1、1Chapter 7 narrow sense relativity 第七章第七章狭义相对论的狭义相对论的 原理和原理和相对论电动力学相对论电动力学21 电磁学和相对论原理第七章第七章狭义相对论的狭义相对论的 原理和相对论电动力学原理和相对论电动力学37-1.1伽利略变换和麦克斯韦方程的矛盾伽利略变换和麦克斯韦方程的矛盾伽利略的相对性原理伽利略的相对性原理一切惯性系是等价的。力学规律在动系和静系中是等价的，即力学规力学规律的协变性律的协变性。ttzzyyvtxx特点：时空分离。时间特点：时空分离。时间均匀流逝。低速现象。均匀流逝。低速现象。惯性坐标系的伽利略变换：惯性坐标系的伽利略变换：47-
2、1.1伽利略变换和麦克斯韦方程的矛盾伽利略变换和麦克斯韦方程的矛盾伽利略变换和麦克斯韦方程的矛盾伽利略变换和麦克斯韦方程的矛盾012222tc达朗贝尔方程：应用伽利略变换后为0121222222vvctvctc可得出，麦克斯韦方程只在某个惯性系成立，在其他惯性系不成立。5麦氏方程麦氏方程，可得到波动方程，得到电磁波在真空以c 速度传播。旧时空观旧时空观：物质相对某一参考系速度为c，对另一参考系，其速度不可能沿各个方向都为c.电磁波只在某特定参考系中传播速度为c.即麦氏方程只在某特殊的参考系成立实验结论实验结论：真空中的光速对任何惯性系都等于真空中的光速对任何惯性系都等于c.7-1.1伽利略变换
3、和麦克斯韦方程的矛盾伽利略变换和麦克斯韦方程的矛盾6旧电磁波理论（机械论）：电磁波在弹性以太 中传播。电磁波沿任何方向传播速度为c,只在特定参考系中（以太）。如果光速沿各个方向 存在差异，可确定地球相对以太的运动。迈克尔孙迈克尔孙-莫来（莫来（Michelson-morley)实验实验：测量光速沿各个方向的差异TM1M2MS地球绕太阳速度约30Km/s,地球相对以太相同数量级运动。(v/c)210-87-1.2迈克尔孙迈克尔孙-莫来（莫来（Michelson-morley)实验实验设地球相对于以太，绝对运动速度v,沿MM1方向。两支路有光程差，目镜中将出现干涉效应。否定了特殊参考系的存在，即光
4、速不依赖于观察者所在的参考系否定了特殊参考系的存在，即光速不依赖于观察者所在的参考系装置转90观察条纹移动个数77-1.3相对论的实验基础相对论的实验基础1。否定绝对参照系麦克尔逊-莫雷实验以太漂移实验1963（利用穆斯堡尔效应1958，即射线的无反冲发射、吸收）2。运动光源光速的测定介子衰变产生的光子速率的测定19648光速不依赖于光源相对观察者的运动光速不依赖于光源相对观察者的运动:高速粒子运动。0介子：高能质子与质子碰撞产生的不稳定粒子。质量为电子的264.12 倍，寿命0.8710-16s,衰变为两个光子：0高速0介子（0.9975c），沿其运动方向发出的光子的光速测为（2.99770
5、.0004）108m/s,同于静止光源的光速。其他实验:横向多普勒效应实验,证实运动始终延缓携带时钟环球飞行试验,证实运动始终延缓(1970)97-1.3爱因斯坦（爱因斯坦（Einstein）相对论基本假设）相对论基本假设（1）相对性原理相对性原理：所有惯性系都是等价的。物理规律对所有惯性系都可表为相同形式。（2）光速不变性原理光速不变性原理：真空中光速对任何参考系沿任一方向都为c,与光源速度无关。107-1.4 间隔不变性间隔不变性 物质运动可看为一连串的事件的发展过程：一个事件用坐标物质运动可看为一连串的事件的发展过程：一个事件用坐标（x,y,z,t)表示。表示。惯性系是线性系惯性系是线性
6、系(惯性系本身要求)：从一个惯性系到另一个惯性系的坐标变换是线性的。光速不变对时空变换的限制光速不变对时空变换的限制：例子：事件一：零时刻O点发射光，事件二：某时刻P点接收坐标（0,0,0,0)(x,y,z,t)坐标（0,0,0,0)(x,y,z,t)光速不变:22222tczyx22222tczyx即：022222tczyx022222tczyx两事件以光速传播信号联系。11两事件不以光速传播信号联系，前两式不一定为零。因线性变换，可把上式x,y,z,t 式划为x,y,z,t 式，加入因子A：)(2222222222tczyxAtczyxA 只决定于两参照系的相对运动速度的绝对值（因空间中无
7、特定方向）。两参照系等价，因而也有：)(2222222222tczyxAtczyx12A由变换连续性：取A=12222222222tczyxtczyx7-1.4 间隔不变性间隔不变性 12事件的间隔事件的间隔S2:第一事件(0,0,0,0),第二事件(x,y,z,t)坐标中，事件的间隔事件的间隔：)(222222zyxtcs坐标中，事件的间隔：)(222222zyxtcs间隔的不变性间隔的不变性：2222222222tczyxtczyx一般情况：第一事件(x1,y1,z1,t1)，第二事件(x2,y2,z2,t2)事件的间隔事件的间隔S2：21221221221222)()()()(zzyyx
8、xttcs间隔是时空统一的概念。间隔是时空统一的概念。7-1.4 间隔不变性间隔不变性 13例：相对 沿x轴以速度v运动。在 上有静止光源S和反射镜M,相距z0。从S发出沿z轴的闪光，经M回到S。求两参考系上观察的闪光发出、接收时间和间隔。MSMS1S2v t解：在在 上观察上观察：发出到接收的时间czt/20Z0发出、接收同地点：0zyx间隔：202222224)()()()(zzyxtcs7-1.4 间隔不变性间隔不变性 14在在 上观察上观察：在发出到接收的时间 t内,光源移动 x=v t光传播路程：tctvz2220412因而：2202vczt2202vcvztvx 0zy间隔：202
9、022222244)()()()(zzzyxtcs间隔相等，时间不同。间隔相等，时间不同。7-1.4 间隔不变性间隔不变性 157-2 Lorentz transform167-2 Lorentz transform 相对论时空坐标变换：相对论时空坐标变换：由变换的线性，间隔不变性简单情况，简单情况，x轴、轴、x轴沿轴沿 相对相对 运动方向。运动方向。y,z不变不变,有：有：ctaxactzzyyctaxax22211211惯性系等价惯性系等价:变换是线性变换是线性间隔不变性、线性代入间隔不变性：22222222212221211)()(tczyxctaxazyctaxax、x轴正向同，取a1
10、10;t、t正向同,取a220o kvxxoyky17比较系数：10122221222211211221211aaaaaaaa21122122222111,1,1aaaaaa以 相对 运动速度表示系数：O 点：在中观察，坐标x=vt;在中观察，坐标x=0ctaxax1211因ctavta12110得解得：cvaa11127-2 Lorentz transform 182221122222111/,11cvcvaacvaa相对论时空坐标变换：相对论时空坐标变换：2222211cvxcvttzzyycvvtxx 相对相对 以速度以速度v 沿沿x轴运动轴运动7-2 Lorentz transform
11、 19反变换，相同形式，速度由速度由v变为变为-v:2222211cvxcvttzzyycvvtxx 相对相对 以速度以速度-v沿沿x轴运动轴运动(相对相对 以速度以速度v 运动运动)7-2 Lorentz transform 20OOvP1P2P例：闪光从O点发出。在上观察，1 秒后同时被P1,P2接收。相对于运动速度0.8c。求，P1,P2接收到讯号时在的时刻和位置。解：P1受到讯号时，在的时空坐标为(c,0,0,1)311110,0311222222222cvcvcvxcvttzyccvvccvvtxxP1受到讯号时，在 的时空坐标为(c/3,0,0,1/3).在 上测得沿x上的光速x/
12、t=c。7-2 Lorentz transform 21P2受到讯号时，在的时空坐标为(-c,0,0,1)，可得，在 的时空坐标为(-3c,0,0,3).在 上测得沿x上的光速x/t=c。在和上观察P1,P2接收到讯号两事件，时间差别、空间距离、间隔：22222214,2,0)1,0,0,(),1,0,0,(:cxtcscxtcPcP22222214,3/10,3/8)3,0,0,3(),3/1,0,0,3/(:cxtcscxtcPcP相对论的时间、距离是相对的，同时性是相对的，两事件的间隔是绝对的7-2 Lorentz transform 223 物理量的协变性237-3 物理量的协变性物理
13、量的协变性四维空间四维空间22222yxyxopyyxxoP.cossin,sincosyxyyxx平面上坐标架的转动具有不变性平面上坐标架的转动具有不变性不变量先看二维空间的转动一、四维空间及四维空间的张量一、四维空间及四维空间的张量ictxzxyxxx4321,正交变换正交变换 空间是各向同性的，物理规律的数学形式应与空间坐标轴取向无关。坐标转动情况：247-3 物理量的协变性物理量的协变性转动是正交变换.jijixax 3,2,1,31ixaxjjiji不变量iiiixxxxn正交条件正交条件jkikijaaiikikjijxxxaxa三维空间的定点转动三维空间的定点转动正交变换:为显性
14、变换,其为正交变换的充要条件:的长度不变,即对任意向量 ;在任意正交基下的矩阵为正交矩阵.EE即即A T=A-1引入可推Iaa25转置矩阵：转置矩阵：A=aij A T=a ji逆矩阵：逆矩阵：AA-1=I正交矩阵满足正交矩阵满足：A T=A-1正交矩阵之乘积仍为正交矩阵正交矩阵可逆，逆矩阵仍正交矩阵正交矩阵A之det(A)=1I单位矩阵26标量标量(tensor of rank zero)当坐标转动时不变矢量矢量(tensors of rank one)当坐标转动时，具有矢量变换关系：张量张量(tensor of rank two)张量变换关系：uu jijivav kljlikijaa 物
15、理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类7-3 物理量的协变性物理量的协变性27算符算符：在中为ix在中为ixjijjijixaxxxx矢量算符xxtc22221达朗贝尔算符：标量算符28lkliknkliknjnkljlikjijvavavaaavlnjjkjjkkikjijiivvavavScalar vector例如例如7-3 物理量的协变性物理量的协变性两矢量的标积指标i重复并从1到3 求和，称为指标收缩指标收缩。指标收缩后，没有剩下自由指标，因此是一个标量。张量与矢量的积，上式具有矢量的变化关系，是一矢量。左边，指标对j收缩后剩下i，因此是一个矢量。29二.物理规律的不变性
16、参考系变化下，方程的每一项都具有相同的变换方程的每一项都具有相同的变换规律，则该规律是协变的，方程形式不变。规律，则该规律是协变的，方程形式不变。GGaFaF,GF 若有方程在系成立说明方程在系也成立7-3 物理量的协变性物理量的协变性30三三.、相对性原理的四维表述、相对性原理的四维表述1.光速不变和间隔不变性光速不变和间隔不变性7-3 物理量的协变性物理量的协变性2122122122122221221221221222)()()()()()()()(zzyyxxttcszzyyxxttcs22 ss 不变量xxxx312223222122232221tcxxxtcxxxxxxx 引入洛仑兹
17、四维空间且定义引入洛仑兹四维空间且定义ictx 4有间隔不变有间隔不变2.洛仑兹变换的四维形式洛仑兹变换的四维形式四维空间的转动四维空间的转动间隔不变写为间隔不变写为7-3 物理量的协变性物理量的协变性希腊字母角标表4维32000100001000iiLaxax.11,22cvcv得洛仑兹变换矩阵得洛仑兹变换矩阵是四维变换矩阵是四维变换矩阵由洛仑兹变换和矢量变换关系由洛仑兹变换和矢量变换关系,zzyycvxcvttcvvtxx22222117-3 物理量的协变性物理量的协变性33ILL0001000010001iiLL洛仑兹变换是正交变换洛仑兹变换是正交变换34知道静止系中的物理量知道静止系中
18、的物理量,可以由变换关系可以由变换关系,由由洛仑兹变换矩阵得到运动系中的物理量洛仑兹变换矩阵得到运动系中的物理量.因因为洛仑兹变换矩阵是四维的为洛仑兹变换矩阵是四维的,所以需要构成所以需要构成四维物理量四维物理量.要知道物理规律是否是协变的要知道物理规律是否是协变的,只需要判断只需要判断方程两端的物理量是否满足相同的变换关方程两端的物理量是否满足相同的变换关系系.因此须首先将物理量构成四维量因此须首先将物理量构成四维量,从而得从而得到四维量的方程到四维量的方程,然后判断方程是否是协变然后判断方程是否是协变的的.7-3 物理量的协变性物理量的协变性354D-vector 4D-tensor VL
19、V LL3.洛仑兹变换下的四维协变量洛仑兹变换下的四维协变量Covariant vector7-3 物理量的协变性物理量的协变性367-3 物理量的协变性物理量的协变性4D速度速度dscd1dxdxds2),(ddticddxddxUiULU 洛仑兹标量洛仑兹标量间隔固有时：物体静止坐标中，两事件时间间隔)3,2,1(idtdxuiiicuuuUu,321ucuddt2211dscd1ictxdtdxddtdtdxddxU437相对论的多普勒效应xkxk不变量,txketxkeiicikk,相位是不变量相位是不变量不随参考系变化（如=0是波峰，仍有=0是波峰）四维波矢量四维波矢量四维矢四维矢量
20、往往量往往是通过是通过不变量不变量引入的引入的kLk 变换关系为变换关系为四四.四维协变量和协变方程四维协变量和协变方程384维波矢维波矢相位不随参考系变化，是一个不变量 txktxk xkxk)/,(cikk4维波矢维波矢39000100001000iiLo xxovyy应用洛仑兹变换矩阵应用洛仑兹变换矩阵得波矢的变换式得波矢的变换式.,13322211vkkkkkcvkk40cos,cos11ckckcvtgcossinxkDoppler shift 多普勒效应多普勒效应cos1cv设设k与与x成成 角：角：光行差公式光行差公式光传播方向改变光传播方向改变代入前页表达式可得41.cos1:
21、00cv1,cv.cos10cv讨论讨论运动光源经典经典（=1）多普勒公式为光源静止参考系，0为静止光源辐射频率沿运动方向观察也有多普勒效应;频率增减取决于cos符号422/Transverse Doppler shift横向横向多普勒效应是时间延缓效应多普勒效应是时间延缓效应 垂直于光源运动方向，观察到的辐射频率小于静止光源辐射频率。.cos1:00cv.1220cv红移437-4 电动力学规律的协变性447-4 电动力学规律的协变性一一.四维电流密度和电荷守恒定律四维电流密度和电荷守恒定律不变量dVQ.10220ucu电荷密度随观电荷密度随观察者改变察者改变,1022dVcudV带电粒子电
22、量与其运动速度无关带电粒子电量与其运动速度无关，即电量是一个洛仑兹标量洛仑兹标量粒子静止时，电荷密度，体积元dV0粒子以速度u 运动时，体元有洛仑兹收缩（因长度缩短）：454维电流密度(由电荷守恒定律引入）uuJu0,4icJ.,icJJ,0UJ定义icuuuUu,3217-4 电动力学规律的协变性46电荷守恒定律的四维形式.0 xJnThis is a covariant equation电荷守恒定律是不变式电荷守恒定律是不变式.,0tJ7-4 电动力学规律的协变性电动力学规律的协变性47二.四维势矢量和波动方程 达朗贝尔方程达朗贝尔方程.01.1,120222202222tcAtcJtAc
23、A7-4 电动力学规律的协变性电动力学规律的协变性48xxtc22221,ciAA达朗贝尔方程是协变的达朗贝尔方程是协变的达朗贝尔算符是一个标量算符，具有不变性达朗贝尔算符是一个标量算符，具有不变性0 xA洛仑兹规范20cJA0.0JA7-4 电动力学规律的协变性电动力学规律的协变性若则xxtc22221xxtc22221xxtc22221xxtc2222149.,2xzzyyxxvAAAAAcvAA由洛仑兹变换可得势的变换式由洛仑兹变换可得势的变换式讨论：矢势和标势是相对的讨论：矢势和标势是相对的.ALA 7-4 电动力学规律的协变性电动力学规律的协变性50例.设系中有一沿x方向匀速运动的点
24、电荷,求它的电磁势.22cvcvAAxx利用四维势矢量的变换求解。.40rq设系中,电荷静止,0A.ALA.410rqvAx.0,0zzyyAAAA用反变换式用反变换式51.,/rrrr.,14122/2220cvArcvrq将坐标换成系的得系中电磁势即以速度v运动的电荷的电磁势52电磁场张量 .),(.,4114132231 xAxAicExAxAB.,tAEAB7-4 电动力学规律的协变性电动力学规律的协变性53定义一个反对称张量定义一个反对称张量0000321312213123EciEciEciEciBBEciBBEciBBF,xAxAF电磁场电磁场张量张量7-4 电动力学规律的协变性电
25、动力学规律的协变性由前页B、E与A关系54.0JxF,0tBEB0 xFxFxF,0000JtEBE麦克斯韦方程的协变性麦克斯韦方程的协变性这两个方程都是协变的这两个方程都是协变的5500000000000000zEyExEJtEyBxBJtEzBxBJtEzByBzyxzzxyyyxzxxyz.0JxF56.,223323332223221111EcvBBvBEEEcvBBvBEEBBEEPro kvxxoyrykFaaF特殊洛仑兹变换的电磁场特殊洛仑兹变换的电磁场反变换式只需改变速度的符号反变换式只需改变速度的符号由57EcvBBBvEEcv2,或者写成矢量式或者写成矢量式,2/EcvBB
26、BvEEBBEE58例题 p162求以匀速运动的带电粒子的电磁场求以匀速运动的带电粒子的电磁场.0,4,30BrxeE,0,4,30 xxBrexE Ve5930230302304,4,4,4reycvBrezErezcvBreyEzzyy60,),(zzyyvtxx将所有量用将所有量用的量表示的量表示,4,4,44,30303030rzeEvBEEryeEvBEErvtxerexEzyzzyzyyx2/32222022)()1(4)1(cxvrcvxecvE61.,cos14122/32222022EcvBcvrrcvxecvE62,cv 30024 rxveEcvB,4030ErxeE低速
27、情况下，电场和磁场都和稳恒场一样低速情况下，电场和磁场都和稳恒场一样63EecBx1,4030ErxeE,/方向上v.4103022ErxecvEeBEVvcv,方向上方向上磁场也有向垂直磁场也有向垂直于速度方向集中于速度方向集中的趋向的趋向64能流密度能流密度BEHES01因为E沿经向,B垂直于经向和x决定的平面,所以S不沿经向,而是沿点电荷为中心的圆弧,这表明没有辐射.事实上,匀速运动的电荷没有辐射,否则会与牛顿第一定律矛盾.切伦科夫辐射切伦科夫辐射:真空中,匀速运动带电粒子不产生辐射场;在介质中,带电粒子匀速运动,介质内产生诱导电流,诱导电流激发次波,带电粒子速度超过介质内光速时,次波与
28、原来粒子的电磁场互相干涉,可以形成辐射场,称切伦科夫辐射切伦科夫辐射65四.电磁场的四维动量能量张量 和能量与动量守恒BJEfJFf wciff,洛仑兹力公式洛仑兹力公式构成四维形式构成四维形式则四维力为则四维力为其中其中W为功率密度为功率密度JEw.66对带电粒子对带电粒子,所受电磁四维力为所受电磁四维力为ukcikK,其中其中BuqEqFFk,67能量守恒定律和动量守恒定律的四维形式能量守恒定律和动量守恒定律的四维形式TfvftSTtgf能量守恒动量守恒合为gSTicciT68697-4 invariability of electrodynamics 7-4.1 four dimensi
29、on current density vector带电粒子电量与其运动速度无关带电粒子电量与其运动速度无关，即电量是一个洛仑兹标量洛仑兹标量不变量dVQ粒子静止时，电荷密度，体积元dV0粒子以速度u 运动时，体元有洛仑兹收缩（因长度缩短）：0221dVcudV70因不变，电荷密度增大：02201ucu粒子以速度u 运动时，其电流密度：uuJu0引入第四分量：icJ 4电流密度四维矢量电流密度四维矢量：),(icJJu对应的四维空间矢量四维空间矢量：),(ictxxu电流密度、电荷密度合为四维矢量电流密度、电荷密度合为四维矢量脚标：拉丁字母（i,j,k）表三维1-3；希腊字母（）表1-4。四维速
30、度四维速度：),(icuUu7-4.1 four dimension current density vector71电荷守恒定律：0tJ用四维形式表达为：0uuxJ左边是洛仑兹标量。对任意惯性系成立。如果方程的每一项属于同类协变量（洛仑兹标量、四维矢量），变换参考系时，按相同方式，结果是保持方程形式不变。，爱因斯坦约定7-4.1 four dimension current density vector727-4.2 four dimension vector麦氏方程用势表示：JtAcA022221022221tc达朗贝尔方程达朗贝尔方程012tcA洛仑兹规范条件736-5.2 four d
31、imension vector引用微分算符，洛仑兹标量算符：uuxxtc22221前式可表为：JA020cJ与构成四维矢量，把A与与 合为四维矢量合为四维矢量：),(ciAAu746-5.2 four dimension vector矢势方程、标势方程合为：JA0两边相同的四维矢量，在不同参考系具有协变性洛仑兹规范条件可表为：0 xA仍具有协变性756-5.3 EM field tensor ABtAE用势来表示场：分量写为：,.32231xAxAB),.(41141xAxAicE),(ciAAu766-5.3 EM field tensor 引入反对称张量反对称张量：xAxAFFF由上页，分
32、量表达式，电磁场构成一四维张量电磁场构成一四维张量0000321312213123EciEciEciEciBBEciBBEciBBF32231xAxAB23F776-5.3 EM field tensor 一对麦氏方程：JtEB0000E合写为：JxF0例：第一分量Ju=J110414313212JxFxFxF1013223/JticEcixBxB从四维张量同二式J1786-5.3 EM field tensor 另一对麦氏方程：tBE0B合写为：0 xFxFxF例：0231123312xFxFxF0221133xBxBxB同于第二式796-5.3 EM field tensor 由张量变换：
33、FaaF电磁场变换关系电磁场变换关系：相对于沿x轴运动)(),()(),(,223323332223221111EcvBBvBEEEcvBBvBEEBBEE或矢量形式：)(,)(,2/EcvBBBvEEBBEE806-5.3 EM field tensor 例：求匀速运动v，带电荷e,的粒子的电磁场解：参考系固定于粒子上。在上观察，粒子静止，只有静电场：0,430BrxeE在参考系上观察，粒子以v沿x 轴运动，由电磁场变换的反变换（v变为-v)：3023030230304,44,4,0,4ryecvBrzeErzecvBryeEBrxeEzzyyxx332211exexexx816-5.2 E
34、M field tensor 用系距离表述。设粒子过系原点时刻t=0.洛仑兹变换：zzyyxx,代入系电场表达，可得：2222022)()1(4)1(cxvrcvxecvEEcvB282Ump0,dtpdF.1222004cvcmcimicp6-6 6-6 相对论力学相对论力学,12200cvvmvmp四维动量四维动量如何构成四维协变方程？如何构成四维协变方程？83vmpcv0,2120204 vmcmcipWcip4能量,12220cvcmW定义定义84动能动能静能静能 这是相对论协变性的要求，是经典物理没有的20202220,1cmTWcmcvcmT,2120204 vmcmcip,122
35、20cvcmW85例例 A粒子的湮灭，比如粒子的湮灭，比如介子应该有静止介子应该有静止能量能量.2,0 BA.,220220211cvWWcvWcvpx200cmW 0,0,WWp.1,1,22222cvvpWWcvWcvppxxx协变性的自然结果协变性的自然结果物理意义的要求物理意义的要求又从不同参考系看86动量能量关系式42022cmcpWWcipp,不变量222cWPPP,0,420222cmcpWp87爱因斯坦质能关系式200cmW一个粒子一个粒子imM00结合能结合能020WcmWii200cMW 200cmWi因为各粒子因为各粒子间有相互作间有相互作用能和相对用能和相对运动动能运动
36、动能结合的粒子结合的粒子88质量亏损质量亏损2,mcWmvp2cMW,1220cvmm惯性质量惯性质量00MmMi89例求求介子质心系中介子质心系中子的动量，子的动量，能量和速度能量和速度 0./66.105,/57.13922mcMeVmcMeVm90.,0,2cmWp.,2222cpWcmcpW.22222cmcpcmcp,0pp动量守恒动量守恒能量守恒能量守恒介子质心系中介子质心系中91,78.1092,/79.292,222222MeVcmmmpccmWcMeVcmmmpcv2714.0 0390.111222cmWcv92相对论动力学方程,ddpK 420224cmcpddddWic
37、KvKdpdvdpdpWc2协变方程协变方程93dtdWvKFK,vKciKK,.,ddWvKdpdKvFdtdWvKcvFdtpdKcv222211,94洛仑兹力,BvEeF,UeFKEJcifBJEfJFf4,.1122BvEecvK四维四维协变协变方程方程力密度公式力密度公式95例2 均匀磁场中的带电粒子的运动.0vdtvd,/Bvedtvdvccvvmdtvdcvmcvvmdtd2232202202201111,0vBvedtdW,Bvedtpd,Bvedtvdcvmcvvmdtd2202201196.0Bvmedtvd,0/v.0Bvmev0meBav半径半径为常量/v的大小也为常量v所以相对论情形，频率因速度增大而变小所以相对论情形，频率因速度增大而变小,0eBpeBvma做圆周运动做圆周运动
