1、 - 1 - 压轴题(八) 12(2019 湘赣十四校联考二)已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，|AB|2，E 为 AD 的中点， P 为正方形 A1B1C1D1内的一个动点(含边界)， 且|PE| 5， 则|PA1 PB1 PC1 |的最小值为( ) A 171 B 173 C 17 D 171 答案 B 解析 设 A1D1的中点为 F，连接 EF，PF，则在EFP 中，EFFP，EP2 EF2FP2，FP21，点 P 的轨迹是以 F 为圆心，以 1 为半径的半圆面(位于正 方形 A1B1C1D1内)，以 A1为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示， 则 A1(0,0)，B1(2,0)，
2、C1(2,2)，F(0，1)，设点 P 的坐标为(x，y)，则PA1 (x， y)，PB1 (2x，y)，PC1 (2x，2y)，PA1 PB1 PC1 (43x,23y) |PA1 PB1 PC1 | 43x223y2 3 4 3x 2 2 3y 2. 设 Q 点的坐标为 4 3， 2 3 ，则|PA1 PB1 PC1 |3|PQ|3(|QF|1) 173.故 选 B. 16已知椭圆的焦点为 F1(c，0)，F2(c,0)，其中 c2 3 40cosxdx，直线 l 与椭圆相切于第一象限的点 P，且与 x，y 轴分别交于点 A，B，设 O 为坐标原点， 当AOB 的面积最小时，F1PF260
3、 ，则此椭圆的方程为_ 答案 x2 15 y2 91 - 2 - 解析 由题意，得在 P(x0，y0)处的切线方程为yy0 b2 xx0 a2 1. 所以 A a2 x0，0 ，B 0，b 2 y0 ， SAOB1 2 a2b2 x0y0，因为 y20 b2 x20 a21 2x0y0 ab ， 所以 1 x0y0 2 ab.所以 SAOBab. 当且仅当y0 b x0 a 2 2 时，AOB 的面积最小 设|PF1|r1，|PF2|r2，由余弦定理，得 4c2r21r22r1r2(r1r2)23r1r24a23r1r2， 所以 r1r24 3b 2， 所以 SPF1F21 2r1r2sin6
4、0 3 3 b2， 所以1 2 2c y0 3 3 b2，y0 3b2 3c 2 2 b， 所以 c 6 3 b. 又因为 c2 3 0 4cosxdx2 3sinx 2 3 sin 4sin0 6. 所以 b3，a 15. 所以此椭圆的方程为 x2 15 y2 91. 20(2019 广东四校联考)某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种特 产水果只能在 9 月份销售，且该种特产水果当天食用口感最好，隔天食用口感较 差某超市每年 9 月份都销售该种特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每 千克 8 元，销售价每千克 12 元，当天未卖出的水果全部转卖给水果罐头厂，但每 千克只能卖到 5 元
5、根据往年销售经验，每天需求量与当地最高气温(单位：) 有一定关系 若最高气温不低于30， 则需求量为5000千克； 若最高气温位于25,30)， 则需求量为 3500 千克；若最高气温低于 25，则需求量为 2000 千克为了制订今 - 3 - 年 9 月份订购计划，统计了前三年 9 月份的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高 气温() 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 天数 4 14 36 21 15 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 (1)求今年9月份这种特产水果一天需求量X(单位： 千克)的分布列和数学期望； (2)设 9 月
6、份一天销售这种特产水果的利润为 Y(单位：元)，当 9 月份这种特产 水果一天的进货量 n(单位：千克)为多少时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 多少？ 解 (1)今年 9 月份这种 特产水果一天的需求量 X 的可能取值为 2000,3500,5000. P(X2000)414 90 1 5， P(X3500)36 90 2 5， P(X5000)2115 90 2 5. 于是 X 的分布列为 X 2000 3500 5000 P 1 5 2 5 2 5 X 的数学期望 E(X)20001 53500 2 55000 2 53800. (2)由题意，知这种特产水果一天的需求量至多为 500
7、0 千克，至少为 2000 千 克，因此只需要考虑 2000n5000.当 3500n5000 时， 若最高气温不低于 30，则 Y4n； 若最高气温位于25,30)， 则 Y35004(n3500)3245003n； 若最高气温低于 25，则 Y20004(n2000)3140003n. 此时 E(Y)2 54n 2 5(245003n) 1 5(140003n)12600 1 5n11900. 当 2000n0)， 则 h(x)1 x2x 7 3 3x12x3 3x . 令 h(x)0，则 x13 2，x2 1 3(舍去)； 当 x1,3时，h(x)，h(x)随 x 的变化情况如下表： - 5 - h(1)4 3，h(3)ln 320)， 则 F(x)(x1)ex1 x1 x1 x (xex1) 令 G(x)xex1， 则当 x0 时，G(x)(x1)ex0， 函数 G(x)在(0，)上单调递增， G(0)10， G(x)存在唯一的零点 c(0,1)， 且当 x(0，c)时，G(x)0，则 F(x)单调递增， 从而 F(x)F(c)cecln cc1. 由 G(c)0 得 cec10，cec1， 两边取对数得 ln cc0， F(c)0，F(x)F(c)0，故 g(x)f(x)
