1、第第三三讲讲 误差基础知识误差基础知识 23.1 3.1 观测误差观测误差 测量中常见的问题测量中常见的问题 距离测量距离测量 S1 1=56.743m=56.743mS2 2=56.748m=56.748mS3 3=56.745m=56.745m 三角测量三角测量 理论上：理论上：A+B+C=180A+B+C=1800 0 实测中：实测中：A+B+C 180A+B+C 1800 0 高程测量高程测量 理论上：理论上：h1 1+h2 2+h3 3+h4 4=0=0 实测中：实测中：h1 1+h2 2+h3 3+h4 4 0 03 观测误差的概念观测误差的概念 概概 念：念：被观测对象的观测值与
2、真实值被观测对象的观测值与真实值(理论值理论值)的差值。的差值。一般用符号表示：一般用符号表示：=L=L观观 X X真（或真（或 X X理论值）理论值）示示 例例 角度测量角度测量 三角形的闭合差：三角形的闭合差：W=A+B+C 180 180O O 高程测量高程测量 闭合水准线路的高差闭合差：闭合水准线路的高差闭合差：fh=hi43.1 3.1 观测误差观测误差 测量设备：仪器及其附件测量设备：仪器及其附件 仪器制造：设计与实现间的差别。仪器制造：设计与实现间的差别。长期使用：部件磨损和环境影响长期使用：部件磨损和环境影响。观观 测测 者：作业员者：作业员 仪器安置和操作仪器安置和操作 目标
3、瞄准和读数目标瞄准和读数 外界环境：风、温度、日照等外界环境：风、温度、日照等 大气折光、热胀冷缩等大气折光、热胀冷缩等 地球曲率、仪器升沉等地球曲率、仪器升沉等 5 3.1 3.1 观测误差观测误差 观测误差原因示例观测误差原因示例 仪器的原因仪器的原因 钢尺量距钢尺量距 刻划线刻划不均匀刻划线刻划不均匀 水准测量水准测量 水准仪的水准仪的 i 角误差角误差2022-11-146DDDji iSiSx tan 观测人员的原因观测人员的原因 水准测量水准测量 标尺上读数标尺上读数2022-11-147 1595?中丝读数：中丝读数：1596?1597?3.1 3.1 观测误差观测误差 外界环境
4、的原因外界环境的原因 高程测量高程测量 大气折光大气折光2022-11-148 水准测量水准测量 三角高程测量三角高程测量3.1 3.1 观测误差观测误差 观测误差的种类观测误差的种类 误差产生原因与影响的性质不同，误差可分为：误差产生原因与影响的性质不同，误差可分为：系统误差系统误差:各观测误差在大小、符号上表现出系统性；各观测误差在大小、符号上表现出系统性；具有一定的规律性，或为一常数；具有一定的规律性，或为一常数；偶然误差偶然误差:各观测误差在大小和符号上表现出偶然性；各观测误差在大小和符号上表现出偶然性；单个误差而言，误差的大小和符号没有规律性；单个误差而言，误差的大小和符号没有规律性
5、；大量的误差而言，具有一定的统计规律；大量的误差而言，具有一定的统计规律；粗粗 差：差：观测值中含有的误差较大或超过了规定的数值。观测值中含有的误差较大或超过了规定的数值。93.1 3.1 观测误差观测误差 系统误差的处理方法系统误差的处理方法 系统误差处理方法系统误差处理方法1 1 采用数学模型改正采用数学模型改正 钢尺量距钢尺量距 对钢尺鉴定获得丈量温度下实际尺长对钢尺鉴定获得丈量温度下实际尺长2022-11-14103.1 3.1 观测误差观测误差系统误差处理方法系统误差处理方法2 2 采用一定的作业方法消除与削弱采用一定的作业方法消除与削弱 水准测量水准测量 i 角误差角误差 观测作业
6、：观测作业：每测站前、后视距之差每测站前、后视距之差 限值；限值；数据处理：数据处理：对观测数据进行改正；对观测数据进行改正；系统误差处理方法系统误差处理方法3 3 在测量数据处理将系统误差作为在测量数据处理将系统误差作为未知数中求解。未知数中求解。110)(hhSSSihSSihABBABAAB当当 3.1 3.1 观测误差观测误差 粗差的处理方法粗差的处理方法性性 质：质：观测值中所含观测值中所含“观测误差观测误差”已不属于误差范围，而是观已不属于误差范围，而是观测值中的测值中的“错误错误”。解决办法：解决办法：采取采取“多余观测多余观测”进行检核，予以剔除；进行检核，予以剔除；多余观测多
7、余观测 对观测量进行重复观测；对观测量进行重复观测；使多个观测量之间构成检核条件。使多个观测量之间构成检核条件。检核观测误差的大小、性质和观测质量，剔除粗差检核观测误差的大小、性质和观测质量，剔除粗差。123.1 3.1 观测误差观测误差 偶然误差的特性偶然误差的特性 误差分布表误差分布表13误差区间误差区间0.2”正误差正误差负误差负误差合计合计viVi/nviVi/nviVi/n0.00.00.20.2460.128450.126910.2540.20.20.40.4410.115400.112810.2270.40.40.60.6330.092330.092660.1840.60.60.
8、80.8210.059230.064440.1230.80.81.01.0160.045170.047330.0921.01.01.21.2130.036130.036260.0721.21.21.41.450.01460.017110.0311.41.41.61.620.00640.01160.0171.61.6000000和和1770.4951810.5053581.0003.1 3.1 观测误差观测误差 偶然误差的特性偶然误差的特性 误差分布图误差分布图 频率直方图频率直方图2022-11-14143.1 3.1 观测误差观测误差 偶然误差的特性偶然误差的特性当观测次数足够多时偶然误差具
9、有以下统计规律：当观测次数足够多时偶然误差具有以下统计规律：限值特性限值特性 有界性有界性 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。小误差大概率特性小误差大概率特性 聚中性聚中性 绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的频率大。绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的频率大。等值等概率特性等值等概率特性 对称性对称性 绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性大致相等。绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性大致相等。均值零特性均值零特性 抵偿性抵偿性 当观测次数无穷增多时，偶然误差的算术平均值为零。当观测次数无穷增多时，偶然误差的算术平均值为
10、零。偶然误差上述规律可以用数学公式加以描述。偶然误差上述规律可以用数学公式加以描述。156.1 6.1 观测误差观测误差 误差分布图误差分布图 分布曲线分布曲线 观测次数观测次数 n n 区间间隔区间间隔 d d 0 0 直方图直方图 正态分布曲线正态分布曲线16nefn21)(222lim22 3.1 3.1 观测误差观测误差 误差分布曲线的特点误差分布曲线的特点 f(f()是偶函数，对称于纵轴；是偶函数，对称于纵轴；当当|减小时，减小时，f(f()增大；增大；偶然误差的对称性、抵偿性偶然误差的对称性、抵偿性 =0=0 时；时；f(f()有最大值有最大值 偶然误差的聚中性偶然误差的聚中性 f
11、(f()的渐近线为横轴，的渐近线为横轴，时，时，f(f()0 0；偶然误差的有界性偶然误差的有界性173.1 3.1 观测误差观测误差 误差分布曲线的特点误差分布曲线的特点 曲线拐点曲线拐点 =当当|愈大时，曲线愈愈大时，曲线愈 平缓，小误差的个数少且分散；平缓，小误差的个数少且分散；当当|愈小时愈小时,曲线愈陡峭曲线愈陡峭,小误差的个数多且集中。小误差的个数多且集中。参数参数的值可以作为衡量观测质量的标准。的值可以作为衡量观测质量的标准。2022-11-14183.1 3.1 观测误差观测误差3.2 3.2 衡量观测质量的指标衡量观测质量的指标 观测质量的相关术语观测质量的相关术语 精精 度
12、：度：指一组观测值的误差分布的密集或离散的程度。指一组观测值的误差分布的密集或离散的程度。准确度：准确度：指观测值与真值的接近程度。指观测值与真值的接近程度。精度好，表明观测误差分布得越密集，精度好，表明观测误差分布得越密集，但并不等价于观测值离真值越接近，只说但并不等价于观测值离真值越接近，只说明观测值很稳定。准确度好则离真值越接近。明观测值很稳定。准确度好则离真值越接近。同精度、不同精度同精度、不同精度 观测条件相同观测条件相同 精度相同；精度相同；观测条件不同观测条件不同 精度不同。精度不同。19 评定观测质量的指标评定观测质量的指标 方方 差差 方差方差，精度精度 ；标准差标准差 中误
13、差中误差 中误差中误差 m m 为标准差为标准差 的估值的估值20=拐拐22221)(efnn22lim （n）nnlim （观测次数观测次数 n ）nm （观测次数观测次数 n 有限个数有限个数）6.2 6.2 衡量观测质量的指标衡量观测质量的指标 中误差中误差21nm 例例1 1：某三角形用不同精度分别进行了某三角形用不同精度分别进行了2 2组各组各1010次观测，三角形次观测，三角形内角和的误差内角和的误差(闭合差闭合差)如下如下(单位秒单位秒)，求，求2 2组三角形闭合差的中组三角形闭合差的中误差误差。第一组：第一组：+3+3，-2-2，-4-4，+2+2，0 0，-4-4，+3+3，
14、+2+2，-3-3，-1-1 第二组：第二组：0 0，-1-1，-7-7，+2+2，+1+1，+1+1，-8-8，0 0，+3+3，-1-1 解：解：16.31013086.2107222221111 nmnm6.2 6.2 衡量观测质量的指标衡量观测质量的指标 极限误差（限差）极限误差（限差）容许误差容许误差 由实验和误差理论可知，在大量同精度观测的一组误差中，误由实验和误差理论可知，在大量同精度观测的一组误差中，误区间的概率分别为：区间的概率分别为：P（-+）68.3%P（-2 +2）95.5%P（-3 +3）99.7%大于大于3 3倍标准差的观测误差倍标准差的观测误差出现的概率只有出现的
15、概率只有0.3%0.3%是小概率事件。是小概率事件。因此，通常将因此，通常将2 2倍标准差作为偶然误差的极限值，称为倍标准差作为偶然误差的极限值，称为极限误差极限误差。即：即：限限 =2=2或或 限限 =2 m=2 m226.2 6.2 衡量观测质量的指标衡量观测质量的指标=拐拐22221)(ef 相对误差：相对误差：误差的绝对值与相应观测值之比。误差的绝对值与相应观测值之比。23例例2 2：线段线段AB长长10m,线段线段CD长长100m，均丈量两次，两次丈量值，均丈量两次，两次丈量值的差值分别为：的差值分别为：AB=10；CD=20,那条线段丈量的精度好？那条线段丈量的精度好？解解：500
16、1100002010020100110001010101 mcmmcmKS6.2 6.2 衡量观测质量的指标衡量观测质量的指标 相对中误差：相对中误差：观测值中误差的绝对值与相应观测值之比观测值中误差的绝对值与相应观测值之比。24例例3 3:丈量两段距离：丈量两段距离：L1=1000m；L2=80m，中误差分别为中误差分别为:m1=20mm，m2=20mm，则那条线段丈量的精度好？，则那条线段丈量的精度好？解：解：4000180000020500001100000020121 KKKSm6.2 6.2 衡量观测质量的指标衡量观测质量的指标 问问 题：题：设有一般函数：设有一般函数：Z=f（l1
17、 1，l2 2，lk k）式中式中 li i为独立观测为独立观测值，其中误差为值，其中误差为 mi i，(i=1=1，2 2，k)，求求 Z 的中误差？的中误差？例例 如如25?,sincos PPAAyxSyxAPAPAPAPAPAPmmmmmmSyySxx和和求求：已已知知：?,;PbammmmbabaP求求：已已知知：测测距距：面面积积：6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律 误差传播定律的含义：误差传播定律的含义：概概 念：念：阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律。其作用是根据观测值中误差求得观测值函数的中误差。律。其作用是根
18、据观测值中误差求得观测值函数的中误差。应用条件：应用条件：在推导和运用误差传播定律时，函数中的自变量在推导和运用误差传播定律时，函数中的自变量 观测值间应该是相互独立的，两两之间不能相互表达。例如：观测值间应该是相互独立的，两两之间不能相互表达。例如：独立观测值：独立观测值：1 1 和和 3 3、2 2和和3 3 、3 3 和和 4 4 不独立的观测值：不独立的观测值：1 1、2 2 和和 4 4 因为：因为：4 4 =1 1 +2 2 263.3 3.3 误差传播定律误差传播定律6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律 误差传播定律的公式推导：误差传播定律的公式推导：基本思想：基本思想：由微
19、分的定义式出发由微分的定义式出发 Z=f（l1 1，l2 2，lk k）Z+Z=Z真真（或（或Z理理）27knZknlflflfdllfdllfdllfdZ 22112211ziziiiizzzmmnmnmnm表表示示间间关关系系与与利利用用则则，因因为为：22 误差传播定律的公式推导：误差传播定律的公式推导：282221212knzmlfmlfm kkZkkklflflfdllfdllfdllfdZlllfZ2211221121,),(00lim22112121222221121AnnlflfnlflfFFnlfnlfnlfnjinkkkkkkkzz6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律
20、误差传播定律的特例误差传播定律的特例 倍数关系倍数关系29例例4：设有函数设有函数Z=Cl，C为常数，为常数，l 为观测值。已知为观测值。已知 ml，求，求 mZ。lzlzCmmmCm 222 函数函数 Z 的中误差：的中误差：lzCCdldz 解解：误差关系式：误差关系式：nm2 nCnCllzzllzz22 构造中误差计算式：构造中误差计算式：6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律 误差传播定律的特例误差传播定律的特例 和差关系和差关系30例例5：设有函数设有函数 Z=l1+l2，l1和和l2互为独立观测值。互为独立观测值。已知已知 m1，m2，求，求 mZ。22212mmmz 函数函数
21、Z 的中误差：的中误差：2121 zdldldz解：解：误差关系式：误差关系式：nm2 nnnzzzz 22211212211 构造中误差计算式：构造中误差计算式：0n3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律 误差传播定律的特例误差传播定律的特例 一般线性关系一般线性关系31例例6：设有函数设有函数 Z=C1 l1+C2 l2+Ck lk，li互为独立观测值。互为独立观测值。已知已知 m1，m2，mk，求，求 mZ。22222221212knzmCmCmCm 函数函数 Z 的中误差：的中误差：nkzCCC2211解：解：误差关系式：误差关系式：22222221212kkzCCC 构造中误差计算
22、式：构造中误差计算式：3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律nCnCnCnkkz22222221212 32例例7：已知已知A、B点坐标，观测了角度点坐标，观测了角度和距离和距离SAP，由，由A点求点求P点坐标的点位精度是多少？点坐标的点位精度是多少？现已知：现已知：mxA、myA、mTAB、m和和mS。解：解：1 1）列出函数关系式）列出函数关系式:Z=f（l1，l2，lk）)sin()cos(sincosABAPAPABAPAPABAPAPAPAPAPAPAPTSyyTSxxTTTSyxTSxx3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律2022-11-14332 2）列出误差关系式）列出误
23、差关系式)sin()sin()cos()sin()sin()cos(ABAPTABAPSABxxABAPABABAPAPABAPTSTSTdTSdTTSdSTdxdxABAPAP)cos()cos()sin()cos()cos()sin(ABAPTABAPSAByyABAPABABAPAPABAPTSTSTdTSdTTSdSTdydyABAPAP3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律2022-11-14343 3）误差传播定律公式）误差传播定律公式222222222222222222222222)(cos)(sin)(cos)(sin)(cos)(sinmTSmTmTSmmmTSmTmTSm
24、mABSABTABAPyyABSABTABAPxxAPABAPAPABAP6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律2022-11-14353 3）计算）计算P P点点位中误差点点位中误差22PPyxPmmm22222)()(mSmmSmmmAPSTAPyxPAPABAA 不考虑已知点位误差和已知方向误差不考虑已知点位误差和已知方向误差22)(mSmmABSPAB3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律36例例8：已知已知 X=L1+L2，Y=(L1+L2)/2，Z=X Y。设设L1，L2的中误差为的中误差为m，求求X，Y，Z的中误差。的中误差。mLLmmLLmdLLLdLLLdZLLLLZYX
25、XYZZZ)(2)()()(2/)(,21222122211212122212不独立和解：解：mmmmmmdLdLdXLLXXX2 222221221212/2/4/4/2/2/2/)(2222122121mmmmmmdLdLdXLLYXX3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律 误差传播定律示例误差传播定律示例 由真误差计算中误差由真误差计算中误差37例例9：在相同条件下观测了在相同条件下观测了24个三角形每一个内角，由观测值算个三角形每一个内角，由观测值算得各三角形的角度闭合差如下（单位秒）得各三角形的角度闭合差如下（单位秒）：-2.7，-0.6，+3.2，-1.9，+3.0，+1.7，+
26、2.5，-0.8，-0.3，+2.6，-1.4，-0.1 +1.4，-0.6，-2.0，+3.6，+0.5，+1.2，-2.7，-0.6，+1.3，+1.5，-1.3，-0.8求每个三角形闭合差的中误差求每个三角形闭合差的中误差m和三角形内角的测角中误差和三角形内角的测角中误差m。解：解：三角形闭合差为真误差三角形闭合差为真误差 =-0 =(A+B+C-1800）-0 即，=A+B+C-180078.12499.83 nmnm3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律38相同条件下观测了每一个内角相同条件下观测了每一个内角(A i、B i、C i)，则有：，则有：80.1333180222220
27、 nmmmmmmmCBACBACBA mmmmiiiCBA 3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律 误差传播定律示例误差传播定律示例 由双观测值的差数计算中误差由双观测值的差数计算中误差 di i=L1i1i-L2i2i （i=1i=1，2 2，3 3，n n）39例例1010：对长度大致相同的对长度大致相同的8条边作等精度双次观测，结果如下。条边作等精度双次观测，结果如下。编号：编号：1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 L1：103.478,99.556,100.373,101.763,103.350,98.885,101.004,102.293 L2：103.4
28、82,99.534,100.382,101.742,103.343,98.876,101.014,102.285 求观测值中误差和每边的算术均值的中误差。求观测值中误差和每边的算术均值的中误差。3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律40解：解：8 8条长度大致相同边作等精度双次观测，则有：条长度大致相同边作等精度双次观测，则有：每条边的每次观测中误差相同每条边的每次观测中误差相同Lmmm 21iididiiiiiiidXXLLd212121 0)(mmmmmmmmmxLd4.6 1.9 83.123.3 3.3 误差传播定律误差传播定律nddmmmnddmLLdd2,2 ,2)(2121Lx
29、iiimmLLx 误差传播定律小结误差传播定律小结 应用步骤应用步骤 第一步：列出函数式；第一步：列出函数式；第二步：函数式求导，得出函数和观测值的误差关系式第二步：函数式求导，得出函数和观测值的误差关系式 第三步：套用误差传播定律。第三步：套用误差传播定律。注意事项注意事项 函数式中观测量（变量）相互间必须独立；函数式中观测量（变量）相互间必须独立；计算时各观测量的中误差的单位必须统一；计算时各观测量的中误差的单位必须统一；如：如：点位中误差计算时，应将角度单位换算为弧度。点位中误差计算时，应将角度单位换算为弧度。412.3 2.3 误差传播定律误差传播定律3.4 3.4 算术平均值及其中误
30、差算术平均值及其中误差 算术平均值算术平均值42例例11：设在相同观测条件下，对未知量设在相同观测条件下，对未知量L观测了观测了n 次，观测值为：次，观测值为：l1，l2，ln，求该未知量的最佳值？求该未知量的最佳值？XnlxnnnnlXnnlllXnXlllXlnnnnnii 0lim)()(21212121 解：解：L 的观测值的算术平均值的观测值的算术平均值nlnlllxn21 同精度条件下观测值的同精度条件下观测值的算术平均值可作为观测算术平均值可作为观测值的最佳值或最或然值值的最佳值或最或然值同精度同精度 mi=m 算术平均值的中误差算术平均值的中误差43例例12：对观测值对观测值
31、L 观测观测n次，次，m1=m2=mn=m,求求 mx?解：解：)(12121nnnxnlnlnlnlx结论：算术平均值的中误差为观测值中误差的结论：算术平均值的中误差为观测值中误差的 倍倍n13.4 3.4 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差应用误差传播定律：应用误差传播定律：)(12222122nxmmmnmnmmx 改正数改正数:概念：概念：算术平均值算术平均值(最或是值）与观测值之差称为观测最或是值）与观测值之差称为观测值的改正数。一般用小写字母值的改正数。一般用小写字母 V 表示：表示：特性特性4402211 vlnxvlxvlxvlxvnniilxv nlx 进进行行计计算算
32、检检核核0 v3.4 3.4 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 由改正数计算中误差由改正数计算中误差45?),2,1(xiiiiiimmvvlxnlxlxvniXl和和问问题题：算算术术平平均均值值：改改正正数数：真真误误差差：1 1;,0)(2)(2222nvvnnvvnnnvvnnvnXxvvvXxvlxvXlxxiiiiii3.4 3.4 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差)1(;1nnvvmnvvmx中误差计算公式解释中误差计算公式解释nm3.4 3.4 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差l 真误差计算中误差真误差计算中误差（真值已知，同精度，同一观测量）（真值已知
33、，同精度，同一观测量）l 改正数计算中误差改正数计算中误差（真值未知，同精度，同一观测量）（真值未知，同精度，同一观测量）1nvvml 中误差计算一般公式中误差计算一般公式（真值未知，同精度，（真值未知，同精度，t个观测量）个观测量）tnvvm多余观测量多余观测量 改正数计算中误差示例改正数计算中误差示例47例例13：对某段距离同精度测量了对某段距离同精度测量了4次，四次丈量值分别为：次，四次丈量值分别为：25.066m,25.068m,25.056m,25.062m；试求该段距离的最或然值、观测值中误差及最或然值中误差。试求该段距离的最或然值、观测值中误差及最或然值中误差。解：解：次次 序序
34、观测值观测值l/m改正数改正数v/mmvv/mm2计算计算:m,mx125.066-39225.068-525325.056+749425.062+11x=25.0630.084 mmnmmmmnvvmmnlxx65.23.51063.25 3.4 3.4 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 问问 题：题：在测量工作中，通常是对某一未知量进行了在测量工作中，通常是对某一未知量进行了n 次不同精度观次不同精度观测，如何根据这些不同精度的观测值求出未知量的最或然值，并测，如何根据这些不同精度的观测值求出未知量的最或然值，并评定它们的精度呢？评定它们的精度呢？2022-11-1448例例13：
35、某距离丈量了两组：某距离丈量了两组：第一组第一组4 次丈量后得次丈量后得L1；第二组第二组6 次丈量后得次丈量后得L2；若每次测量中误差为；若每次测量中误差为m，求该距离的最或然值，求该距离的最或然值及其中误差？及其中误差？?6/4/21 xLLmxmmmm 解：解：由误差传播定律由误差传播定律 nmmnlxixi 3.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差2022-11-1449第一组：第一组：l1,l2,l3,l4 第二组：第二组：l5,l6,l7,l8,l9,l10661441211052411mmlLmmlLLjjLii6464646164141021105411021L
36、Llllllxjjii3.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差 权定义与广义算术平均值权定义与广义算术平均值 广义算术平均值（广义算术平均值（加权平均值）定义加权平均值）定义 加权平均值的精度：加权平均值的精度：502CiimP 在误差理论中，定义权在误差理论中，定义权C是常数是常数，又称为又称为单位权中误差单位权中误差。一般用。一般用 表示表示。212211PPLPPPLPLPLPxnnn3.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差0或0m220mmP 0PmmxiPmm0PPx51 解：解：每一次测量中误差为每一次测量中误差为m，则：，则：31mmL 第一组丈量
37、：第一组丈量：3 3次：次：第二组丈量：第二组丈量：2 2次：次：22mmL 第三组丈量：第三组丈量：1 1次：次：mmL 3123223222221321 LLLmmPmmPmmP62312323321321LLLLLLx 3/13/215.015.13210321012PPPmmPPPmmLL令令计算加权平计算加权平均值与单位均值与单位权大小无关权大小无关3.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差 例例14：某距离丈量了三组：某距离丈量了三组：第一组丈量：第一组丈量：3次；第二组丈量：次；第二组丈量：2 次；第三组丈量：次；第三组丈量：1 次；次；若每次测量中误差为若每次测量
38、中误差为m，求该距离，求该距离的最或然值？的最或然值？52 解：解：例例15：已知已知L L1 1，L L2 2，L L3 3的中误差的中误差:m1=3mm；m2=4mm;m3=5mm，求各观测值的权。，求各观测值的权。2595316943133322322222110PPPmmmm设2515116141913112232222210PPPmmmm设15516254592535522322222130PPPmmmm设3.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差n 权的特性权的特性 选定一个选定一个m m0 0值就对应一组权，或一组权必对应一个值就对应一组权，或一组权必对应一个m m
39、0 0值；值；权的大小随权的大小随m m0 0值不同而异值不同而异,但权之间的比例关系始终不变但权之间的比例关系始终不变 若观测值若观测值 Li 是同类型的，其权是无单位；若观测值是同类型的，其权是无单位；若观测值 Li i 是不同类型的，权的单位要视具体情况而定。是不同类型的，权的单位要视具体情况而定。53220iimmP 2222122022202120211:1:1:nnnmmmmmmmmmPPP计算加权平均值时，观测值权的计算必须采用同一计算加权平均值时，观测值权的计算必须采用同一m0 值，否值，否则将破坏权之间的比例关系。则将破坏权之间的比例关系。3.5 3.5 加权平均值及其中误差
40、加权平均值及其中误差 定权方法定权方法 54 例例1616：在每公里测距精度：在每公里测距精度mkm的相同条件下测量了三条边，得：的相同条件下测量了三条边，得：S1=3km；S2=4km；S3=5km,求各边的中误差和权。求各边的中误差和权。每公里同精度测距时，测距中误差与距离每公里同精度测距时，测距中误差与距离S的平方根成正比，的平方根成正比，距离的权与距离距离的权与距离S成反比成反比 220iimmP 解：解：kmSkmSkmSmmmmmmkmkmkmkmS54311133211同理514131221220PPPmmPii3.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差2022-1
41、1-1455例例1717：水准测量中每测站高差的测量中误差：水准测量中每测站高差的测量中误差m站站相同的条件下，相同的条件下，测了三条水准路线，各路线测站数分别为：测了三条水准路线，各路线测站数分别为：n1、n2、n3，求每条，求每条水准路线的高差中误差和权。水准路线的高差中误差和权。水准测量中，高差中误差与测站数水准测量中，高差中误差与测站数n n 的平方根成正比，高的平方根成正比，高差的权与测站数差的权与测站数 n n 成反比。成反比。解：解：323203222202121201332132221211211111321nmmPnmmPnmmPmnmhhhhmnmhhhhmnmhhhhnn
42、n站站站站mm 03.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差2022-11-1456例例1818：水准测量中每公里高差的测量中误差水准测量中每公里高差的测量中误差mkm相同的条件下，相同的条件下，测了三条水准路线，各路线长度分别为：测了三条水准路线，各路线长度分别为：S1、S2、S3，求每条水，求每条水准路线的高差中误差和权。准路线的高差中误差和权。水准测量中，高差中误差与路线长度水准测量中，高差中误差与路线长度S的平方根成正比，高差的的平方根成正比，高差的权与路线长度权与路线长度S成反比成反比.解：解：32320322220212120133213222121121111132
43、1SmmPSmmPSmmPmSmhhhhmSmhhhhmSmhhhhkmSkmSkmS3.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差kmmm 057例例1919：对某角做三组观测，第对某角做三组观测，第1组测组测4测回，算术平均值测回，算术平均值1；第；第2组组测测6测回，算术平均值测回，算术平均值2；第；第3组测组测8测回，算术平均值测回，算术平均值3。设每测。设每测回中误差均为回中误差均为m。求求1、2、3的中误差和权。的中误差和权。解：解：864886644232032220221201332211mmPmmPmmPmmmmmm测回均值为测回均值为测回均值为测角均值测角均值中误
44、差与测回数的平方根成反比，其权与测回数成正比中误差与测回数的平方根成反比，其权与测回数成正比.3.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差mm 03.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差 定权方法小结定权方法小结 距离测量：距离测量：水准测量：水准测量：角度测量（角度测量（m m为一测回中误差）：为一测回中误差）：58SCPmSmSkmS SCPmSmnCPmnmSkmhSh 站站CnPnmm C 为常数，为常数，其选取与单位其选取与单位权的选取一样权的选取一样 权倒数传播律权倒数传播律59例例2020：观测值函数为观测值函数为:Z=f(L1，L2，Ln)，L1，L
45、n 为独为独立观测值，中误差分别为：立观测值，中误差分别为：m1，mn；权分别为：权分别为：P1，Pn；求观测值函数的求观测值函数的 Z 权权 PZ=?)(;)()()()()()(2022202212021Z2022022222221212iinniinnZLffPmLfPmLfPmLfPmmmPmLfmLfmLfm令 解：解：3.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差;11112222121ZnnPfPfPfP 权倒数传播定理：权倒数传播定理：60 例例2121：求加权平均值求加权平均值 x 的权的权 Px。;)()()(020222221022222221212211111
46、PPPmmPmmPPPPPPmmmPPmPPmPPmLPPLPPLPPPPLPLPxxxiinxnnxnnnnn 解：解：加权平均值的权加权平均值的权 等于各观测值的权的和。等于各观测值的权的和。3.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差 其结论可以用权倒数传播定律导出（课堂练习）。其结论可以用权倒数传播定律导出（课堂练习）。不同精度条件下的中误差不同精度条件下的中误差l 由真误差计算单位权中误差和最或然值的中误差。由真误差计算单位权中误差和最或然值的中误差。61例例2222：不同精度独立观测值：不同精度独立观测值：L1,Ln；权分别为：；权分别为：P1,，Pn；求单位权中误差、
47、最或然值的中误差。求单位权中误差、最或然值的中误差。XPLPPXLiiiiiii 解：解：令令则：则：iiiP XPXLPLiiii 因此，可得同精度的误差式：因此，可得同精度的误差式：XLii -由误差传播定律得：由误差传播定律得：为同精度观测值；为同精度观测值；0mmPmiii3.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差iL 62XLii-xxiiiiPmmPmmmmP00220 nPmPnmmPmiiiiii 003.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差l 由改正数计算单位权中误差和最或然值的中误差由改正数计算单位权中误差和最或然值的中误差63例例2222：不
48、同精度独立观测值：不同精度独立观测值：L1,Ln；权分别为：；权分别为：P1,，Pn；求单位权中误差、最或然值的中误差。求单位权中误差、最或然值的中误差。22)(xxxiiiiiiiiPPvPvvPvXxvLxvXL 解：解：xxxxPmmPPPvnPm202200)1(20220PvvmnmPvvnmo10nPvvm3.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差64例例2323：从从4个已知水准点经四条水准路线求得个已知水准点经四条水准路线求得A点的高程分别为：点的高程分别为：H1=48.759m；H2=48.784m；H3=48.758m；H4=48.767 m；四条路四条路线长
49、度为：线长度为：S1=45.6km；S2=32.8km；S3=40.3km；S4=51.4km。求求A点的最或然高程即其中误差。点的最或然高程即其中误差。解：解：mmPmmmmnPvvmLxvmPPLxPPPPCxii04.6,201,768.4867.95889.47195.148.205.319.2,100004321令3.5 3.5 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差 小小 结结 最或然值及精度评定最或然值及精度评定65项项 目目等精度条件下等精度条件下不等精度条件下不等精度条件下中误差中误差真误差计算真误差计算改正数计算改正数计算最或然值最或然值最或然值中误差最或然值中误差观测值
50、中误差观测值中误差PPxnLxnPLxnmxm010nPvvm10nvvmnPm010nmxpmxm00mmiiiPmm0 误差传播律误差传播律66 改正数：改正数：00PvorvLxvii 真误差：真误差：XLii 误差传播定律误差传播定律:2221212)()(nnzmxfmxfm 权倒数传播律权倒数传播律:nnPLfPLfPLfP1)(1)(1)(12222121Z 小小 结结第第三三讲讲 课后思考题课后思考题1.1.什么是测量误差？测量误差根据其所表现出来的特性可什么是测量误差？测量误差根据其所表现出来的特性可 分为哪几种类型，不同类型的处理方式是怎样的？分为哪几种类型，不同类型的处理
