1、 ( (一一) )椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 1 F、 2 F的距离的和大于| 1 F 2 F|这个条件不可忽视.若这 个距离之和小于| 1 F 2 F|，则这样的点不存在；若距离之和等于| 1 F 2 F|，则动点的轨迹是线段 1 F 2 F. 2.椭圆的标准方程：1 2 2 2 2 b y a x （ab0） ，1 2 2 2 2 b x a y （ab0）. 3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 2 x项的分母大于 2 y项的分母，则椭圆 的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上. 4.求椭圆的标准
2、方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解. ( (二二) )椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 1. 椭圆的几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为1 2 2 2 2 b y a x （ab0）. 范围： -axa，-bxb，所以椭圆位于直线 x=a和 y=b所围成的矩形里. 对称性：分别关于 x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点：有四个 1 A（-a，0） 、 2 A（a，0） 1 B（0，-b） 、 2 B（0，b）.线段 1 A 2 A、 1 B 2 B分别叫做椭圆的长轴 和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b， a
3、 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个 交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 a c e 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0e1.e 越接近 于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆. 2.2.椭圆的第二定义椭圆的第二定义 定义：平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 a c e （e1时，这个动点的 轨迹是椭圆. 准线：根据椭圆的对称性，1 2 2 2 2 b y a x （ab0）的准线有两条，它们的方程为 c a x 2 .对于椭圆 1 2 2 2 2 b x a y （a
4、b0）的准线方程，只要把 x 换成 y 就可以了，即 c a y 2 . 3.3.椭圆的焦半径椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. 设 1 F（-c，0） ， 2 F（c，0）分别为椭圆1 2 2 2 2 b y a x （ab0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任 一点，则两条焦半径长分别为exaMF 1 ，exaMF 2 . 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素 a、 b、 c、 e 中有 2 a= 2 b+ 2 c、 a c e 两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件. 4.4.椭圆的参数方程椭圆的参数方程 椭圆
5、1 2 2 2 2 b y a x （ab0）的参数方程为 cos sin xa yb （为参数）. 说明说明: : 这里参数叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角与直线 OP 的倾斜角不同： tantan a b ； 椭圆的参数方程可以由方程1 2 2 2 2 b y a x 与三角恒等式1sincos 22 相比较而得到， 所以椭圆的参数方 程的实质是三角代换. 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的参数方程是 cos sin xa yb . 5.5.椭圆的椭圆的的内外部的内外部 （1）点 00 (,)P xy在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的内部 22 00
6、22 1 xy ab . （2）点 00 (,)P xy在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的外部 22 00 22 1 xy ab . 6.6. 椭圆椭圆的的切线切线方程方程 (1)椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点 00 (,)P xy处的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . （2）过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 外一点 00 (,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 00 22 1 x xy y ab . （3）椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 与直线0AxByC相切的条件是 22222 A aB bc ( (三三)
7、 )双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 1.双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点 1 F、 2 F的距离的差的绝对值等于常数 2a（小于| 1 F 2 F|）的动点M的 轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a| 1 F 2 F|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边” 加以理解.若 2a=| 1 F 2 F|，则动点的轨迹是两条射线；若 2a| 1 F 2 F|，则无轨迹. 若 1 MF 2 MF时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 1 MF 2 MF时，轨迹为双曲线的另一 支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 2. 双曲线的标准方程双曲线
8、的标准方程：1 2 2 2 2 b y a x 和1 2 2 2 2 b x a y （a0， b0） .这里 222 acb， 其中| 1 F 2 F|=2c. 要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法双曲线的标准方程判别方法是是：如果 2 x项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 2 y项的系数是正数，则 焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐 标轴上. 4.4.求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法
9、求解. ( (四四) )双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 1.双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率 a c e 1，离心率 e 越大，双曲线的开口越大. 2. 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为x a b y或表示为0 2 2 2 2 b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是 x n m y，即0 nymx，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm 2222 ，其中 k 是一个不为零的常 数. 3.双曲线的第二定义双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于 1 的常数（离心率）的点
10、的轨迹叫做双曲线.对于双曲线1 2 2 2 2 b y a x ，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0） ，与它们对应的准线方程分 别是 c a x 2 和 c a x 2 .双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦半径公式 2 1 | ()| a PFe x c ， 2 2 | ()| a PFex c . 4.4.双曲双曲线线的内外部的内外部 (1)点 00 (,)P xy在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的内部 22 00 22 1 xy ab . (2)点 00 (,)P xy在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的外部 22 00
11、22 1 xy ab . 5.5.双曲双曲线线的方程与的方程与渐近线方程的关系渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x 渐近线方程： 22 22 0 xy ab x a b y. (2)若渐近线方程为x a b y0 b y a x 双曲线可设为 2 2 2 2 b y a x . (3)若双曲线与1 2 2 2 2 b y a x 有公共渐近线，可设为 2 2 2 2 b y a x （0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴 上）. 6.6. 双曲线的双曲线的切线方程切线方程 (1)双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上一点 00 (,)P
12、xy处的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . （2）过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 外一点 00 (,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 00 22 1 x xy y ab . （3）双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 与直线0AxByC相切的条件是 22222 A aB bc. ( (五五) )抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程和几何性质 1抛物线的定义抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点 F 叫抛 物线的焦点，这条定直线 l 叫抛物线的准线。 需强调的是，点 F 不在直线 l
13、 上，否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线，而不是抛物线。 2抛物线的方程有四种类型： pxy2 2 、 pxy2 2 、 pyx2 2 、 pyx2 2 . 对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是 正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向。 3抛物线的几何性质，以标准方程 y2=2px 为例 （1）范围：x0； （2）对称轴：对称轴为 y=0，由方程和图像均可以看出； （3）顶点：O（0，0） ，注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心） ； （4）离心率：e=
14、1，由于 e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的； （5）准线方程 2 p x ； （6）焦半径公式：抛物线上一点 P（x1，y1） ，F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p0） ： 22 11 22 11 2:;2: 22 2:;2: 22 pp ypx PFxypx PFx pp xpyPFyxpyPFy （7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线 y2=2px（pO） 的焦点 F 的弦为 AB，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB 的倾斜角为，则有|AB|=x1+x2+p 以上两公式只适合过焦点的弦长
15、的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。 （8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x 2 +bx+c=0，当 a0 时，两者的位 置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果 a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行 的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。 4.抛物线 pxy2 2 上的动点可设为 P ), 2 ( 2 y p y 或 或)2 ,2( 2 ptptP P( , )x y ，其中 2 2ypx . 5.二次函数 2 22 4 () 24 bacb yaxbxca x aa (0)a 的图象是抛物线： （1）顶点坐标为
16、2 4 (,) 24 bacb aa ； （2）焦点的坐标为 2 41 (,) 24 bacb aa ； （3）准线方程是 2 41 4 acb y a . 6.抛物线的内外部抛物线的内外部 (1)点 00 (,)P xy 在抛物线 2 2(0)ypx p 的内部 2 2(0)ypx p .点 00 (,)P xy 在抛物线 2 2(0)ypx p 的外部 2 2(0)ypx p . (2) 点 00 (,)P xy 在 抛 物 线 2 2(0 )yp xp 的 内 部 2 2(0 )yp xp . 点 00 (,)P xy 在 抛 物 线 2 2(0)ypx p 的外部 2 2(0)ypx
17、p . (3)点 00 (,)P xy 在抛物线 2 2(0)xpy p 的内部 2 2(0)xpy p .点 00 (,)P xy 在抛物线 2 2(0)xpy p 的外部 2 2(0)xpy p . (4) 点 00 (,)P xy 在 抛 物 线 2 2(0 )xp yp 的 内 部 2 2(0 )xp yp . 点 00 (,)P xy 在 抛 物 线 2 2(0 )xp yp 的外部 2 2(0)xpy p . 7. 抛物线的切线方程抛物线的切线方程 (1)抛物线 pxy2 2 上一点 00 (,)P xy 处的切线方程是 00 ()y yp xx . （2）过抛物线 pxy2 2
18、外一点 00 (,)P xy 所引两条切线的切点弦方程是 00 ()y yp xx . （3）抛物线 2 2(0)ypx p 与直线 0AxByC 相切的条件是 2 2pBAC . (六六).两个常见的曲线系方程两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 1( , ) 0f x y , 2( , ) 0fx y 的交点的曲线系方程是 12 ( , )( , )0f x yf x y (为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 22 22 1 xy akbk ,其中 22 max,ka b .当 22 min,ka b 时,表示椭圆; 当 2222 min,max,a bka b 时,表示双曲线.
19、(七七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22 1212 ()()ABxxyy 或 2222 211212 (1)()| 1 tan| 1tABkxxxxyyco （弦端点 A ),(),( 2211 yxByx ，由方程 0)y, x(F bkxy 消去 y 得到 0 2 cbxax ， 0 ,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）. (八八).圆锥曲线的两类对称问题圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线 ( , )0F x y 关于点 00 (,)P xy 成中心对称的曲线是 00 (2- ,2)0Fx xyy . （2）曲线 ( , )0F x y 关于直线 0AxBy
20、C 成轴对称的曲线是 2222 2 ()2 () (,)0 A AxByCB AxByC F xy ABAB . 四基本方法和数学思想四基本方法和数学思想 1.椭圆焦半径公式：设 P（x0,y0）为椭圆 1 2 2 2 2 b y a x （ab0）上任一点，焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则 0201 ,exaPFexaPF （e 为离心率） ； 2.双曲线焦半径公式：设 P（x0,y0）为双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （a0,b0）上任一点，焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则: （1）当 P 点在右支上时， 0201 ,exaPFexaPF ； （2）当
21、P 点在左支上时， 0201 ,exaPFexaPF ； （e 为离心率） ； 另：双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （a0,b0）的渐进线方程为 0 2 2 2 2 b y a x ； 3.抛物线焦半径公式：设 P（x0,y0为抛物线 y2=2px(p0)上任意一点，F 为焦点，则 2 0 p xPF ；y2=2px(p0) 上任意一点，F 为焦点， 2 0 p xPF ； 4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题； 5.共渐进线x a b y的双曲线标准方程为( 2 2 2 2 b y a x 为参数，0） ； 6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式， 一般地，若斜率为 k 的直线被
22、圆锥曲线所截得的弦为 AB， A、B 两点分别为 A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长 4)(1 (1 21 2 21 2 12 2 xxxxkxxkAB 4)() 1 1 ( 1 1 21 2 21 2 12 2 yyyy k yy k ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想； 7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为 a b22 ，焦准距为 p= c b2 ，抛物线的通径为 2p，焦准距为 p; 双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （a0，b0）的焦点到渐进线的距离为 b; 8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为 Ax2+Bx21； 9.抛物线 y2=2px(p
23、0)的焦点弦（过焦点的弦）为 AB，A（x1,y1） 、B(x2,y2),则有如下结论： （1）ABx1+x2+p;（2） y1y2=p2，x1x2= 4 2 p ; 10.过椭圆 1 2 2 2 2 b y a x （ab0）左焦点的焦点弦为 AB，则)(2 21 xxeaAB，过右焦点的弦 )(2 21 xxeaAB； 11.对于 y2=2px(p0)抛物线上的点的坐标可设为（ p y 2 2 0 ，y0）,以简化计算; 12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设 A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆 1 2 2 2 2 b y a x （ab0） 上不同的两点， M
24、(x0,y0)是 AB 的中点， 则 KABKOM= 2 2 a b ； 对于双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （a0， b0） ， 类似可得： KAB.KOM= 2 2 a b ； 对于 y2=2px(p0)抛物线有 KAB 21 2 yy p 13.求轨迹的常用方法：求轨迹的常用方法： （1）直接法：直接通过建立 x、y 之间的关系，构成 F(x,y)0，是求轨迹的最基本的方法； （2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程， 再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可； （3）代入法（相关点法或转移法） ：若动点 P(x,y)依赖
25、于另一动点 Q(x1,y1)的变化而变化，并且 Q(x1,y1)又在某已 知曲线上，则可先用 x、y 的代数式表示 x1、y1，再将 x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程； （4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程； （5）参数法：当动点 P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x、y 均用一中 间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程 有关有关解析几何解析几何的的经典结论经典结论 一、一、椭椭 圆圆 1. 点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角外角. 2. PT 平分PF1F2在点
26、P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两 个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若 000 (,)P xy 在椭圆 22 22 1 xy ab 上，则过 0 P 的椭圆的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 6. 若 000 (,)P xy 在椭圆 22 22 1 xy ab 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程 是 00 22 1 x xy y ab . 7. 椭圆 22 22 1 xy a
27、b (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 12 FPF ，则椭圆的焦 点角形的面积为 12 2 tan 2 F PF Sb . 8. 椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的焦半径公式： 9. 10 |MFaex , 20 |MFaex ( 1( ,0)Fc , 2( ,0) F c 00 (,)M xy ). 10. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF. 11. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆
28、长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 12. AB 是椭圆 22 22 1 xy ab 的不平行于对称轴的弦，M ),( 00 yx 为 AB 的中点，则 2 2 OMAB b kk a ， 13. 即 0 2 0 2 ya xb KAB 。 14. 若 000 (,)P xy 在椭圆 22 22 1 xy ab 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 15. 若 000 (,)P xy 在椭圆 22 22 1 xy ab 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 00 2222
29、 x xy yxy abab . 二、二、双曲线双曲线 1. 点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点 P 处的内角. 2. PT 平分PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若 000 (,)P xy 在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上，则过 0 P 的双曲线的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 6. 若 000 (,
30、)P xy 在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点 弦 P1P2 的直线方程是 00 22 1 x xy y ab . 7. 双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点 12 FPF ，则 双曲线的焦点角形的面积为 12 2 t 2 F PF Sb co . 8. 双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）的焦半径公式：( 1( ,0)Fc , 2( ,0) F c 9. 当 00 (,)M xy 在右支上时， 10 |MFexa , 20 |M
31、Fexa . 10. 当 00 (,)M xy 在左支上时， 10 |MFexa , 20 |MFexa 11. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应 于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF. 12. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M， A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 13. AB 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M ),( 00 yx 为 AB 的中点，则
32、 0 2 0 2 ya xb KK ABOM ，即 0 2 0 2 ya xb KAB 。 14. 若 000 (,)P xy 在 双 曲 线 22 22 1 xy ab （ a 0,b 0 ） 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 15. 若 000 (,)P xy 在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0） 内， 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 00 2222 x xy yxy abab . 椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）（会推导的经典结论） 椭椭 圆
33、圆 1. 椭圆 22 22 1 xy ab （abo）的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1 与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 2. 过椭圆 22 22 1 xy ab (a0, b0)上任一点 00 (,)A xy 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则 直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数）. 3. 若P为椭圆 22 22 1 xy ab （ab0） 上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, 12 PFF , 21 PF F ， 则 tan
34、t 22 ac co ac . 4. 设椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2 中， 记 12 FPF , 12 PFF , 12 FF P ，则有 sin sinsin c e a . 5. 若椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e 2 1 时，可在椭 圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为 椭 圆 22 22 1 xy ab （ a b 0 ） 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 ，
35、 A 为 椭 圆 内 一 定 点 ， 则 211 2| | 2|aAFPAPFaAF ,当且仅当 2 ,A F P 三点共线时，等号成立. 7. 椭 圆 22 00 22 ()() 1 xxyy ab 与 直 线 0A xB yC 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 22222 00 ()A aB bAxByC . 8. 已知椭圆 22 22 1 xy ab （ab0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 OPOQ .（1） 2222 1111 |OPOQab ;（2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为 22 22 4a b ab ;（3） OPQ S 的最小值是 22 22 a
36、 b ab . 9. 过椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 | |2 PFe MN . 10. 已知椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0） ,A、 B、 是椭圆上的两点， 线段AB的垂直平分线与x轴相交于点 0 (,0)P x , 则 2222 0 abab x aa . 11. 设 P 点是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 12 FPF ，则 (1) 2 12 2 | 1 cos b PFPF .(2) 1 2 2 tan
37、2 PF F Sb . 12. 设 A、B 是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的长轴两端点， P 是椭圆上的一点， PAB , PBA , BPA ， c 、 e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 ， 则 有 (1) 2 222 2|cos| | s ab PA ac co .(2) 2 tantan1 e .(3) 22 22 2 cot PAB a b S ba . 13. 已知椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、 B 两点,点C在右准线l上，且BC x 轴，则直线 AC 经过线段
38、EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线， 与以长轴为直径的圆相交， 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). 17. （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 18. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 19. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 双曲线双曲线 1. 双曲线 22 22 1 xy ab （a0,
39、b0）的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 2. 过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）上任一点 00 (,)A xy 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点， 则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数）. 3. 若 P 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, 12 PFF , 21 PF F ，则 tant 22 ca co ca
40、（或 tant 22 ca co ca ）. 4. 设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在 PF1F2 中，记 12 FPF , 12 PFF , 12 FF P ，则有 sin (sinsin) c e a . 5. 若双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1e 21 时，可 在双曲线上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上任一点,F1,F2 为
41、二焦点，A 为双曲线内一定点，则 21 | 2|AFaPAPF ,当且仅当 2 ,A F P 三点共线且P和 2 ,A F 在 y 轴同侧时，等号成立. 7. 双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）与直线 0AxByC 有公共点的充要条件是 22222 A aB bC . 8. 已知双曲线 22 22 1 xy ab （ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ . 9. （1） 2222 1111 |OPOQab ;（2）|OP|2+|OQ|2 的最小值为 22 22 4a b ba ;（3） OPQ S 的最小值是 22 22 a b ba . 10.
42、 过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线 交 x 轴于 P，则 | |2 PFe MN . 11. 已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0） ,A、 B是双曲线上的两点， 线段AB的垂直平分线与x轴相交于点 0 (,0)P x , 则 22 0 ab x a 或 22 0 ab x a . 12. 设 P 点是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 12 FPF ，则 (1) 2 12 2 | 1 cos b PFPF .(2) 1
43、2 2 cot 2 PF F Sb . 13. 设 A、B 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点， PAB , PBA , BPA ，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) 2 222 2|cos| | |s| ab PA ac co . 14. (2) 2 tantan1 e .(3) 22 22 2 cot PAB a b S ba . 15. 已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相 交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BC x 轴，则直线 AC 经
44、过线段 EF 的中点. 16. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线， 与以长轴为直径的圆相交， 则相应交点与相应焦点的连线必与切线 垂直. 17. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 18. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). 19. (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 20. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 21. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 其他常用公式其他常用公式
45、： 1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式： 2 1212 2 1 11ABkxxyy k 2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B 不同时为 0)的形式。 3、知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为 0 的直线)与直线垂直的 直线可表示为。 4、两平行线间的距离为。 5、若直线与直线平行 则 （斜率）且（在轴上截距） （充要条件） 6、圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程 才表示圆心为，半径为的圆。二元二次方程 表示圆的充要条件是且且。 7、圆的参数方程：（为参数） ，其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是 三角换元：； 8、为直径端点的圆方程 切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为 （） 9、弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解： ；过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当 时，方程为两圆公共弦所在直线方程. 习题部分习题部分 例题 1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为 4 的直线方程。 错解：错解：设所求直线方程为1 b y a x 。 （2，1）在直线上，1 12 ba ， 又4ab 2 1 ，即 ab = 8 ， 由、得 a = 4，b = 2。故所求直线方程为 x + 2 y = 4 。 剖析：剖析：本题的“陷阱”
