1、 - 1 - 广东省深圳市普通高中 2017-2018学年高二数学下学期 4 月月考试题 一、填空题（本大题共 14小题，每题 5分，共 70分） 1. 命题“ xR? ， 22 3 4 0xx? ? ? ”的否定为 2. 已知集合 ? ? ? ?4 , 2 , 0 , 2 , 4 , | 1 3? ? ? ? ? ? ?P Q x x,则 PQ? 3. 已知复数 z 满足 izi 21? ，则 |z? 4. 计算 2lo g 52(lg 2 ) lg 5 lg 2 0 2? ? ? ? 5. 已知函数 2( ) 1 2x afx a? ? ()aR?是奇函数，则 a? 6. 设等差数列 ?n
2、a 的前 n 和为 nS ，若 10,6 84 ? SS ,则1216SS = 7. 已知复数 z x yi，且 |z 2| 3，则 xy 的最大值为 8. 已知 3 2 2()f x x ax bx b? ? ? ?，当 1? 时，有极值 8，则 ab? = 9. 已知 33222277?， 333326 26?， 33444463 63?， .， 332011 2011mmnn?， 则21nm?= 10. 在 ABC中，若 A 60 ， b 1， S ABC 3，则 a b csin A sin B sin C的值为 . 11. 设 ,xy满足约束条件 1210, 0?yxyxxy,若目标
3、函数 ? ?0, 0z abx y a b? ? ? ?的最大值为 35,则 ab? 的最小值为 12. ()fx是定义在 R上的偶函数，当 0x? 时 ， ( ) ( ) 0xf x f x? ?且 ( 4) 0f ?， 则不等式 ()0fxx ? 的解集为 . 13. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x 2) f(x)当 x0,2时， f(x) 2x x2. 当 x2,4 时， 则 f(x)= 14. 已知 函数 ( ) 1 2 2 0 1 1 1 2 2 0 1 1f x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?()x
4、?R ，且2( 3 2) ( 1)f a a f a? ? ? ?，则满足条件的所有 整数 a 的和是 - 2 - 二、解答题 （解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分 14分） 已知 c0，且 c1 ，设 p：函数 y cx在 R上单调递减； q：函数 f(x) x2 2cx 1 在 ? ?12， 上为增函数，若 “ p 且 q” 为假， “ p 或 q” 为真，求实数 c 的取值范围 16. （本小题满分 14分） 已知定义域为 R的函数 f(x) 2x b2x 1 a是奇函数 (1)求 a， b的值； (2)若对任意的 t R，不等式 f(t2 2t) f
5、(2t2 k)0，且 c1 ，设 p：函数 y cx在 R上单调递减； q：函数 f(x) x2 2cx 1 在 ? ?12， 上为增函数，若 “ p 且 q” 为假， “ p 或 q” 为真，求实数 c 的取值范围 审题视角 (1)p、 q 真时，分别求出相应的 a 的范围； (2)用补集的思 想，求出綈 p、綈 q 分别对应的 a的范围； (3)根据 “p 且 q” 为假、 “p 或 q” 为真，确定 p、 q的真假 规范解答 解 函数 y cx在 R 上单调递减， 00且 c1 ， 綈 p： c1.4分 - 6 - 又 f(x) x2 2cx 1在 ? ?12， 上为增函数， c 12.
6、 即 q： 00且 c1 ， 綈 q： c12且 c1.6 分 又 “ p或 q” 为真， “ p且 q” 为假， p 真 q假或 p假 q真 8 分 当 p真， q假时， c|012且 c1 ? ?c|121 ? ?c|01，因底数 21，故 3t2 2t k0. 12分 上式对一切 t R 均成立，从而判别式 4 12k 2t2 k. 12分 即对一切 t R 有 3t2 2t k0， 从而 4 12k0，解得 k 13. 14分 17.（本小题满分 15分） 某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD的顶点 A、 B及 CD的中点 P处，已知 AB=20km， BC=10km，为了 处理三家
7、工厂的污水，现要在矩形 ABCD的区域上（含边界），且 A、 B与等距离的一点 O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO、 BO、 OP，设排污管道的总长为 ykm。 （ 1）按下列要求写出函数关系式： 设 BAO= (rad)，将 y表示成 的函数关系式； 设 OP=x(km)，将 y表示成 x的函数关系式； （ 2）请你选用（ 1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。 【解析】本小题主要考查函数最值的应用 （）由条件知 PQ 垂直平分 AB，若 BAO=? (rad) ，则 10cos cosAQOA ?, 故 10cosOB ? ，又 OP 10 10
8、tan? ， 所以 1 0 1 0 1 0 1 0 t a nc o s c o sy O A O B O P ? ? ? ? ? ? ?， 所求函数关系式为 20 10 sin 10cosy ?04?若 OP=x (km) ，则 OQ 10 x ，所以 OA =OB= ? ? 2 221 0 1 0 2 0 2 0 0x x x? ? ? ? ? 所求函数关系式为 ? ?22 2 0 2 0 0 0 1 0y x x x x? ? ? ? ? ? （）选择函数模型， ? ? ? ? ? ?221 0 c o s c o s 2 0 1 0 s i n 1 0 2 s i n 1c o s c
9、 o ss iny ? ? ? ? ? ? ? ? ?令 y? 0 得 sin 12? ，因为 0 4? ，所以 ? =6? ， 当 0,6? ?时， 0y? ， y 是 ? 的减函数；当 ,64? ?时， 0y? ， y 是 ? 的增函数，所以当 ? =6? 时， min 10 10 3y ? 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，在矩形区域内且距B C D A O P - 8 - O M N F2 F1 y x （第 18 题） 离 AB 边 1033 km处。 18.（本小题满分 15 分）如图，椭圆 221xyab?( 0)ab? 过点 3(1, )2P ，其左、右焦点分别 为 1
10、2,FF，离心率 12e? ， ,MN是椭圆右准线上的两个动点，且 120FM F N? （ 1）求椭圆 的 方程； （ 2）求 MN 的最 小值； （ 3）以 MN 为直径的圆 C 是否过定点？请证明你的结论 解：（ 1） 12ce a?，且过点 3(1, )2P ， 222 2 2191,42,abaca b c? ? ?解得 2,3,ab? ?椭圆方程为 22143xy?.? 4分 (2) 设点 12(4, ), (4, )M y N y 则 1 1 2 2(5, ), (3, ),F M y F N y?1 2 1 215 0F M F N y y? ? ? ?， 12 15yy? ?
11、 ， 又 2 1 1 1111 5 1 5 15M N y y y yyy? ? ? ? ? + 2， MN? 的最小值为 215 ? 10分 (3) 圆心 C 的坐标为 12(4, )2yy? ，半径 212yyr ? . 圆 C 的方程为 2221 2 2 1()( 4 ) ( )24y y y yxy ? ? ? ?， 整理得： 22 1 2 1 28 ( ) 1 6 0x y x y y y y y? ? ? ? ? ? ?. ? 16分 12 15yy? ， 22 128 ( ) 1 0x y x y y y? ? ? ? ? ? ? 令 0y? ，得 2 8 1 0xx? ? ?
12、， 4 15x? ? ? . ?圆 C 过定点 (4 15,0)? .? 16分 19.（本小题满分 16 分）已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且满足 22nnS pa n?， *nN? ，其- 9 - 中常数 2p? （ 1）证明：数列 ? ?1na? 为等比数列； （ 2）若 2 3a? ，求数列 ?na 的通项公式； （ 3）对于（ 2）中数列 ?na ，若数列 nb 满足 2log ( 1)nnba?（ *nN? ），在 kb 与 1kb? 之间插入 12k? （ *k?N ）个 2，得到一个新的数列 nc ，试问：是否存在正整数 m,使得数列 nc 的前 m项的和 201
13、1mT ? ?如果存在，求出 m的值 ； 如果不存在 ， 说明理由 . 解：（ 1） 22nnS pa n?， 112 2( 1)nnS pa n? ? ?， 1122n n na pa pa? ? ?， 1 222nnpaapp? ?，1 1 ( 1)2nnpaap? ? ? ?， ? 4分 1122a pa?，1 02pa p?， 1 10a? 1 1 012nna pap? ? ?，数列 ? ?1na? 为等比数列 （ 2）由（ 1）知 1 ( )2 nn pa p? ?， ( ) 12 nn pa p? 8分 又 2 3a? ， 2( ) 1 32pp ?， 4p? ， 21nna ?
14、 ? 10 分 （ 3）由（ 2）得 2log 2nnb ? ，即 *,( )nb n n N?， 数列 Cn 中， kb （含 kb 项）前的所有项的和是： 0 1 2 2 ( 1 )1 2 3 ) ( 2 2 2 2 ) 2 2 22kkkkk ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ? 12 分 当 k=10 时，其和是 1055 2 2 1077 2011? ? ? ? 当 k=11 时，其和是 1166 2 2 2112 2011? ? ? ? 又因为 2011-1077=934=467? 2，是 2的倍数 ? 14 分 所以当 281 0 (1 2 2 2 ) 4
15、 6 7 9 8 8m ? ? ? ? ? ? ? ?时， T 2011m? ， 所以存在 m=988使得 T 2011m? ? 16分 20.（本小题满分 16分）已知函数 2( ) 1, ( ) | 1 |f x x g x a x? ? ? ? （ 1）若关于 x 的方程 | ( )| ( )f x g x? 只有一 个 实数解，求实数 a 的取值范围； （ 2）若当 x?R 时，不等式 ( ) ( )f x g x 恒成立，求实数 a 的取值范 围； （ 3）求函数 ( ) | ( ) | ( )h x f x g x?在区间 2,2? 上的最大值 解：（ 1）方程 | ( )| (
16、)f x g x? ，即 2| 1| | 1|x a x? ? ? ，变形得 | 1| (| 1| ) 0x x a? ? ? ?， 显然， 1x? 已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程 | 1|xa? ， - 10 - 有且仅有一个等于 1的解或无解 ， 结合图形得 0a? . ? 4分 （ 2）不等式 ( ) ( )f x g x 对 x?R 恒成立，即 2( 1) | 1|x a x? （ *）对 x?R 恒成立， 当 1x? 时，（ *）显然成立，此时 a?R ； 当 1x? 时，（ *）可变形为 2 1| 1|xa x? ?，令 2 1, ( 1 ),1()( 1 ),
17、( 1 ).| 1 | xxxx x? ? ? ? ? ? ?因为当 1x? 时， ( ) 2x? ? ，当 1x? 时， ( ) 2x? ? ， 所以 ( ) 2x? ? ，故此时 2a ? . 综合，得所求实数 a 的取值范围是 2a ? . ? ? 8分 （ 3）因为 2( ) | ( ) | ( ) | 1 | | 1 |h x f x g x x a x? ? ? ? ? ?=2221, ( 1),1, ( 1 1),1, ( 1).x a x a xx a x a xx a x a x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分 当 1, 22a a?即 时，结合图形可知 ()hx 在 2,1? 上递减，在 1,2 上递增， 且 ( 2) 3 3, (2) 3h a h a? ? ? ? ?，经比较，此时 ()hx 在 2,2? 上的最大值为 33a? . 当 0 1, 22a a即 0 时，结合图形可知 ()hx 在 2, 1?， ,12a? 上递减， 在 1, 2a? ， 1,2 上递增，且 ( 2) 3 3, (2) 3h a h a? ? ? ? ?， 2( ) 124aaha? ? ? ?， 经比较，知此时 ()hx 在 2,2? 上的最大值为 33a? .
