1、 - 1 - 宜宾市高宜宾市高 2017 级高三第一次诊断测试级高三第一次诊断测试 理科数学理科数学 注意事项注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡 上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好 条形码。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，
2、共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只有一有一 项是符合要求的。项是符合要求的。 1已知集合1,2,3,4,5,6U ，1,3,4A，则 UA A5,6 B1,2,3,4 C2,5,6 D2,3,4,5,6 2若复数 1(2)imm （i是虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取 值范围是 A1, B2 , 1 C, 2 D,12, 3已知向量2, 4, 2bam，且baba，则实数m A4 B4 C2 D 4 4 7 3 1 3x x 展开式中的常数项是 A189 B63 C42 D21 5已知 3 2 3ln 3 1 3 4 3,e,2cba
3、，则 A abc Bacb Cbac Dcab 6函数 1 ln )( x x xf的图象大致是 - 2 - A B C D 7设曲线 1cos ( ) sin x f x x 在 3 =x处的切线与直线1yax平行，则实数a等于 A1 B 2 3 C2 D2 8 “关注夕阳，爱老敬老” ，某企业从 2012 年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录 了该企业第x年（2012 年是第一年）捐赠的现金数y（万元） ： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 若由表中数据得到y关于x的线性回归方程是35. 0 mxy，则可预测 2019 年捐赠的现金大约是 A5.95 万元 B5.25
4、万元 C5.2 万元 D5 万元 9执行如图所示的程序框图，如果输入2019n，则输出的S A 4039 4038 B 4039 2019 C 4037 2018 D 4037 4036 10若9人已按照一定顺序排成三行三列的方阵，从中任选3人，则至少有 两人位于同行或同列的概率是 A 13 14 B 4 7 C 3 7 D 1 14 11已知 1 12 ，函数) 4 +2sin(=)(xxf在区间 3 (,) 22 内没有最值，则的取值范围 A 1 1 , 6 2 B 511 , 12 24 C 15 , 4 12 D 5 ,1 12 12在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若两定点,A B满
5、足2OAOB，1OA OB， 第 9 题图 - 3 - 则点集 |,2, ,RP OPOAOB 所表示的区域的面积是. A4 2 B4 3 C6 2 D8 3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13在等差数列 n a中，若 1= 2 a， 23 +=10aa，则 7 =a . 14若函数 2 ( ) =e - x f xxax在区间0,（+）单调递增，则a的取值范围是 . 15 在ABC中， 角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c， 已知ABC的面积为4，4,8bBA AC， 则a . 16若函数( ) a f xx
6、a x 在区间0,2上为减函数，则满足条件的a的集合是 . 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题题为必考题，为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分） 在ABC中，a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边，满足 5 cos()cos 3 aCbcA. （1）若 1 sin 5 C ，10ac，求c； （2）若4a ，5c ，求
7、ABC的面积S. 18（12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，满足22 nn aS （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 nn anb) 12(,求数列 n b的前n项和 n T 19（12 分） 已知函数 322 13 ( )2 42 a f xxxbxa. （1） 若1b ， 当0x 时，( )f x的图象上任意一点的切线的斜率都非负， 求证：a 3 3 ； （2）若( )f x在2x 时取得极值0，求ab. - 4 - 20 （12 分） 手机运动计步已经成为一种新时尚某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到 如下频率分布直方图： 由频率分布直方图估计该单位职工一天
8、行走步数的中位数为125（百步） ，其中同一组中 的数据用该组区间的中点值为代表 （1）试计算图中的 a、b 值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值； （2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案： 记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数100 - = ，若(0,10，职工 获得一次抽奖机会；若(10,20，职工获得二次抽奖机会；若(20,30，职工获得三次抽 奖机会；若(30,40，职工获得四次抽奖机会；若超过50，职工获得五次抽奖机会设职 工获得抽奖次数为n 方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表 示该职工中奖几次； 方
9、案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表 示该职工中奖几次； 若某职工日步行数为15700步，试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列若 是你，更喜欢哪个方案？ 21（12 分） 已知函数( )lnf xxax. （1）讨论( )f x在其定义域内的单调性； - 5 - （2）若1a ，且 12 ()()f xf x，其中 12 0xx,求证： 121 2 3xxx x. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中选一题作答。如果多做题中选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计则按所做的第一题计 分。分。 22
10、 （10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 如图，在极坐标系Ox中，以 1 (1,) 2 C和 2 3 (2,) 2 C为圆心的 两圆外切于点O，射线 OA，OB 的夹角为 3 ，分别交 1 C于 O、 A 两点，交 2 C于 O、B 两点 （1）写出 1 C与 2 C的极坐标方程； （2）求OAB面积最大值 23 （10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数Rttxxf,2)(，3)( xxg. （1）Rx，有)()(xgxf，求实数t的取值范围； （2）若不等式0)(xf的解集为3 , 1，正数 a、b 满足222tbaab，求ba2的最小 值. 第 20 题图 - 6 - 宜宾市高
11、2017 级一诊考试题数学（理工类）参考答案 说明： 一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制 订相应的评分细则 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D D B A C A B A C D 二、填空
12、题 1314 14 , 22 l n 2 15 2 10 16 4 注：写成单元数集 才给分 三、解答题 17解： （1） 55 cos()cos ,sincos( sinsin)cos 33 aCbcAACBCA1 分 5 sincoscossinsincos 3 ACACBA， 5 sincossin()sin 3 BAACB2 分 3 sin0,cos 5 BA，则 4 sin 5 A 3 分 由正弦定理得， sin 4 sin aA cC ，即4ac，5 分 联立10ac，得2c 6 分 - 7 - （2）由余弦定理可得， 222 cos 2 bca A bc ，即 2 2 35 16
13、 ,56 5550 52 5 b bb b 得 11 5 5 b 10 分 则 122 sin 25 SbcA12 分 18. 解： （1）22 nn aS，当1n时22 11 aS 2 1 a 当2n时 22 nn aS，22 11 nn aS 两式相减得 1 22 nnn aaa ( 2)n 1 2 nn aa 2n 02 1 a 2 1 n n a a 2n n a是以首项为2，公比为2的等比数列 n n a2 6 分 （2）由（1）知 n n nb2) 12( nn n nnT2) 12(2) 32(252321 132 1432 2) 12(2) 32(2523212 nn n nn
14、T 两式相减得 nn n nT2) 12(22222 132 ）（ 62) 32(2) 12(622) 12( 21 )21 (2 2 1121 13 nnnn n n nnnT 62)32( 1 n n nT . 12 分 19. 2 3 ( )3 4 fxxaxb （I） 2 3 ( )310 4 fxxax 2 3 13 4 xax 31 3 4 xa x - 8 - 31 3 4 x x 33a 3 3 a （II）( 2)360fab 2 ( 2)26220faba 解得 21 93 aa bb 或 当1,3ab时 2 3 ( )(2)0 4 fxx，函数无极值； 2,9,11aba
15、b 20.（I）0.012,0.010ab，=125.6.4 分 （II）某职工日行步数=157()百步， 157-126.5 =100 126.5 24 职工获得三次抽奖机会 设职工中奖次数为X 在方案甲下 1 (3, ) 3 XB X 0 1 2 3 P 8 27 12 27 6 27 1 27 ()1E X 在方案乙下 X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 ()1E X .8 所以更喜欢方案乙.12 分 21. （I） 11 ( ) ax fxa xx （1）0( )0,( )0,+afxf x当时，则在区间（）上单调递增； - 9 - （2） 11 0(0, ),
16、( )0,( )(0, )axfxf x aa 当时，在区间上单调递增； 11 (+ ),( )0,( )(+ )xfxf x aa ，在区间，上单调递减； .4 分 （II）由（I）得：当1a 时，( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 12 01xx 将要证的不等式转化为 1 2 1 3 1 x x x ，考虑到此时， 2 1x ， 1 1 3 1 1 x x ， 又当(1,)x时，( )f x递增。故只需证明 1 2 1 3 ()() 1 x f xf x ，即证 1 1 1 3 ( )() 1 x f xf x 设 3 ( )( )() 1 x Q xf xf x
17、33 lnln() 11 xx xx xx 。 则 2 144 ( )1 (1)(1)(3) Q x xxxx 1411 (1)13 x xxxx 142(1) (1) (1)(3) xx xxxx 2 2 (1) (3) (3)(1) xx x xx 。 当(0,1)x时，( )0Q x，( )Q x递减。所以，当(0,1)x时， ( )(1)0Q xQ. 所以 1 1 1 3 ( )() 1 x f xf x ，从而命题得证。.12 分 22解： （1） 1: 2sinC； 2: 4sinC ；4 分 （2）由（I）得(2sin , )A ，( 4sin(),) 33 B 1 2sin 4
18、sin() 23 ABC S 3 3sin(2) 62 3 2 10 分 23. 解： （1）由)()(xgxf，得32xtx恒成立 txx32，在Rx时恒成立 txx min 32 53232xxxx - 10 - 5325xx 532 min xx 5t t的取值范围是5,5 分 方法二：根据函数32xxy的图像，找出32xx的最小值5 （2）由02)(txxf得tx2 解得txt22 32 12 t t 解得1t 将1t带入222tbaab，整理得02baab 1 12 ab 95425 22 ) 12 ()2(2 a b b a ab baba当且仅当 a b b a22 ， 即ba 时 取等号 9)2( min ba.10 分
