1、2024年高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数的图象为C，以下结论中正确的是（ ）图象C关于直线对称；图象C关于点对称；由y =2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.ABCD2设为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）A充
2、分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3若，点C在AB上，且，设，则的值为（ ）ABCD4如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ）ABCD5已知函数，则不等式的解集是（ ）ABCD6已知集合A=x|y=lg（4x2），B=y|y=3x，x0时，AB=（ ）Ax|x2 Bx|1x2 Cx|1x2 D7已知，则a，b，c的大小关系为（ ）ABCD8记单调递增的等比数列的前项和为，若，则（ ）ABCD9正项等比数列中，且与的等差中项为4，则的公比是 ( )A1B2CD
3、10已知，若，则等于（ ）A3B4C5D611某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）ABCD12已知，若，则实数的值是（）A-1B7C1D1或7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图，在中，已知，为边的中点若，垂足为，则的值为_ 14如图，在菱形ABCD中，AB=3，E，F分别为BC，CD上的点，若线段EF上存在一点M，使得，则_，_（本题第1空2分，第2空3分）15已知变量 (m0)，且，若恒成立，则m的最大值_16如图在三棱柱中，点为线段上一动点，则的最小值为_.三、解答题：共70分。
4、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，（1）求证：平面ACD；（2）设，表示三棱锥B-ACE的体积，求函数的解析式及最大值18（12分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：满意不满意男女是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了人发放价值元的购物券若在获得了元购物券的人中随机抽取人赠其纪念品，求获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率附表及公式：19（12分）已知都是各项不为零的数列，
5、且满足其中是数列的前项和，是公差为的等差数列（1）若数列是常数列，求数列的通项公式；（2）若是不为零的常数），求证：数列是等差数列；（3）若（为常数，），求证：对任意的恒成立20（12分）已知椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于点（点在轴上方），斜率为的直线交椭圆于两点，过点作直线交椭圆于点，且，直线交轴于点.（1）设椭圆的离心率为，当点为椭圆的右顶点时，的坐标为，求的值.（2）若椭圆的方程为，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.21（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.22（10分）在，这三个
6、条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由.设正数等比数列的前项和为，是等差数列，_，是否存在正整数，使得成立？参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论.【详解】因为，又，所以正确.，所以正确.将的图象向右平移个单位长度，得，所以错误.所以正确，错误.故选:B【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.2、A【解析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详
7、解】若，则与共线，且方向相同，充分性；当与共线，方向相反时，故不必要.故选：.【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.3、B【解析】利用向量的数量积运算即可算出【详解】解：，又在上，故选：【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用4、A【解析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为，所以原数字塔中前10层所有数字之积为.故选
8、：A【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前项和公式应用，属于中档题5、B【解析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】函数，可得，时，单调递增，故不等式的解集等价于不等式的解集故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.6、B【解析】试题分析：由集合A中的函数，得到，解得：，集合，由集合B中的函数，得到，集合，则，故选B考点：交集及其运算7、D【解析】与中间值1比较，可用换底公式化为同底数对数，再比较大小【详解】，又，即，故选：D.【点睛】本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂
9、比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较8、C【解析】先利用等比数列的性质得到的值，再根据的方程组可得的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前项和，根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为为等比数列，所以，故即，由可得或，因为为递增数列，故符合.此时，所以或（舍，因为为递增数列）.故，.故选C.【点睛】一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）公比时，则有，其中为常数且；（3） 为等比数列（ ）且公比为.9、D【解析】设等比数列的公比为q，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q【详解】由题意，正项
10、等比数列中，可得，即，与的等差中项为4，即，设公比为q，则，则负的舍去，故选D【点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题10、C【解析】先求出，再由，利用向量数量积等于0，从而求得.【详解】由题可知，因为，所以有，得，故选：C.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.11、A【解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为底面是边长为4的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2
11、的半个圆锥，体积为 故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.12、C【解析】根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.【详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得.解得.故选：C.【点睛】本题考查了平面向
12、量数量积的坐标运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】，由余弦定理，得，得，所以，所以点睛：本题考查平面向量的综合应用本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到，所以本题转化为求长度，利用余弦定理和面积公式求解即可14、 【解析】根据题意，设，则，所以，解得，所以，从而有 .15、【解析】在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x），求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论【详解】不等式两边同时取对数得，即x2lnx1x1lnx2，又即成立，设f（x），x（0，m），x1x2，f（x1）f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增
13、函数，函数的导数，由f（x）0得1lnx0得lnx1，得0xe，即函数f（x）的最大增区间为（0，e），则m的最大值为e故答案为：e【点睛】本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键16、【解析】把 绕着进行旋转，当四点共面时，运用勾股定理即可求得的最小值.【详解】将以为轴旋转至与面在一个平面，展开图如图所示，若，三点共线时最小为，为直角三角形，故答案为：【点睛】本题考查了空间几何体的翻折，平面内两点之间线段最短，解直角三角形进行求解，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
14、。17、（1）见解析（2），最大值【解析】（1）先证明，故平面ADC由，即得证；（2）可证明平面ABC，结合条件表示出，利用均值不等式，即得解.【详解】（1）证明：四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，平面ABC，AB是圆O的直径，且，平面ADC，平面ADC，平面ADC（2）解平面ABC，平面ABC在中，在中，当且仅当，即时取等号，当时，体积有最大值【点睛】本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积，考查了学生逻辑推理，空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18、有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；.【解析】由题得，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；获得了元购物券的
15、人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，从中随机抽取人，所有基本事件有个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有个，进而求出获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.【详解】解析：由题得所以，有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，从中随机抽取人，所有基本事件有：，共个其中仅有1人是女顾客的基本事件有：，共个所以获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率【点睛】本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题19、（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】(1)根据,可求得,再根据
16、是常数列代入根据通项与前项和的关系求解即可.(2)取,并结合通项与前项和的关系可求得再根据化简可得,代入化简即可知,再证明也成立即可.(3)由(2) 当时,代入所给的条件化简可得,进而证明可得,即数列是等比数列.继而求得,再根据作商法证明即可.【详解】解：是各项不为零的常数列,则,则由,及得,当时,两式作差,可得当时,满足上式,则；证明：,当时,两式相减得：即即又,即当时,两式相减得：数列从第二项起是公差为的等差数列又当时,由得,当时,由,得故数列是公差为的等差数列；证明：由,当时,即,即,即,当时,即故从第二项起数列是等比数列,当时,另外,由已知条件可得,又,因而令,则故对任意的恒成立【点睛
17、】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.20、（1）；（2）不存在，理由见解析【解析】（1）写出，根据，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率；（2）写出直线AB的方程，根据韦达定理求出点B的坐标，计算出弦长，根据垂直关系同理可得，利用等式即可得解.【详解】（1）由题可得，过点作直线交椭圆于点，且，直线交轴于点.点为椭圆的右顶点时，的坐标为，即，化简得：，即，解得或（舍去），所以；（2）椭圆的方程为，由（1）可
18、得，联立得：，设B的横坐标，根据韦达定理，即，所以，同理可得若存在使得成立，则，化简得：，此方程无解，所以不存在使得成立.【点睛】此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用.21、（1）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），证明见解析.【解析】（1）求出，对分类讨论，分别求出的解，即可得出结论；（2）由（1）得出有两解时的范围，以及关系，将，等价转化为证明，不妨设，令，则，即证，构造函数，只要证明对于任意恒成立即可.【详解】（1）的定义域为R，且.由，得
19、；由，得.故当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）由（1）知当时，且.当时，；当时，.当时，直线与的图像有两个交点，实数t的取值范围是.方程有两个不等实根，即.要证，只需证，即证，不妨设.令，则，则要证，即证.令，则.令，则，在上单调递增，.，在上单调递增，即成立，即成立.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22、见解析【解析】根据等差数列性质及、，可求得等差数列的通项公式，由即可求得的值；根据等式，变形可得，分别讨论取中的一个，结合等比数列通项公式代入化简，检验是否存在正整数的值即可.【详解】在等差数列中，公差，若存在正整数，使得成立，即成立，设正数等比数列的公比为的公比为，若选，当时，满足成立.若选，方程无正整数解，不存在正整数使得成立.若选，解得或（舍去），当时，满足成立.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前n项和公式的应用，递推公式的简单应用，补充条件后求参数的值，属于中档题.
