为 A，B. (1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程； (2)求|PA|PB|. - 16 - 解 (1)直线 l： x1t， y2t (t 为参数)，消去 t，可得
23、直线 l 的普通方程为 xy 30.2 分 曲线 C 的极坐标方程为 sin22cos，即为 2sin22cos，由 xcos，y sin 可得曲线 C 的普通方程为 y22x.5 分 (2)直线 l 的标准参数方程为 x1 2 2 t， y2 2 2 t (t为参数)， 代入曲线 C：y22x， 可得 t26 2t40， 有 t1t26 2，t1t24， 则|PA|PB|t1|t2|t1t26 2.10 分 23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知 a0，b0，a2b2ab.证明： (1)(ab)22(a2b2)； (2)(a1)(b1)4. 证明 (1)因为(ab)22(a2b2)2aba2b2(ab)20. 所以(ab)22(a2b2).4 分 (2)证法一：由(1)及 a2b2ab 得 ab2. 因为(a1)(b1) a1b1 2 2 ab2 2 24. 于是(a1)(b1)4.10 分 证法二：由(1)及 a2b2ab 得 ab2. 因为 ab ab 2 2， 所以 ab1. 故(a1)(b1)abab14.10 分
