1、 数 列 本专题的主要内容是数列的概念、两个基本数列等差数列、等比数列这部分知识 应该是高考中的重点内容 考察数列知识时往往与其他知识相联系， 特别是函数知识 数列本身就可以看作特殊(定 义在N*)的函数 因此解决数列问题是常常要用到函数的知识， 进一步涉及到方程与不等式 本专题的重点还是在两个基本数列等差数列、等比数列上，包括概念、通项公式、 性质、前 n 项和公式 51 数列的概念数列的概念 【知识要点】【知识要点】 1从函数的观点来认识数列，通过函数的表示方法，来认识数列的表示方法，从而得 到数列的常用表示方法通项公式，即：anf(n) 2对数列特有的表示方法递推法有一个初步的认识会根据
2、递推公式写出数列的 前几项，并由此猜测数列的一个通项公式 3明确数列的通项公式与前 n 项和公式的关系： Sna1a2an； )2( ) 1( 1 1 nSS nS a nn n 特别注意对项数 n 的要求，这相当于函数中的定义域 【复习要求】【复习要求】 1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) 2了解数列是自变量为正整数的一类函数 【例题分析】【例题分析】 例例 1 根据数列的前几项写出该数列的一个通项公式： (1) 32 31 , 16 15 , 8 7 , 4 3 , 2 1 ； (2)2，6，18，54，162； (3)9，99，999，9999，99999； (
3、4)1，0，1，0，1，0； (5） 12 133 , 10 91 , 8 57 , 6 31 , 4 13 , 2 3 ； (6） 5 2 , 17 7 , 7 3 , 11 5 , 2 1 , 5 3 ； 【分析】【分析】本题需要观察每一项与项数之间存在的函数关系，猜想出一个通项公式这种 通过特殊的元素得到一般的规律是解决问题的常用方法， 但得到的规律不一定正确， 可经过 证明来验证你的结论 解：解：(1) nn n n a 2 1 1 2 12 ； (2)an2(3)n 1； (3)an10n1； (4) 为偶数 为奇数 n n an 0 1 ； (5) n nan 2 1 12； (6
4、) 23 2 n n an 【评析】【评析】(1)中分数的考察要把分子、 分母分开考察， 当然有时分子分母之间有关系； (2) 中正负相间的情况一定与(1)的方次有关； (3)中的情况可以扩展为 7， 77， 777， 7777， 77777 ) 110( 9 7 n n a；(4)中的分段函数的写法再一次体现出数列是特殊的函数，也可写成 2 ) 1(1 1 n n a，但这种写法要求较高；(5)中的假分数写成带分数结果就很明显了；(6)中 的变换要求较高，可根据分子的变化，变换整个分数，如 4 2 2 1 8 4 6 3 ，根据分子，把 2 1 变为 8 4 ，其他类似找到规律 例例 2 已
5、知：数列an的前 n 项和 Sn，求：数列an的通项公式 an， (1)Snn22n2；(2)1) 2 3 ( n n S 【分析】【分析】 已知数列前n项和Sn求通项公式an的题目一定要考虑n1与n2两种情况， 即：anSnSn1不包含 a1，实际上相当于函数中对定义域的要求 解：解：(1)当 n1 时，a1S11， 当 n2 时，anSnSn12n3，则 232 11 nn n an. (2)当 n1 时，, 2 1 11 Sa 当 n2 时， 1 1 ) 2 3 ( 2 1 n nnn SSa，此公式也适合 n1 时的情况， 则 1 ) 2 3 ( 2 1 n n a. 【评析】【评析】
6、分情况求出通项公式 an后，应考察两个式子是否能够统一在一起，如果能够 统一还是写成一个式子更加简洁； 如果不能统一就要写成分段函数的形式， 总之分情况讨论 后应该有一个总结性结论 例例 3 完成下列各题： (1)数列an中，a12) 1 1ln( 1 n aa nn ，则 a3( ) A2ln3 B22ln3 C23ln3 D4 (2)已知数列an对任意的 p，qN*满足 apqapaq，且 a26，那么 a10等于( ) A165 B33 C30 D21 (3)数列an中， *2 21 , 2 5 4Nnbnanaaana nn ，其中 a，b 为常数， 则 ab_ 【分析】【分析】本题中
7、三个小题都涉及数列的递推关系，这类问题，最好的办法是给 n 赋值， 通过特殊的项找到一般的规律 解：解：(1)nna n n a n aa nnnn ln) 1ln( 1 ln) 1 1ln( 1 ， a2a1ln(11)ln12ln2， a3a2ln(21)ln22ln3，选 A (2)apqapaq，, 36 111112 aaaaa a3a21a2a1639， a5a32a3a29615， a10a 55a5a530选 C (3)a1a2anan2bn， baaa baa 24 21 1 ， 2 5 4 nan， 2 1 2 24 2 11 2 3 2 3 b a ba ba ，ab1
8、【评析】【评析】这种通过特殊的项解决数列问题的方法今后经常用到，希望大家掌握 例例 4 已知：函数 f(x)a1a2xa3x2anxn 1， 2 1 )0(f，且数列an满足 f(1) n2an(nN*)，求：数列an的通项 【分析】【分析】首先要应用 f(0)与 f(1)这两个条件，由题可看出可能与 Sn与 an关系有关 解：解：由题知： 2 1 )0( 1 af，f(1)a1a2ann2an， 即：Snn2an，则 Sn1(n1)2an1(n2)， anSnSn1n2an(n1)2an1(n2)， (n21)an(n1)2an1(n2)，即：)2( 1 1 1 n n n a a n n
9、， )2( 3 1 4 2 5 3 1 32 1 1 1 2 2 3 3 4 2 1 1 n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n ， 即)2(2 1 1 1 1 n nn a an ，)2( ) 1( 1 n nn an， 当 n1 时， 2 1 21 1 1 a上式也成立， )( ) 1( 1 * N n nn an 【评析】【评析】本题中，题目给出函数的条件，而 f(0)与 f(1)的运用就完全转化为数列问题， Sn与 an的关系应该是要求掌握的，尤其是在 n1 出现时，要注意 n2 的限制，这相当于 函数中的定义域而叠乘的方法是求数列通项的基本
10、方法之一 练习练习 51 一、选择题：一、选择题： 1数列 16 14 , 13 11 , 10 8 , 7 5 , 4 2 的通项公式为( ) A 13 13 ) 1( 1 n n n B 13 13 ) 1( n n n C 13 23 ) 1( n n n D 13 33 ) 1( n n n 2若数列的前四项是 3，12，30，60，则此数列的一个通项公式是( ) A 2 )2)(1(nnn B5n26n4 C 2 ) 1(9 3 nn D 2 127ln1 2 n 3数列an中，若 a11，a21，an2an1an，则 a7( ) A11 B12 C13 D14 4数列an的前 n
11、项和为 Sn，若 Sn2(an1)，则 a2( ) A2 B1 C2 D4 二、填空题：二、填空题： 5数列 2，5，2，5，的一个通项公式_ 6数列an的前 n 项和 Snn2，数列an的前 4 项是_，an_ 7若数列an的前 n 项和 Sn2n23n1，则它的通项公式是_ 8若数列an的前 n 项积为 n2，则 a3a5_ 三、解答题：三、解答题： 9已知：数列an中，若 nn naaaaa 211 , 2 1 ， 求：数列an前 4 项，并猜想数列an的一个通项公式 10已知：数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5， 求：数列的第 50 项 52 等差数列与等比数列等差数列与
12、等比数列 【知识要点】【知识要点】 1熟练掌握等差数列、等比数列的定义： anan1d(常数)(n2)数列an是等差数列； q a a n n 1 (常数)(n2)数列an是等比数列； 由定义知：等差数列中的项 an及公差 d 均可在 R 中取值，但等比数列中的项 an及公比 q 均为非零实数 应该注意到，等差数列、等比数列的定义是解决数列问题的基础，也是判断一个数列是 等差数列、等比数列的唯一依据 2明确等差中项与等比中项的概念，并能运用之解决数列问题： cba ca b、 2 成等差数列，b 叫做 a、c 的等差中项，由此看出：任意两个实 数都有等差中项，且等差中项唯一； b2aca、b、
13、c 成等比数列，b 叫做 a、c 的等比中项，由此看出：只有同号的两个 实数才有等比中项，且等比中项不唯一； 3灵活运用等差数列、等比数列的通项公式 an及前 n 项和公式 Sn： 等差数列an中，anam(nm)da1(n1)d， d nn nan aa S n n 2 ) 1( 2 1 1 ； 等比数列an中，anamqn ma 1q n1， ) 1( 1 )1 ( ) 1( 1 1 q q qa qna S n n ； 4函数与方程的思想运用到解决数列问题之中： 等差数列、等比数列中，首项 a1、末项 an、项数 n，公差 d(公比 q)、前 n 项和 Sn，五 个量中，已知三个量，根据
14、通项公式及前 n 项和公式，列出方程可得另外两个量 等差数列中，n d an d Sdadna nn ) 2 ( 2 1 2 1 、，可看作一次函数与二次函数 的形式，利用函数的性质可以解决数列问题 5等差数列、等比数列的性质： 等差数列an中，若 mnpq，则 amanapaq； 等比数列an中，若 mnpq，则 amanapaq； 【复习要求】【复习要求】 1理解等差数列、等比数列的概念 2掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式 3能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相 应的问题 4了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系 【例题分析】
15、【例题分析】 例例 1 完成下列各题： (1)若等差数列an满足 a2a44，a3a510，则它的前 10 项的和 S10( ) A138 B135 C95 D23 (2)各项均为正数的等差数列an中必有( ) A 8 6 6 4 a a a a B 8 6 6 4 a a a a C 8 6 6 4 a a a a D 8 6 6 4 a a a a 【分析】【分析】 本题在于考察等差数列的基本知识， 通项公式及前 n 项和公式是一切有关数列 中考察的重点，注意数列中项数之间的关系 解：解：(1)等差数列an中 a 2a44，a3a510， a32，a45，公差 d3，首项 a14， a10
16、a19d42723， 9510 2 101 10 aa S.选 C. (2)等差数列an中 a4a82a6， 等差数列an各项均为正数， 由均值不等式 2 6 2 84 84 ) 2 (a aa aa ，当且仅当 a4a8时等号成立 即： 8 6 6 4 a a a a ，选 B 【评析】【评析】本题中涉及到等差数列中的重要性质：若 mnpq，则 amanapaq， (1)中可直接应用这一性质： a2a4a3a32a3得到结论， 但题中所给的答案可看作这一性 质的证明，同时，等差数列中通项公式并不一定要用首项表示，可以从任何一项开始表示 an，这也是常用的方法， (2)注意观察数列中项数的关系
17、，各项均为正数的要求恰好给运用均值不等式创造了条 件，注意等号成立的条件 例例 2 完成下列各题： (1)等比数列an满足 a1a23，a2a36，则 a7( ) A64 B81 C128 D243 (2)各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S102，S3014，则 S40( ) A80 B30 C26 D16 【分析】【分析】 本题中各小题是在运用等比数列的基本知识来解决， 通项公式与前 n 项和公式 要熟练运用 解：解：(1)数列an是等比数列， 6 3 2 1132 1121 qaqaaa qaaaa ， 2 1 1 q a ，a7a1q62664选 A (2)方法一：
18、等比数列an的前 n 项和为 Sn， (*)2 1 )1 ( 10 1 10 q qa S，(*)14 1 )1 ( 30 1 30 q qa S， 两式相除：7 1 1 10 30 q q ，即：1q10q207q102 或 q103(舍)， 把 q102 代入(*)中得到：2 1 1 q a ， .30)21)(2( 1 )1 ( 4 40 1 40 q qa S选 B 方法二： a1a2a10、 a11a12a20、 a21a22a30、 a31a32a40、 也构成等比数列，设新等比数列的公比为 p 则：a1a2a10S102、a11a12a202p、a21a22a302p2 S302
19、2p2p214，p3 或 p2， 等比数列an的各项均为正数，p2， a1a2a102、a11a12a204、a21a22a308、a31a32a40 16，S402481630 【评析】【评析】(2)中方法一仍是解决此类问题的基本方法，注意把 q a 1 1 看成整体来求，方法 二的方法在等差数列及等比数列中均适用， 即： 等比数列中第 1 个 n 项和、 第 2 个 n 项和、 第 n 个 n 项和仍然成等比数列，此时，你知道这时的公比与原数列的么比的关系吗? 例例 3 已知：等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S516，S1064，求：S15? 【分析】【分析】本题是对等差数列的知识
20、加以进一步考察，可以用求和公式，也可运用等差数 列的性质加以解决 解：解：方法一：由 25 32 25 16 64 2 910 10 16 2 45 5 1 110 15 d a daS daS ， 则：144 2 1415 15 115 daS； 方法二：等差数列中：a1a2a3a4a5、a6a7a8a9a10， a11a12a13a14a15这三项也构成等差数列， 即 a1a2a3a4a5S516， a6a7a8a9a10S10S5641648， a11a12a13a14a15S15S10S1564， 24816S1564，S15144 方法三： 5 96 ,4816645 2 106 1
21、06 610 aa aa SS，a1a15a6a10 14415 2 5 96 15 2 151 15 aa S 【评析】【评析】 本题中方法一是直接应用前 n 项和公式， 得出首项与公差， 再用公式得出所求， 应是基本方法，但运算较繁锁；方法二充分注意到等差数列这一条件，得到的结论可以扩展 为等差数列中第 1 个 n 项和、第 2 个 n 项和、第 n 个 n 项和仍然成等差数列，你知道这 时的公差与原数列的公差的关系吗?这一方法希望大家掌握；方法三是前 n 项和公式与等差 数列的性质的综合应用，大家可以借鉴 例例 4 已知：等差数列an中，且 n aaa b n n 21 ， (1)求证：
22、数列bn是等差数列； (2)若 2 3 , 1 1321 1321 1 bbb aaa a ，求数列anbn的通项公式 【分析】【分析】运用等差数列的两个公式，两个数列都是等差数列，所求通项就离不开首项和 公差 解：解：(1)数列an是等差数列，设公差为 d， 2 , 2 1211 21 nn n n n aa n aaa bn aa aaa ， )2( 2 222 1111 1 n daaaaaa bb nnnn nn ， 数列bn是等差数列，公差为 2 d ； (2)1, 11 21 ab n aaa b n n ， 数列an、bn是等差数列， 3 1 , 2 3 2 6 6 , 2 3
23、13 2 13 2 1 1 7 7 131 131 131 131 1321 1321 d d b da b a bb aa bb aa bbb aaa ， 6 5 6 1 6 1 ) 1(1, 3 2 3 1 3 1 ) 1(1nnbnna nn 【评析】【评析】(1)中遇到了证明数列是等差(等比)数列，采取的方法只能是运用定义，满足定 义就是，不满足定义就不是 例例 5 已知：等差数列an中，a312，S120，S130， 求数列an的公差 d 的取值范围； 【分析】【分析】按照所给的条件，把两个不等的关系转化为关于公差 d 的不等式 解：解：(1)数列an是等差数列， 013 2 012
24、 2 131 13 121 12 aa S aa S ，即： 0102 092 33131 33121 dadaa dadaaa ， 3 3 28 27 ad ad ，即：3 7 24 d， 【评析】【评析】也可直接运用d nn naSn 2 ) 1( 1 得到关于 a1与 d 的不等式，再通过通项公 式得到 a3与 a1的关系 例例 6 已知：四个数中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一、四个数的 和为 16，第二、三个数的和为 12，求这四个数 【分析】【分析】本题中，方程的思想得到明显的体现，实际上数列问题总体上就是解方程的问 题，根据所给的条件，加上通项公式、前 n 项和公式
25、列出方程，解未知数，通过前面的例题 大家应该有所体会了 解：解：方法一：设这四个数为：a，b，12b，16a 则根据题意得， 4 0 )16()12( 122 2 b a abb bab 或 9 15 b a ， 则这四个数为 0、4、8、16 或 15、9、3、1 方法二：设这四个数为：ad，a，ad， a da 2 )( 则根据题意得 4 4 12 16 )( 2 d a daa a da da 或 6 9 d a ， 则这四个数为：0、4、8、16 或 15、9、3、1 【评析】【评析】列方程首先就要设未知数，题目中要求四个数，但不要就设四个未知数，要知 道， 方程的个数与未知数的个数一
26、样时才有可能解出， 因此在设未知数时就要用到题目中的 条件方法一是用“和”设未知数，用数列列方程；方法二是用数列设未知数，用“和”列 方程 例例 7 已知：等差数列an中，a410，且 a5，a6，a10成等比数列， 求数列an前 20 项的和 S20 【分析】【分析】本题最后要求的是等差数列的前 20 项和，因此，求首项、公差以及通项公式 就是必不可少的 解：解：数列an是等差数列， a5a4d10d，a6a42d102d，a10a46d106d， a5，a6，a10成等比数列，a62a5a10，即：(102d)2(10d)(106d) d0 或 d15， 当 d0 时，ana410，S20
27、200； 当 d15 时，ana4(n4)d15n70， 175020 2 )230(55 20 2 201 20 aa S； 【评析】【评析】这种等差、等比数列综合运用时，往往出现多解的情况，对于多个解都要一一 加以验证，即使不合题意也要说明，然后舍去 例例 8 已知：等差数列an中，an3n16，数列bn中，bnan，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】【分析】由于对含有绝对值的问题要加以讨论，因此所求的前 n 项和 Sn应该写成分段 函数的形式 解：解：(1)当 n5 时，an0，则：bnan163n，且 b113， nnn n Sn 2 29 2 3 2 31613 2 ； (2)
28、当 n6 时，an0，则：bnan3n16，此时：S535，b62， 70 2 29 2 3 )5( 2 1632 35 2 nnn n Sn， 由(1)(2)知， )6(70 2 29 2 3 )5( 2 29 2 3 2 2 nnn nnn Sn 【评析】【评析】当 n6 时，前 5 项和要加在 Sn中是经常被忽略的，得到的结果形式上比较复 杂，可通过赋值的方法加以验证 练习练习 52 一、选择题：一、选择题： 1若等差数列的首项是24，且从第 10 项开始大于零，则公差 d 的取值范围是( ) A 3 8 d Bd3 C3 3 8 d D3 3 8 d 2若等差数列an的前 20 项的和
29、为 100，则 a7a14的最大值为( ) A25 B50 C100 D不存在 3等比数列an中，若 a1a240，a3a460，则 a7a8( ) A80 B90 C100 D135 4 等差数列an的前 2006 项的和 S20062008， 其中所有的偶数项的和是 2， 则 a1003( ) A1 B2 C3 D4 二、填空题：二、填空题： 5(1)等差数列an中，a6a7a860，则 a3a11_； (2)等比数列an中，a6a7a864，则 a3a11_； (3)等差数列an中，a39，a93，则 a12_； (4)等比数列an中，a39，a93，则 a12_ 6等比数列an的公比为
30、正数，若 a11，a516，则数列an前 7 项的和为_ 7等差数列an中，若 an2n25，则前 n 项和 Sn取得最大值时 n_ 8等比数列an中，a5a6512，a3a8124，若公比为整数，则 a10_ 三、解答题：三、解答题： 9求前 100 个自然数中，除以 7 余 2 的所有数的和 10已知：三个互不相等的数成等差数列，和为 6，适当排列后这三个数也可成等比数列， 求：这三个数 11已知：等比数列an中，a12，前 n 项和为 Sn，数列an1也是等比数列， 求：数列an的通项公式 an及前 n 项和 Sn 53 数列求和数列求和 【知识要点】【知识要点】 1数列求和就是等差数列
31、、等比数列的求和问题，还应掌握与等差数列、等比数列有 关的一些特殊数列的求和问题， 2 数列求和时首先要明确数列的通项公式， 并利用通项公式找到所求数列与等差数列、 等比数列之间的联系，利用等差数列、等比数列的求和公式解决问题， 3三种常见的特殊数列的求和方法： (1)直接公式法：解决一个等差数列与一个等比数列对应项相加而成的新数列的求和问 题； (2)错位相减法：解决一个等差数列与一个等比数列对应项相乘而成的新数列的求和问 题； (3)裂项相消法：解决通项公式是等差数列相邻两项乘积的倒数的新数列的求和问题 【复习要求】【复习要求】 特殊数列求和体现出知识的“转化”思想把特殊数列转化为等差数列
32、、等比数列， 而在求和的过程中又体现出方程的思想 【例题分析】【例题分析】 例例 1 求和下列各式 (1) 2 1 ( 4 1 2 2 1 1 n n； (2)12222323n2n； (3) ) 12)(12( 1 75 1 53 1 31 1 nn ； (4) 1 1 43 1 32 1 21 1 nn 【分析】【分析】我们遇到的数列求和的问题是一些特殊的数列，即与等差、等比数列密切相关 的数列，最后还是回到等差、等比数列求和的问题上 解：解：(1) 2 1 2 1 2 1 ()21 () 2 1 ( 4 1 2 2 1 1 2nn nn n n nn nn 2 1 1) 1( 2 1 2
33、 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 2 )1 ( (2)设：Sn12222323n2n 132 132 22222 22) 1(22212) nn n nn n nS nnS 则：22) 1( 21 )21 (2 2 11 n n n n nnS (3) ) 12)(12( 1 75 1 53 1 31 1 nn ) 12 1 12 1 () 5 1 3 1 () 3 1 1( 2 1 nn 12 ) 12 1 1 ( 2 1 n n n (4) 1 1 43 1 32 1 21 1 nn 111342312nnn 【评析】【评析】(1)中数列可看成一个等差数列与一个等比数列对应项相加而成，
34、直接运用前 n 项和公式即可；(2)中数列可看成一个等差数列与一个等比数列对应项相乘而成，采用错位 相减的方法，相减以前需要每一项乘以等比数列的公比，然后错位相减，还是利用等比数列 的前 n 项和公式，注意错位后最后一项相减时出现的负号，这是极容易出错的地方；(3)(4) 都是裂项相消，都与等差数列有关，(3)中的形式更加常见一些，注意裂项后的结果要与裂 项前一致，经常要乘一个系数(这个系数恰好是等差数列的公差的倒数) 例例 2 求下列数列的前 n 项和 Sn (1)1，5，9，13，17，21，(1)n 1(4n3)； (2) n 321 1 , 321 1 , 21 1 , 1； (3)1
35、，12，1222，122223，12222n 1； 【分析】【分析】对于一个数列来说，最重要的是通项公式，有了通项公式，就可以写出所有的 项， 就可以看出其与等差、 等比数列的关系， 从而利用等差、 等比数列的前 n 项和得出结论 解：解：(1)方法一： (当 n 是奇数时，1(5)9(13)17(21)(1)n 1(4n3) (19174n3)51321(4n7) . 12) 2 1 ( 2 745 ) 2 1 ( 2 341 n nnnn (当 n 是偶数时，1(5)9(13)17(21)(1)n 1(4n3) (19174n7)51321(4n3) .2 22 345 22 741 n
36、nnnn 方法二： (当 n 是奇数时，1(5)9(13)17(21)(1)n 1(4n3) (15)(913)(1721)(4n114n7)(4n3) . 12)34( 2 1 )4( nn n (当 n 是偶数时，1(5)9(13)17(21)(1)n 1(4n3) (15)(913)(1721)(4n74n3) .2 2 )4(n n (2)此数列中的第 n 项) 1 11 (2 ) 1( 2 2 ) 1( 1 321 1 nnnn nn n an 则 n 321 1 321 1 21 1 1 1 2 ) 1 1 1 (2) 1 11 () 4 1 3 1 () 3 1 2 1 () 2
37、 1 1(2 n n nnn (2)此数列中的第 n 项12 21 21 2221 n 12 nn n a 则 1(12)(1222)(12222n 1) (211)(221)(231)(2n1) nnn n n n 22 21 )21 (2 )2222( 1321 【评析】【评析】(1)中带有(1)n，需要讨论最后一项的正负，方法一是把正、负项分开，看成 两个等差数列， 方法二应该是多观察的结果， 当都要对 n 加以讨论， (2)(3)都要先写出通项， 然后每一项按照通项的形式写出，很明显地看出方法 例例 3 数列an中，a11，an12an2n (1)设 1 2 n n n a b，求证：
38、数列bn是等差数列； (2)求数列an的前 n 项和 Sn 【分析】【分析】对于证明数列是等差、等比数列的问题，还是要应用定义 解：解：(1)证明：, 2 , 2 1 11n n nn n n a b a b 1 2 ; 1 2 2 2 2 22 11 1 1 1 1 1 1 a b aaaa bb n n n nn n n n n nn ， 数列bn是首项、公差都为 1 的等差数列，即：bnn (2)由(1)中结果，设 1 2 n n n a b时，bnn，则：ann2n 1 Sn120221322423(n1)2n 2n2n1 nn n nnn n nS nnnS 222221 22) 1
39、(2)2(2322212) 132 12321 12) 1( 21 21 2 n n n n nnS 【评析】【评析】证明数列是等差、等比数列时，如果可能应强调首项与公差，证明后，往往要 用到整个数列，因此证明完后应把数列的通项写出，便于解决其他问题 例例 4 已知：数列an中，a12，an14an3n1，nN*， (1)求证：数列ann是等比数列； (2)求数列an的前 n 项和 Sn； (3)证明不等式 Sn14Sn，对任意 nN*皆成立 【分析】【分析】证明等比数列是应该应用定义，比较大小最有效的方法是作差 (1)证明：由题设 an14an3n1，得 an1(n1)4(ann)( nN*
40、)， a1110，4 )( ) 1( 1 na na n n ， 数列ann是首项为 1，且公比为 4 的等比数列 (2)解：由(1)可知 ann4n 1，于是数列a n的通项公式为 an4 n1n 则数列an的前 n 项和 2 ) 1( 3 14 )4()24() 14( 110 nn nS n n n (3)证明： 2 ) 1(4 3 44 2 )2)(1( 3 14 4 11 1 nnnn SS nn nn . 0 2 ) 1)(43( )43( 2 1 2 nn nn 不等式 Sn14Sn，对任意 nN*皆成立 练习练习 53 一、选择题：一、选择题： 1数列 n n 2 1 ) 12
41、( 16 1 7 8 1 5 4 1 3 2 1 1、的前 n 项之和 Sn( ) A n n 2 1 1 2 B n nn 2 1 12 2 C 1 2 2 1 1 n n D n nn 2 1 1 2 2 若数列 1111 3 11 2 11 1 10,10,10,10 n ， 它的前 n 项的积大于 105， 则正整数 n 的最小值是( ) A12 B11 C10 D8 3数列an的通项公式 1 1 nn an，若前 n 项和 Sn3，则 n( ) A3 B4 C15 D16 4数列an的前 n 项和为 Sn，若 ) 1( 1 nn an则 S5等于( ) A1 B 6 5 C 6 1 D 30 1 二、填空题：二、填空题： 5若 ) 1( 1 12 1 6 1 2 1 nn Sn，
