1、 浙江省浙江省 2019 年全国普通高等院校统一招生考试年全国普通高等院校统一招生考试 数学试卷（终极押题卷）数学试卷（终极押题卷） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1若集合,或,则( ) A B C D 2曲线 的方程为，则曲线 的离心率为（ ）. A B C D 3已知 i 为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A B4 C-4 D-4i 4 九章算木中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正 视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为，若该阳马的顶点都在同
2、一个球面上，则该 球的表面积为（ ） KS5UKS5UKS5U A B C D 5函数的部分图象大致为（ ） A B C D 6已知直线 n 与平面 ，若 n，则“n”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7已知实数满足 则的取值范围为( ) A B C D 8已知随机变量 的分布列如下表： X -1 0 1 P a b c 其中.若 的方差对所有都成立，则( ) A B C D 9已知三棱锥的所有棱长为是底面内部一个动点包括边界，且到三个侧面， ， 的距离，成单调递增的等差数列，记与，所成的角分别为 ， ， ，则下列正确 的是 A B C
3、 D 10已知数列的前 项和为，直线与圆交于，两点，且 .若对任意恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一 丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分； 且“冬至”时日影长度最大，为 1350 分；“夏至”时日影长度最小，为 160 分则“立春”时日影长度为 _ 12在ABC中，角A， B， C所对的边分别为a， b， c若 sin
4、cos 2 AB ， 3a ， 2c ， 则cosC _； ABC的面积为_ 13二项式 6 1 (3)x x 的展开式中，常数项等于_；二项式系数和为_. 14如图，扇形中，半径为 1，的长为 2，则所对的圆心角的大小为_ 弧度；若点 是上的 一个动点，则当取得最大值时，_. KS5UKS5U.KS5U 15从 5 名男医生 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男女医生都有，则不同的组队方案 共有_种 数字回答 16已知函数 若在上是单调函数，则_； 若对任意实数k，方程都有解，则a的取值范围是_KS5UKS5UKS5U 17已知直线l过椭圆C：的左焦点F且交椭圆C于A、B两
5、点，O为坐标原点若，过 点O作直线AB的垂线，垂足为H，则点H为_ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 在平面直角坐标系xOy中， 角 的顶点与原点O重合， 始边与x轴的正半轴重合， 它的终边过点， 以角 的终边为始边，逆时针旋转得到角 求的值； 求的值 19如图，在直三棱柱中， ， 为线段的中 点， 为线段上一动点（异于点） ， 为线段上一动点，且. （）求证：平面平面；KS5UKS5U （）若，求直线与平面所成角的正弦值.KS5UKS5U.KS5U 20设数列的前 项和为，且满足： （1）若，求的值； （2）若成等差数列，求数列的通
6、项公式 21抛物线的焦点 F 为圆 C：的圆心 求抛物线的方程与其准线方程； 直线 l 与圆 C 相切，交抛物线于 A，B 两点； 若线段 AB 中点的纵坐标为，求直线 l 的方程； 求的取值范围 22已知函数在处取得极小值 （1）求实数 的值； （2）设，讨论函数的零点个数 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1若集合,或,则( ) A B C DKS5UKS5U 【答案】A 【解析】 解：因为,或 所以 故选：A. 2曲线 的方程为，则曲线 的离心率为（ ）. A B C D 【答案】A 【解析】 因为曲线
7、 的方程为， 所以， 则， ， 双曲线的离心率，故选 A 3已知 i 为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A B4 C-4 D-4i 【答案】C 【解析】 因为，所以虚部为-4，选 C. 4 九章算木中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正 视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该 球的表面积为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】 由正视图，侧视图可知，底面长方形的长，宽分别为 4，2， 故四棱锥的高为， 所以外接球的直径为， 所以 故选：D 5函数的部分图象大致为（ ） A B C D KS5U
8、KS5U 【答案】A 【解析】 ，定义域为，故函数为奇函数，图像关于原 点对称，排除两个选项.，排除 D 选项，故选 A. 6已知直线 n 与平面 ，若 n，则“n”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 若“n，n，则“”， 若 n，则 n 不一定垂直 ，也可能平行， 故 n”是“”的充分不必要条件 故选：A 7已知实数满足 则的取值范围为( ) A B C D 【答案】D 【解析】 作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示： z表示动点P（x，y）与定点A（3，1）连线的斜率 当连线经过 B 时斜率最大，此时,解
9、 B(8,5)则z 当连线经过 C 时斜率最小，此时,解 C(8,-1)，则z 故的取值范围为 故选：D 8已知随机变量 的分布列如下表： X -1 0 1 P a b c 其中.若 的方差对所有都成立，则( ) A B C D 【答案】D 【解析】 由 的分布列可得： 的期望为， 所以 的方差 ， 因为 所以当且仅当时，取最大值， 又对所有都成立，所以只需，解得，所以. 故选 D KS5UKS5U.KS5U 9已知三棱锥的所有棱长为是底面内部一个动点包括边界，且到三个侧面， 的距离，成单调递增的等差数列，记与，所成的角分别为 ， ， ，则下列正确 的是 A B C D 【答案】D 【解析】
10、依题意知正四面体的顶点 在底面的射影是正三角形的中心 ， 则，其中，表示直线、的夹角， ，其中，表示直线、的夹角， ，其中，表示直线的夹角， 由于是公共的，因此题意即比较与，夹角的大小， 设到，的距离为， 则，其中 是正四面体相邻两个面所成角， 所以，成单调递增的等差数列，然后在中解决问题 由于，结合角平分线性质可知在如图阴影区域不包括边界 从图中可以看出，、所成角小于所成角，所以，故选D 10已知数列的前 项和为，直线与圆交于，两点，且 .若对任意恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 圆心 O（0，0）到直线 yx2，即 xy20 的距离 d2， 由 d
11、2 r 2，且 ， 得 2 2+S n2an+2，4+Sn2（SnSn1）+2， 即 Sn+22（Sn1+2）且 n2； Sn+2是以+2 为首项，2 为公比的等比数列 由 2 2+S n2an+2，取 n1，解得2， Sn+2（+2）2 n1，则 S n2 n+12； （n2） 2 适合上式， 设 ， ， 所以 . 所以，若对任意恒成立， 即对任意恒成立，即对任意恒成立. 设，因为，所以，故的最大值 为 因为，所以. 故选:B 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四
12、气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一 丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分； 且“冬至”时日影长度最大，为 1350 分；“夏至”时日影长度最小，为 160 分则“立春”时日影长度为 _ 【答案】分 【解析】 一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分， 且“冬至”时日影长度最大，为 1350 分；“夏至”时日影长度最小，为 160 分 ， 解得， “立春”时日影长度为：分 故答案为 12在ABC中，角A， B， C所对的边分别为a， b， c若 sincos 2 AB ， 3a ， 2c ， 则cosC _； ABC的面积
13、为_ 【答案】 7 9 2 2 【解析】 sincossin 2 ABB ， 3a ， 2c ， 3ba， 222 994147 cos 22 3 3189 abc C ab ， 2 2 74 2 sin1 cos1 99 CC ， ABC的面积 114 2 sin3 32 2 229 SabC 13二项式 6 1 (3)x x 的展开式中，常数项等于_；二项式系数和为_. 【答案】,54064 【解析】 rrr r r r r r xC x xCT 26 6 6 6 6 31 1 3 ，常数项为当026 r时，即3r时，所以 54027 3 63 CT，二项式系数为64211 6 6 6 6
14、 2 6 0 6 CCC. 14如图，扇形中，半径为 1，的长为 2，则所对的圆心角的大小为_ 弧度；若点 是上的 一个动点，则当取得最大值时，_. 【答案】2 0 【解析】 由弧长公式得：， 即所对的圆心角的大小为 2 弧度， 由三角函数定义可建立以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴的直角坐标系，易得：， 设，则， 则 ， 又，所以， 当即时，取得最大值， 故答案为：2，0 KS5UKS5U 15从 5 名男医生 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男女医生都有，则不同的组队方案 共有_种 数字回答 【答案】70 【解析】 解：直接法：一男两女，有种， 两男一女，有种，共计
15、70 种 间接法：任意选取种，其中都是男医生有种， 都是女医生有种，于是符合条件的有种 故答案为：70 16已知函数 若在上是单调函数，则_； 若对任意实数k，方程都有解，则a的取值范围是_ 【答案】0 【解析】 作出函数的图象， 在上是单调函数， 可得，而的对称轴为， 可得在R上递增，即有； 对任意实数k，方程都有解， 即恒有解，即直线和的图象恒有交点， 可得的值域为R， 由时，时，； 时，递增，且，不成立； 由，解得或， 当时，由图象可得的值域为R， 当时，由图象可得的值域不为R， 综合可得a的范围是 故答案为：0， 17已知直线l过椭圆C：的左焦点F且交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点若
16、，过 点O作直线AB的垂线，垂足为H，则点H为_ 【答案】或 【解析】 由椭圆C：，可得， 若直线l无斜率，直线l方程为，此时， ，不符合题意 若直线l有斜率，设直线l的方程为， 联立方程组，消元得：， 设，则， ， ， ， ， 化为： 解得 直线l的方程为，或， 经过O且与直线l垂直的直线方程为： 联立， 解得，或 故答案为：，或 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 在平面直角坐标系xOy中， 角 的顶点与原点O重合， 始边与x轴的正半轴重合， 它的终边过点， 以角 的终边为始边，逆时针旋转 得到角 求的值； 求的值 【答案】 （）（
17、） 【解析】 解：角 的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点， 以角 的终边为始边，逆时针旋转 得到角 ， 由利用任意角的三角函数的定义可得， ， 19如图，在直三棱柱中， ， 为线段的中 点， 为线段上一动点（异于点） ， 为线段上一动点，且. （）求证：平面平面； （）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】 （）证明见解析； （）. 【解析】 （I）证明：因为， 为线段的中点， 所以， 在直三棱柱中，易知平面， ，而； 平面，； 又因为，； 所以平面， 又平面；所以平面平面； （II）由（I）可建立如图空间直角坐标系， 因为所以， 则， ， 设， 所以， 因为， 所以
18、， ， 解得：（ 异于点） , 设平面 的法向量为 ，则 即 ，可取 ， 设直线与平面所成角为 ， 则 , 直线与平面所成角的正弦值为. 20设数列的前 项和为，且满足： （1）若，求的值； （2）若成等差数列，求数列的通项公式 【答案】(1) 或(2) 【解析】 （1）因为，所以， 即，解得或 （2）设等差数列的公差为 因为， 所以， ， -，得，即， -，得，即， -，得，即 若，则，与矛盾，故 代入得，于是 因为，所以， 所以， 即，整理得， 于是 因为，所以，即 因为，所以所以数列是首项为，公差为的等差数列 因此， 21抛物线的焦点 F 为圆 C：的圆心 求抛物线的方程与其准线方程；
19、直线 l 与圆 C 相切，交抛物线于 A，B 两点； 若线段 AB 中点的纵坐标为，求直线 l 的方程； 求的取值范围 【答案】 （1） ,； （2）或； 【解析】 解： （1）由圆 配方可得：，可得圆心 抛物线的焦点 ，解得 抛物线的准线方程为： 抛物线的方程为 （2）设直线的方程为：， 直线与圆 相切， ，化为： ，或 联立，化为：，KS5UKS5U.KS5U ，或 即，解得或 所以可得的范围为或 ， 线段中点的纵坐标为， ， ， ， 解得或， 故直线的方程为或 . 设 ，或 当时，单调递增， 当时，单调递减， 的取值范围是 22已知函数在处取得极小值 （1）求实数 的值； （2）设，讨论
20、函数的零点个数 【答案】 （1）（2）当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时， 函数有两个零点. 【解析】 （1）函数的定义域为， 函数在处取得极小值 ，得 当时， 则时，；当时， 在上单调递减，在上单调递增 时，函数取得极小值，符合题意 （2）由（1）知，函数，定义域为 则： 令，得；令，得 在上单调递减，在上单调递增 当时，函数取得最小值 当，即时，函数没有零点； 当，即时，函数有一个零点； 当，即时， 存在，使 在上有一个零点 设，则 当时，则在上单调递减 ，即当时， 当时， 取，则 存在，使得 在上有一个零点 在上有两个零点， 综上可得，当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有 两个零点.
