1、第1课时空间几何体的表面积与体积计算考向一空间几何体的三视图与直观图(保分题型考点)【题组通关】1.如图,网格纸中的小正方形的边长均为1,图中粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积为()A.(+3 +4)B.(+3 +8)C.(+8)D.(+2 +8)12121212222222222222【解析】选B.根据三视图可知该几何体是底面为直角三角形的三棱锥,其表面积S=11122232 3222 11211223 28.222.某三棱锥的三视图如图所示,其侧视图为直角三角形,则该三棱锥最长的棱长等于()A.4 B.C.D.5 234412【解析】选C.根据几何体的三视图,知该几何体是
2、底面为直角三角形,两侧面垂直于底面,高为5的三棱锥P-ABC(如图所示).棱锥最长的棱长PA=251641.3.如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点,则三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之和为 世纪金榜导学号()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.设点P在平面A1ADD1的射影为P,在平面C1CDD1的射影为P,如图所示.所以三棱锥P-BCD的正视图与侧视图分别为PAD与PCD,因此所求面积S=SPAD+SPCD=12+12=2.12124.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,
3、则该几何体的侧视图为()世纪金榜导学号【解析】选B.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图为长方体截去了右上方的一个角如图,故其侧视图为图.【拓展提升】由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.考向二几何体的表面积与体积(保分题型考点)【题组通关】1.如图为一个多面体的三视图,则该多面体的体积为()A.B.7C.D.203223233【解析】选B.由三视图知,该几何体是棱长为2的正方体截去三棱锥D-D1MN与三棱锥A-MA1B后剩下的多面体所以该几何体
4、的体积V=23-122-212=7.113211322.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.+B.2+C.+D.2+13132323【解析】选C.由三视图可知:该几何体是由上下两部分组成,上面是两个全等的三棱锥,下面是一个圆柱体;所以该几何体的体积为:V=121+2 211=+.1132233.(2019北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为_.【解析】由三视图可知,正方体体积V1=43=64,四棱柱体积V2=4=24,所以该几何体体积V=V1-V2=40.答案:4024224.已知一个几何体的三
5、视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为_cm3.世纪金榜导学号【解析】根据三视图可知几何体下部是一个高为1,底面半径为1的圆锥.上部是一个高为3的圆柱被一个斜平面所截后的一部分,底面半径是1,所以几何体的体积是 121+12(1+2)=.答案:131273735.如图,某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线,若该三棱锥的体积是 ,则它的棱长是_,它的表面积是_.世纪金榜导学号 13【解析】由题设及几何体的三视图知,该几何体是一个正方体截去4个三棱锥后剩余的内接正三棱锥B-A1C1D(如图所示).设正方体的棱长为a,则几何体的体积是V=a3-4 a2a=a3=,所以a=1,所以三
6、棱锥的棱长为 ,因此,该三棱锥的表面积为S=4 ()2=2 .答案:2 131213132342323【拓展提升】1.由几何体的三视图求其表面积:(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图,套用相应的面积公式.2.求三棱锥的体积:等体积转化是常用的方法,转换原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.3.求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.【补偿训练】(2017北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.60B.30C.20D.10【解析】选D.由三棱锥的三视图可知,该三棱锥的直
7、观图为三棱锥A-BCD,如图所示,其所在长方体的长、宽、高分别为5,3,4,所以VA-BCD=534=10.1312考向三多面体与球的切、接问题(压轴题型考点)【典例】1.(2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4B.C.6D.92323【解析】选B.当球的半径最大时,球的体积最大.在直三棱柱内,当球和三个侧面都相切时,因为ABBC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径r=2,直径为4侧棱.所以球的最大直径为3,半径为 ,此时体积V=.68102 32922.
8、(2019太原三模)已知正方形ABCD的边长为2,CD边的中点为E,现将ADE,BCE分别沿AE,BE折起,使得C、D两点重合为一点记为P,则四面体P-ABE外接球的表面积是世纪金榜导学号()A.B.C.D.17121912193173【解析】选C.如图,PEPA,PEPB,PE=1,PAB是边长为2的等边三角形,设H是PAB的中心,OH平面PAB,O是外接球的球心,则OH=PE=,PH=,则R2=OP2=OH2+PH2=.故四面体P-ABE外接球的表面积为4R2=.12122 331912193【题眼直击】题目题目 题眼题眼思维导引思维导引1.1.利用勾股定理求利用勾股定理求ACAC的长的长
9、求球的半径的最大值求球的半径的最大值2.2.确定几何体中不变的元素确定几何体中不变的元素确定外接球的球心确定外接球的球心【拓展提升】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系.(2)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(3)补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体.【变式训练】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的表面积为_.【解析】将直三棱柱补形为长方体ABEC-A1B1E1C1,则球O是长方体ABEC-A1B1E1C1的外接球.所以体对角线BC1的长为球O的直径.因此2R=13.故S球=4R2=169.答案:1692223412
