1、 第 - 1 - 页 共 13 页 - 1 - 第二章 单元质量测评 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分 满分 150 分， 考试时间 120 分钟 第卷 (选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1(AB MB )(BO BC )OM 化简后等于( ) ABC BAB CAC DAM 答案 C 解析 原式AB BO OM MB BC AC . 2设点 A(1,2)，B(2,3)，C(3，1)，且AD 2AB 3BC ，则点 D 的坐标为( ) A(2,16) B(2，16) C
2、(4,16) D(2,0) 答案 A 解析 设 D(x，y)，由题意可知AD (x1，y2)，AB (3,1)，BC (1，4)， 所以 2AB 3BC 2(3,1)3(1，4)(3,14)， 所以 x13， y214， 所以 x2， y16. 3若向量 a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab) c30， 则 x( ) A6 B5 第 - 2 - 页 共 13 页 - 2 - C4 D3 答案 C 解析 a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3) 又(8ab) c30，(6,3) (3，x)183x30.x4. 4设非零向量 a，b，c 满足|a|b|
3、c|，abc，则向量 a，b 的夹角为( ) A150 B120 C60 D30 答案 B 解析 设向量 a，b 的夹角为 ，则|c|2|ab|2|a|2|b|2 2|a|b|cos，则 cos1 2. 又 0 ，180 ，所以 120 . 5 设非零向量 a， b， c， 若 p a |a| b |b| c |c|， 则|p|的取值范围为( ) A0,1 B1,2 C0,3 D1,3 答案 C 解析 a |a|， b |b|， c |c|分别为 a，b，c 方向上的单位向量，当 a，b， c 同向时，|p|取最大值 3，|p|的最小值为 0. 6 向量BA (4， 3)， 向量BC (2，
4、4)， 则ABC 的形状为( ) A等腰非直角三角形 B等边三角形 C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形 答案 C 解析 BA (4，3)，BC (2，4)， 第 - 3 - 页 共 13 页 - 3 - AC BC BA (2，1)， CA CB (2,1) (2,4)0， C90 ，且|CA | 5，|CB |2 5，|CA |CB |. ABC 是直角非等腰三角形 7在ABC 中，若|AB |1，|AC | 3，|AB AC |BC |，则AB BC |BC | ( ) A 3 2 B1 2 C1 2 D 3 2 答案 B 解析 由向量的平行四边形法则，知当|AB AC |BC |时，A
5、 90 .又|AB |1， |AC | 3， 故B60 ， C30 ， |BC |2， 所以AB BC |BC | |AB |BC |cos120 |BC | 1 2. 8如图，在矩形 ABCD 中，AB 3，BC4，点 E 为 BC 的中点， 点 F 在 CD 上若AB AF 3，则AE BF 的值是( ) 第 - 4 - 页 共 13 页 - 4 - A5 3 B5 3 C4 3 D5 3 答案 B 解析 如图， 过点 F 作 FGAB 于点 G， 因为AB AF |AB | |AF |cos AB ， AF |AB | |AG | 3， 所以|AG |1.AE BF (AB BE ) (
6、BC CF ) AB BC AB CF BE BC BE CF 0 3( 31)2405 3，故选 B. 9已知点 O 为ABC 所在平面内一点，且OA 2BC 2OB 2CA 2 OC 2AB 2，则 O 一定为ABC 的( ) A外心 B内心 C垂心 D重心 答案 C 解析 OA 2BC 2OB 2CA 2OA 2OB 2CA 2BC 2(OA OB ) (OA OB )(CA BC ) (CA BC )BA (OA OB )BA (CA BC ) BA (OA OB CA BC )02BA OC 0BA OC ，同理CB OA . 故 O 为ABC 的垂心 10设向量 a 与 b 的夹角
7、为 ，定义 a 与 b 的“向量积”：ab 是一个向量，它的模|ab|a|b|sin， 若 a( 3，1)，b(1， 3)， 则|ab|( ) 第 - 5 - 页 共 13 页 - 5 - A 3 B2 C2 3 D4 答案 B 解析 cos a b |a|b| 3 3 22 3 2 ， sin1 2，|ab|22 1 22. 11 设 00，点 P 在线段 AB 上，且AP tAB (0t1)，则OA OP 的 最大值为( ) Aa B2a C3a Da2 答案 D 解析 AB OB OA (0，a)(a,0)(a，a)， AP tAB (at，at) 又OP OA AP (a,0)(at，
8、at)(aat，at)， 第 - 6 - 页 共 13 页 - 6 - OA OP a(aat)0ata2(1t)(0t1) 当 t0 时，OA OP 取得最大值，为 a2. 第卷 (非选择题，共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在 题中的横线上) 13设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反， 则 a 的坐标为_ 答案 (4，2) 解析 设 a(x，y)，x0，y0，则 x2y0 且 x2y220，解 得 x4，y2.即 a(4，2) 14在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若AB AC
9、 BA BC 1，那么 c_. 答案 2 解析 由题知，AB AC BA BC 2， 即AB AC AB BC AB (AC CB )AB 22c|AB | 2. 15如图，在正方形 ABCD 中，已知|AB |2，若 N 为正方形内(含 边界)任意一点，则AB AN 的最大值是_ 第 - 7 - 页 共 13 页 - 7 - 答案 4 解析 AB AN |AB |AN | cosBAN， |AN | cosBAN 表示AN 在AB 方向上的投影，又|AB |2，AB AN 的最大值是 4. 16已知向量 a(1,1)，b(1，1)，c( 2cos， 2sin)( R)，实数 m，n 满足 m
10、anbc，则(m3)2n2的最大值为_ 答案 16 解析 由 manbc， 可得 mn 2cos， mn 2sin， 故(mn)2(mn)2 2，即 m2n21，故点 M(m，n)在单位圆上，则点 P(3,0)到点 M 的 距离的最大值为 OP1314，其中 O 为坐标原点，故(m3)2 n2的最大值为 4216. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)已知 O，A，B 是平面上不共线的三点，直 线 AB 上有一点 C，满足 2AC CB 0， (1)用OA ，OB 表示OC ； (2)若点 D 是 OB 的中点，
11、证明四边形 OCAD 是梯形 解 (1)2AC CB 0， 第 - 8 - 页 共 13 页 - 8 - 2(OC OA )(OB OC )0， 2OC 2OA OB OC 0， OC 2OA OB . (2)如图，DA DO OA 1 2OB OA 1 2(2OA OB ) 故DA 1 2OC .故四边形 OCAD 为梯形 18 (本小题满分 12 分)如图， 平行四边形 ABCD 中， AB a， AD b，H，M 分别是 AD，DC 的中点，F 为 BC 上一点，且 BF1 3BC. (1)以 a，b 为基底表示向量AM 与HF ； 第 - 9 - 页 共 13 页 - 9 - (2)若
12、|a|3，|b|4，a 与 b 的夹角为 120 ，求AM HF . 解 (1)由已知，得AM AD DM 1 2ab. 连接 AF，AF AB BF a1 3b， HF HA AF 1 2b a1 3b a 1 6b. (2)由已知，得 a b|a|b|cos120 34 1 2 6， 从而AM HF 1 2ab a1 6b 1 2|a| 211 12a b 1 6|b| 21 23 211 12 (6)1 64 211 3 . 19(本小题满分 12 分)在四边形 ABCD 中，AB (6,1)，BC (x， y)，CD (2，3)，BC DA . (1)求 x 与 y 的关系式； (2)
13、若AC BD ，求 x，y 的值以及四边形 ABCD 的面积 解 (1)如图所示 因为AD AB BC CD (x4，y2)， 第 - 10 - 页 共 13 页 - 10 - 所以DA AD (x4,2y) 又因为BC DA ，BC (x，y)， 所以 x(2y)(x4)y0，即 x2y0. (2)由于AC AB BC (x6，y1)，BD BC CD (x2，y 3) 因为AC BD ，所以AC BD 0， 即(x6)(x2)(y1)(y3)0， 所以 y22y30，所以 y3 或 y1. 当 y3 时，x6，于是BC (6,3)，AC (0,4)，BD (8,0) 所以|AC |4，|B
14、D |8， 所以 S四边形ABCD1 2|AC |BD |16. 当 y1 时，x2，于是有BC (2，1)，AC (8,0)，BD (0， 4) 所以|AC |8，|BD |4，S四边形ABCD16. 综上可知 x6， y3 或 x2， y1， S四边形ABCD16. 20(本小题满分 12 分)平面直角坐标系中，已知点 A(3,0)， B(0,3)， C(cos，sin) (1)若AC BC 1，求 sincos 的值； (2)若|OA OC | 13且 (0，)，求OB 与OC 的夹角 第 - 11 - 页 共 13 页 - 11 - 解 (1)A(3,0)，B(0,3)，C(cos，s
15、in)， AC (cos3，sin).BC (cos，sin3)， 又AC BC 1， cos(cos3)sin(sin3)1， cossin2 3， 两边平方，得 12sin cos4 9. sincos 5 18. (2)OA OC (3cos，sin)， |OA OC | 13， (3cos)2sin213， cos1 2，(0，)， 3，sin 3 2 ， C 1 2， 3 2 ，OB OC 3 3 2 ， cosOB ，OC OB OC |OB |OC | 3 3 2 31 3 2 ， OB 与OC 的夹角为 6. 第 - 12 - 页 共 13 页 - 12 - 21(本小题满分
16、12 分)如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上一点， 且OP xOA yOB . (1)若AP PB ，求 x，y 的值； (2)若AP 3PB ，|OA |4，|OB |2，且OA 与OB 的夹角为 60 ，求 OP AB 的值 解 (1)若AP PB ，则OP 1 2OA 1 2OB ， 故 xy1 2. (2)若AP 3PB ， 则OP OA 3 4AB OA 3 4(OB OA )1 4OA 3 4OB ， OP AB 1 4OA 3 4OB (OB OA ) 1 4OA 21 2OA OB 3 4OB 2 1 44 21 242cos60 3 42 23. 22 (本小题满分 1
17、2 分)已知向量 a(cos， sin)， b(cos， sin)， 且 a，b 满足关系|kab| 3|akb|(k0) (1)求 a 与 b 的数量积用 k 表示的解析式 f(k)； (2)a 能否和 b 垂直？a 能否和 b 平行？若不能， 则说明理由； 若能， 第 - 13 - 页 共 13 页 - 13 - 则求出相应的 k 值； (3)求 a 与 b 夹角的最大值 解 (1)由已知|a|b|1. |kab| 3|akb|，(kab)23(akb)2， k2|a|22ka b|b|23(|a|22ka bk2|b|2)， 8ka b2k22，f(k)a bk 21 4k (k0) (2)a bf(k)0， a 与 b 不可能垂直若 ab，由 a b0 知 a，b 同向， 于是有 a b|a|b|cos0|a|b|1， 即k 21 4k 1，解得 k2 3.当 k2 3时，ab. (3)设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos a b |a|b|a b k21 4k (k0)，cos 1 4 k1 k 1 4 ()k 2 1 k 2 1 4 k 1 k 22 ， 当 k 1 k即 k1 时， cos 取到最小值为1 2.又 0 180 ， a 与 b 夹角 的最大值为 60 .
